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2022北京中考数学终极押题密卷3
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这是一份2022北京中考数学终极押题密卷3，共40页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
2022北京中考数学终极押题密卷3
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•孝义市期末）如图是一个三棱柱，从正面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）（2021秋•江陵县期末）从权威部门获悉，中国海洋面积是2897000平方公里，2897000用科学记数法表示为（ ）
A．2897×103 B．28.97×105 C．2.897×106 D．0.2897×107
3．（2分）（2022•天桥区校级模拟）如图是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）（2021秋•缙云县期末）如图，点A表示的实数是a，则下列判断正确的是（ ）
A．a﹣1＞0 B．a+1＜0 C．a﹣1＜0 D．|a|＞1
5．（2分）（2022•济阳区一模）某学校在手抄报活动中，济济和洋洋分别从抗击疫情，缅怀先烈，预防溺水三个专题中随机选择一个参加，两人恰好选择同一专题的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2分）（2017春•杭州期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠EDC D．∠ADE＝∠EDC
7．（2分）（2022•南山区校级一模）设7﹣的整数部分为a，小数部分为b，则（a+）（b﹣1）的值是（ ）
A．6 B．2﹣ C．1 D．﹣1
8．（2分）（2021秋•平邑县期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝5，BC＝3，则tanα的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）若＝0，则2x﹣3y＝ ．
10．（2分）（2021秋•长垣市期末）分解因式：2x3+4x2+2x＝ ．
11．（2分）（2021秋•崂山区期末）一块长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为2cm的圆柱，设它的高是hcm，根据题意列方程为 ．
12．（2分）（2022春•武冈市期中）已知用含x的代数式表示y，y＝ ．
13．（2分）（2022•兖州区一模）如图，AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为 ．
14．（2分）（2021秋•东方期末）若关于x的方程x2﹣kx+9＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k＝ ．
15．（2分）（2021秋•汝南县期末）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在x轴上找到点C（1，0）和y轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则D点的坐标是 ．
16．（2分）（2022•河南模拟）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则关于x的不等式组的解集是 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•宁波期末）2sin30°﹣tan60°+cos30°﹣tan245°．
18．（5分）（2021秋•龙泉市期末）解下列一元一次不等式（组）．
（1）x﹣3＞5．
（2）．
19．（5分）（2022•滑县模拟）先化简．再求值：2a（a+b）﹣（a+2b）（a﹣2b）﹣3b2，其中a＝+2，b＝﹣2．
20．（5分）（2021秋•北京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且∠ACB＝60°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦AB的长．
21．（6分）（2021秋•长丰县期末）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
22．（6分）（2022•岐山县一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是BC、AD边上的中点，且AE＝CF．求证：AD∥BC．
23．（5分）（2021秋•莱州市期末）某商场销售一种水果，每箱进价为9元．日均销售量y（箱）与每箱售价x（元）成一次函数关系，且10≤x≤16．当每箱售价为12元时，日均销售量是40箱．当每箱售价为10元时，日均销售量是56箱．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）要使日均利润达到最大，每箱售价应定为多少元？
24．（6分）（2022春•龙游县校级月考）某中学开展“非常数学”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班各派出5名选手参加比赛，最终结果如图所示：
（1）两班派出选手的平均成绩分别是多少？
（2）请利用方差说明哪个班派出的5名选手的成绩比较稳定？
25．（5分）（2022•普陀区二模）如图，已知⊙O的直径AB＝10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的长．
26．（6分）（2021秋•淮阴区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣2，5）和（1，﹣4），求b、c的值．
27．（7分）（2021秋•北京期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点（m，0），且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点P1，称为点P的一次反射点；将点P1关于直线l的对称点P2，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M（3，2）的一次反射点为M1（3，﹣2），点M关于直线l：x＝1的二次反射点为M2（﹣1，﹣2）．已知点A（﹣1，﹣1），B（﹣3，1），C（3，3），D（1，﹣1）．
（1）点A的一次反射点为 ，点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为 ；
