2021-2022学年辽宁省沈阳134中八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2021-2022学年辽宁省沈阳134中八年级（下）月考数学试卷（4月份）

一．选择题（本题共10小题，共20分）

1. 下列从左到右的变形，是分解因式的是

A.  B.
C.  D.

2. 若分式有意义，则实数的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 一切实数

3. 下列不等式变形中，一定正确的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

4. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为

A.   B.  
C.   D.  或 

5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是

A.  B.  C.  D.

7. 小明代表班级参加学校消防知识竞赛共有题，答对一题得分，答错或不答扣分，只有得分要超过分才能获奖，他至少要答对道题才能获奖？

A.  B.  C.  D.

8. 若分式中的，的值都变为原来的倍，则此分式的值

A. 不变 B. 是原来的倍 C. 是原来的 D. 是原来的

9. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点已知，，则的长为

A.  B.  C.  D.

10. 关于的分式方程有增根，则的值

1.  B.  C.  D.

二．选择题（本题共6小题，共18分）

11. 分解因式：______．
12. 化简：______．
13. 若不等式的解集为，则的取值范围是______．
14. 甲种原料与乙种原料的单价比为：，将价值元的价值原料与价值元的乙种原料混合后，单价为元，则甲种原料的单价为______．
15. 若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______．
16. 如图，在中，，，是上一点，连接，把沿直线折叠，点落在处，连接，若是直角三角形，则的长为______．

三．解答题（本题共9小题，共82分）

17. 解不等式组
18. 分解因式：
    
     
19. 解分式方程：．
20. 先化简，再求值：其中．
21. 某工程队准备修建一条长的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加，结果提前天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
22. 已知：如图，，分别是的高线，且求证：为等腰三角形．
    
    
    
    
     

23. 已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点．
    的值为______；
    求一次函数的表达式；
    ______；
    直接写出时的取值范围．

24. 某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元．

求每台型电脑和型电脑的销售利润；

该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元．

求关于的函数关系式；

该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？

25. 已知和都是等腰直角三角形，．
    
    如图：连，，则与的数量关系为：______；与的位置关系为______；
    如图，当点恰好在边上时，，连接，
    中结论是否成立，若成立，予以证明；若不成立，请写出新的结论．
    直接写出、、三条线段满足的数量关系．
    绕点旋转，当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出的周长．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是整式的乘法，故A错误；
B.没把一个多项式转化成几个整式的积，故B错误；
C.是整式的乘法，故C错误；
D.把一个多项式转化成几个整式的积，故D正确；
故选D．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，注意因式分解与整式的乘法是相反方向的恒等变形．
 

2.【答案】

【解析】解：，
．
故选：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、若，，则，所以选项错误；
B、若，，则不成立，所以选项错误；
C、若，，则，所以选项正确；
D、若，则，所以选项错误．
故选：．
利用不等式的性质和对进行判断；利用不等式的性质和对进行判断；利用不等式的性质对、进行判断．
本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】

【解析】解：当腰为时，三边为，，，
，
不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
当腰为时，三边为，，，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是
故选：．
分为两种情况：当腰为时，三边为，，，当腰为时，三边为，，，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，注意要进行分类讨论啊．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
，
在数轴上表示为：

故选：．
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：不能用完全平方公式因式分解，故A选项不符合题意；
B.，运用的是平方差公式分解因式，故B选项不符合题意；
C.，不能用完全平方公式因式分解，故C选项不符合题意；
D.运用的是完全平方公式因式分解，故D选项符合题意．
故选：   
根据平方差公式：；完全平方公式：；可得选项B符合平方差公式，选项D符合完全平方公式，进而可以判断．
本题考查了因式分解运用公式法，解决本题的关键是掌握公式法分解因式．
 

7.【答案】

【解析】解：设小明答对了题，根据题意可得：
，
解得：，
为非负整数，
至少为，
答：小明至少答对道题才能获得奖品．
故选：．
在这次竞赛中，小明获得优秀分以上，即小明的得分分，设小明答对了，就可以列出不等式，求出的值即可．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，正确利用代数式表示出小明的得分．
 