（2）点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点，则a的值为 ；
（3）设点A，B，C关于直线l3：x＝t的二次反射点分别为A2，B2，C2，若△A2B2C2与△BCD无公共点，求t的取值范围．
28．（7分）（2022•陕西模拟）【问题探究】
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，若AC＝6，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（2）如图2，⊙O为某公园的一块绿地，A、B、D为绿地边缘（圆周上）的三个喷水池（喷水池的大小忽略不计），经测得AB＝AD＝200米，∠BAD＝60°，现欲在劣弧上找一点C，将四边形ABCD修建为一块花地，并将四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD修建成观赏小径（观赏小径的宽度忽略不计），要求四条观赏小径的长度之和与花地的面积都尽可能大．问是否能修建出满足要求的花地？若能，求出观赏小径的总长度和花地的面积；若不能，请说明理由．
2022年菁优北京中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•孝义市期末）如图是一个三棱柱，从正面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，是一行两个相邻的矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．（2分）（2021秋•江陵县期末）从权威部门获悉，中国海洋面积是2897000平方公里，2897000用科学记数法表示为（ ）
A．2897×103 B．28.97×105 C．2.897×106 D．0.2897×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2897000用科学记数法表示为2.897×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2022•天桥区校级模拟）如图是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（2分）（2021秋•缙云县期末）如图，点A表示的实数是a，则下列判断正确的是（ ）
A．a﹣1＞0 B．a+1＜0 C．a﹣1＜0 D．|a|＞1
【考点】实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有
【专题】数形结合；符号意识．
【分析】根据表示a的点在数轴的位置即可得出答案．
【解答】解：A、a＜1，则a﹣1＜0，故A不符合题意，
B、a＞﹣1，则a+1＞0，故B不符合题意，
C、a＜1，则a﹣1＜0，故C符合题意，
D、﹣1＜a＜0，则|a|＜1，故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查数轴及有理数运算、绝对值等，从图中得到﹣1＜a＜0是解题关键．
5．（2分）（2022•济阳区一模）某学校在手抄报活动中，济济和洋洋分别从抗击疫情，缅怀先烈，预防溺水三个专题中随机选择一个参加，两人恰好选择同一专题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一专题的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：抗击疫情，缅怀先烈，预防溺水三个专题分别用A、B、C表示，
根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一专题的结果为3种，
则两人恰好选择同一专题的概率是＝；
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
6．（2分）（2017春•杭州期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠EDC D．∠ADE＝∠EDC
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C，根据∠A＝∠B＝∠C，得到∠ADE＝∠EDC，因为∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠EDC＝∠EDC，所以∠ADE＝∠ADC，即可解答．
【解答】解：如图，
在△AED中，∠AED＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝120°﹣∠ADE，
在四边形DEBC中，∠DEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣60°＝120°，
∴∠B＝∠C＝（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2＝120°﹣∠EDC，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴120°﹣∠ADE＝120°﹣∠EDC，
∴∠ADE＝∠EDC，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C．
7．（2分）（2022•南山区校级一模）设7﹣的整数部分为a，小数部分为b，则（a+）（b﹣1）的值是（ ）
A．6 B．2﹣ C．1 D．﹣1
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】先估算的整数部分，从而得到7﹣的整数部分a、小数部分b，然后将a、b代入计算即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴3＜7﹣＜4，
∴7﹣的的整数部分为a＝3，小数部分为b＝7﹣﹣3＝4﹣，
∴（a+）（b﹣1）
＝（3+）（3﹣）
＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查估算无理数的大小；求出a、b的值是解题关键．
8．（2分）（2021秋•平邑县期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝5，BC＝3，则tanα的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】过C作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，证△CEG∽△CFB，得＝＝，则GB＝CG＝，再由平行线的性质得∠α＝∠GAB，然后由锐角三角函数定义求出tan∠BAG＝，即可求解．
【解答】解：过C作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由题意得：GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴＝＝，
∵BC＝3，
∴CG＝BC＝，
∴GB＝CG＝，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝＝＝，
∴tanα＝tan∠BAG＝，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明△CEG∽△CFB是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）若＝0，则2x﹣3y＝ 3 ．
【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据非负数的性质和分式的分母不等于零的知识进行分析解答．
【解答】解：根据题意，得．
解得．
所以2x﹣3y＝2×3﹣3×1＝3．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查了分式的值为零的条件．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．（2分）（2021秋•长垣市期末）分解因式：2x3+4x2+2x＝ 2x（x+1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2x（x2+2x+1）
＝2x（x+1）2．
故答案为：2x（x+1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（2分）（2021秋•崂山区期末）一块长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为2cm的圆柱，设它的高是hcm，根据题意列方程为 3×4×5＝4πh ．
【考点】认识立体图形；由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】根据题意找出题中存在的等量关系：长方体的体积＝圆柱体的体积，根据等量关系列方程即可．
【解答】解：根据等量关系列方程得：3×4×5＝4πh，
故答案为：3×4×5＝4πh．
【点评】此题主要考查了认识立体图形，正确掌握圆柱体体积公式是解题关键．
12．（2分）（2022春•武冈市期中）已知用含x的代数式表示y，y＝ ﹣x+2 ．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】①+②得出x+y+1＝3，再求出y即可．
【解答】解：，
①+②，得x+y+1＝3，
所以y＝3﹣1﹣x＝﹣x+2，
故答案为：y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能根据t的系数消去t是解此题的关键．
13．（2分）（2022•兖州区一模）如图，AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为 25° ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，证明∠OCA＝∠OAC＝∠COP，再根据圆周角定理得出答案．
【解答】证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，即∠COP+∠P＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠COP＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝∠COP＝25°，
∴∠D＝∠CAO＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握切线的性质定理是解题的关键．
14．（2分）（2021秋•东方期末）若关于x的方程x2﹣kx+9＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k＝ ±6 ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据方程x2﹣kx+9＝0有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即k2﹣4×1×9＝0，解得k＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的根判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．（2分）（2021秋•汝南县期末）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在x轴上找到点C（1，0）和y轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则D点的坐标是 （0，）或（0，2） ．
【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；图形的相似；推理能力．
【分析】分△AOB∽△DOC和△AOB∽△COD两种情况进行讨论，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度，继而求得点D的坐标．
【解答】解：若△AOB∽△DOC，点D在x轴上方：∠B＝∠OCD，
∴＝，即＝．
∴OD＝．
∴D（0，），
若△AOB∽△COD，点D在x轴上方：可得D（0，2）．
综上所述，D点的坐标是（0，）或（0，2）．
故答案是：（0，）或（0，2）．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够结合坐标与图形熟练求解．
16．（2分）（2022•河南模拟）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则关于x的不等式组的解集是 x＜a﹣1 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观；推理能力．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜a﹣1．
解不等式②，得x＜b+1．
∵a＜b，
∴a﹣1＜b+1，
∴原不等式组的解集为x＜a﹣1．
故答案为：x＜a﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•宁波期末）2sin30°﹣tan60°+cos30°﹣tan245°．
【考点】特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣+﹣12
＝1﹣+﹣1
＝﹣．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．（5分）（2021秋•龙泉市期末）解下列一元一次不等式（组）．
（1）x﹣3＞5．
（2）．
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）移项、合并同类项即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）移项，得x＞5+3，