8.【答案】

【解析】解：原式
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型
 

9.【答案】

【解析】解：过点作于点，
由作图方法可得出是的平分线，
，，
，
在和中，，
≌，
，
在中，，，
，
设，则，
故在中，
，
即，
解得：，
即的长为：．
故选：．
直接利用基本作图方法得出是的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出，再利用勾股定理得出的长．
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出的长是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出 的值即可．
【解答】
解：去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程得： ，
解得： ，
故选： ．   

11.【答案】

【解析】解：，
--提取公因式
--完全平方公式
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
 

12.【答案】

【解析】解：


，
故答案为：．
先根据分式的减法法则算减法，再算乘法即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

13.【答案】

【解析】解：的解集为，
不等式两边同时除以时不等号的方向改变，
，
．
故答案为：．
根据不等式的性质可得，由此求出的取值范围．
本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以小于．
 

14.【答案】元

【解析】解：设甲种原料的单价为元，乙种原料的单价为元，
甲种原料与乙种原料的单价比为：，
，
元，
根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根．
故答案为：元．
设甲种原料的单价为元，则由已知得乙种原料的单价为元，分别表示出甲乙原料的重量相加等于混合后的重量列方程求解．
此题需用分式方程解决，应注意的是分式方程需验根．
 

15.【答案】且

【解析】解：方程的两边同时乘，
得，，
解得，
方程的解为非负数，
，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案：且．
先解出分式方程得到，再由题可知，，，解出即可求解．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
 

16.【答案】或

【解析】解：如图中，当点在直线的下方时，作于．

，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．

如图中，当点在直线的上方时，可得，，，

综上所述，满足条件的的值时．
故答案为或．
分两种情形：如图中，当点在直线的下方时，作于证明，求出，即可解决问题．如图中，当点在直线的上方时，同法可得，求出即可．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：原不等式组整理为，
化简得，
不等式组的解集为：．
故答案为：．

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分．
本题主要考查了一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

18.【答案】解：


；



．

【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案；
直接提取公因式，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

19.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
经检验，是增根，
所以分式方程无解．

【解析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

20.【答案】解：


，
将代入上式，得
原式
．

【解析】先将括号内化简为，再将除法化为乘法化简，代入的值计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式化简的规律方法和分式代入求值的方法．
 

21.【答案】解：设原计划每天修建盲道，
则，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：原计划每天修建盲道米．

【解析】求的是工效，工作总量是，则是根据工作时间来列等量关系．关键描述语是提前天完成，等量关系为：原计划时间实际用时，根据等量关系列出方程．
本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量工作效率工作时间．
 

22.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
为等腰三角形．

【解析】由“”可证≌，可得，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象过点，
，
解得，
故答案为：；
一次函数的图象经过点，点，
，
解得，
一次函数的表达式为；
将代入得，，
点的坐标为，
点，
，
故答案为：；
由图象可得，
时的取值范围是．
根据正比例函数的图象过点，可以求得的值；
根据中的结果和题意，可以计算出、的值；
根据中的结果可以得到点的坐标，然后即可计算出的面积；
根据函数图象，可以发现当时，从而可以写出的取值范围．
本题考查一次函数与一次不等式、待定系数法求一次函数解析式，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
根据题意得，
解得．
答：每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；

根据题意得，，
即；

据题意得，，
解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
此时最大利润是．
即商店购进台型电脑和台型电脑的销售利润最大，最大利润是元．

【解析】设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元列出方程组，然后求解即可；
根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
根据型电脑的进货量不超过型电脑的倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
 

25.【答案】 

【解析】解：设与的交点为，与的交点为，

，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
结论仍然成立，理由如下：

，
，
，，
≌，
，，
，
，
；
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
解：如图，当点在线段上时，连接，，

设，
由可知≌，可得，，
在中，，
和都是等腰直角三角形，，，
，，
，
解得：，舍去，
，
，
的周长，
如图，当点在线段上时，连接，，

设，
由可知≌，可得且，
在中，，
和都是等腰直角三角形，，，
，，
，
解得：，舍去，
，
，
的周长，
综上所述，的周长为或．
由“”可证≌，可得，，由余角的性质可证；
由“”可证≌，可得，，可证；
由勾股定理可求解；
分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求解．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．