合并同类项，得：x＞8；
（2）解不等式3（x﹣2）＜2x+3，得x＜9，
解不等式x+3＞﹣3x+7，得x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜9．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）（2022•滑县模拟）先化简．再求值：2a（a+b）﹣（a+2b）（a﹣2b）﹣3b2，其中a＝+2，b＝﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：2a（a+b）﹣（a+2b）（a﹣2b）﹣3b2
＝2a2+2ab﹣a2+4b2﹣3b2
＝a2+2ab+b2，
当a＝+2，b＝﹣2时，原式＝（a+b）2
＝（+2+﹣2）2
＝（2）2
＝12．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（5分）（2021秋•北京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且∠ACB＝60°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦AB的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB＝120°，求出∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝30°，解直角三角形求出AE，根据垂径定理求出AE＝BE，再求出答案即可．
【解答】解：连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝30°，
∵OE⊥AB，OE过圆心O，
∴AE＝BE，∠AEO＝90°，
∵OA＝6，
∴OE＝OA＝3，
由勾股定理得：AE＝＝＝3，
∴BE＝3，
即AB＝AE+BE＝3+3＝6．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能根据垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
21．（6分）（2021秋•长丰县期末）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（1，﹣3），
∴﹣3＝．
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
∵B（m，﹣1）在y＝﹣上，
∴m＝3．
∴B点坐标为（3，﹣1）；
把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝﹣4．
∴D点坐标为（0，﹣4）．
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝﹣＝4．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
22．（6分）（2022•岐山县一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是BC、AD边上的中点，且AE＝CF．求证：AD∥BC．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】证出BE＝CE＝AF＝DF，由AE＝CF，得出四边形AECF是平行四边形，则AF∥CE，即可得出结论．
【解答】证明：∵点E和F分别是BC和AD边上的中点，
∴BE＝CE＝BC，AF＝DF＝AD，
∵BC＝AD，
∴BE＝CE＝AF＝DF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴AD∥BC，
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．（5分）（2021秋•莱州市期末）某商场销售一种水果，每箱进价为9元．日均销售量y（箱）与每箱售价x（元）成一次函数关系，且10≤x≤16．当每箱售价为12元时，日均销售量是40箱．当每箱售价为10元时，日均销售量是56箱．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）要使日均利润达到最大，每箱售价应定为多少元？
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据日利润＝每箱的利润×日销售量列出函数解析式，在根据函数的性质求函数取最大值时x的值即可．
【解答】解：（1）设一次函数关系式为：y＝kx+b，
将x＝12、y＝40，x＝10、y＝56代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式y＝﹣8x+136；
（2）设日均利润为w元，则
w＝（﹣8x+136）（x﹣9）
＝﹣8x2+208x﹣1224
＝﹣8（x﹣13）2+128，
∵﹣8＜0，
∴当x＝13时，w有最大值．
因此，要使日均利润达到最大，每箱售价应定为13元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系，利用函数的性质求最值．
24．（6分）（2022春•龙游县校级月考）某中学开展“非常数学”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班各派出5名选手参加比赛，最终结果如图所示：
（1）两班派出选手的平均成绩分别是多少？
（2）请利用方差说明哪个班派出的5名选手的成绩比较稳定？
【考点】方差．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【分析】（1）根据算术平均数的概念求解可得；
（2）先计算出两个班的方差，再根据方差的意义求解可得．
【解答】解：（1）八（1）班的平均成绩是：×（75+80+85+85+100）＝85（分）；
八（2）班的平均成绩是：×（70+100+100+75+80）＝85（分）；
（2）八（1）班的成绩比较稳定，
理由：八（1）班的方差是：×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
八（2）班的方差是：×[（70﹣85）2+2×（100﹣85）2+（75﹣86）2+（80﹣85）2]＝160，
∵八（1）班的方差小于八（2）班的方差，
∴八（1）班的成绩比较稳定．
【点评】本题考查方差、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（5分）（2022•普陀区二模）如图，已知⊙O的直径AB＝10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】过点O作OD⊥BC，利用垂径定理即勾股定理求解即可．
【解答】解：过点O作OD⊥BC，
∴∠CDO＝∠BDO＝90°，
∵∠OPB＝45°，
∴∠POD＝45°，
∴OD＝DP，
设OD＝x，则DP＝x，
∵PC＝1，
∴CD＝1+x，
∵BC是⊙O的弦，OD⊥BC，
∴CD＝BD＝1+x，
∵⊙O的直径AB＝10，
∴OB＝5，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，
即52＝x2+（1+x）2，
∴x＝3或x＝﹣4（舍去），
即OD＝3，
∴BD＝CD＝4，
∴BC＝8．
【点评】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键．
26．（6分）（2021秋•淮阴区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣2，5）和（1，﹣4），求b、c的值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】将（﹣2，5）和（1，﹣4）代入解析式求解．
【解答】解：将（﹣2，5）和（1，﹣4）代入y＝x2+bx+c得，
解得b＝﹣2，c＝﹣3．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
27．（7分）（2021秋•北京期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点（m，0），且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点P1，称为点P的一次反射点；将点P1关于直线l的对称点P2，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M（3，2）的一次反射点为M1（3，﹣2），点M关于直线l：x＝1的二次反射点为M2（﹣1，﹣2）．已知点A（﹣1，﹣1），B（﹣3，1），C（3，3），D（1，﹣1）．
（1）点A的一次反射点为 （﹣1，1） ，点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为 （5，1） ；
（2）点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点，则a的值为 ﹣2 ；
（3）设点A，B，C关于直线l3：x＝t的二次反射点分别为A2，B2，C2，若△A2B2C2与△BCD无公共点，求t的取值范围．
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【分析】（1）根据轴对称的性质知A（﹣1，﹣1），关于x轴的对称点为（﹣1，1），则点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为（5，1）；
（2）由题意知2a﹣（﹣1）＝﹣3，则a＝﹣2；
（3）当t＜0时，只需A1关于直线x＝t对称点A2在点B左侧即可，当t＞0时，只需点D关于直线x＝t的二次反射点D在点D右侧即可，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，﹣1），
∴关于x轴的对称点为（﹣1，1），
∴点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为（5，1），
故答案为：（﹣1，1），（5，1）；
（2）由题意知，（﹣1，1）关于直线x＝a的二次反射点为B（﹣3，1），
∴2a﹣（﹣1）＝﹣3，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（3）由题意得，A1（﹣1，1），B1（﹣3，﹣1），C1（3，﹣3），点D（1，﹣1）在线段A1C1上．
当t＜0时，只需A1关于直线x＝t对称点A2在点B左侧即可，如图．
∵当A2与点B重合时，t＝﹣2，
∴当t＜﹣2时，△A2B2C2与与△BCD无公共点．
当t＞0时，只需点D关于直线x＝t的二次反射点D在点D右侧即可，
∵当D与点D重合时，t＝1，
∴当t＞1时，△A2B2C2与△BCD无公共点．
综上，若△A2B2C2与△BCD无公共点，t的取值范围是t＜﹣2，或t＞1．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，中点坐标公式，运用分类思想找到临界状态是解题的关键．
28．（7分）（2022•陕西模拟）【问题探究】
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，若AC＝6，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（2）如图2，⊙O为某公园的一块绿地，A、B、D为绿地边缘（圆周上）的三个喷水池（喷水池的大小忽略不计），经测得AB＝AD＝200米，∠BAD＝60°，现欲在劣弧上找一点C，将四边形ABCD修建为一块花地，并将四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD修建成观赏小径（观赏小径的宽度忽略不计），要求四条观赏小径的长度之和与花地的面积都尽可能大．问是否能修建出满足要求的花地？若能，求出观赏小径的总长度和花地的面积；若不能，请说明理由．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）连接BD，AC，过点A作AN⊥CD，AM⊥CB，交CB的延长线于点M，首先证明△ABM≌△ADN；同理可证：△ACM≌△ACN，得到S四边形ABCD＝2S△ACN；求出CN、AN的长度，即可解决问题；
（2）同（1）的方法得S四边形ABCD＝，四边形ABCD的周长为400+a，则当a为直径时，a的值最大，四边形ABCD周长和面积最大，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接BD，AC，过点A作AN⊥CD，AM⊥CB，交CB的延长线于点M，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴AC平分∠BCD，AM＝AN；
在Rt△ABM与Rt△ADN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN（HL），
同理可证：Rt△ACM≌Rt△ACN，
∴S四边形ABCD＝2S△ACN；
在△ACN中，sin60°＝，cos60°＝，
∴AN＝×6＝3，CN＝×6＝3，
∴S四边形ABCD＝2וCN•AN＝3×3＝9；
（2）如图，连接BD，AC，过点A作AN⊥CD，AM⊥CB，交CB的延长线于点M，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴AC平分∠BCD，AM＝AN；
在Rt△ABM与Rt△ADN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN（HL），
同理可证：Rt△ACM≌Rt△ACN，
∴S四边形ABCD＝2S△ACN，
∴CM＝CN，
在△ACN中，sin60°＝，cos60°＝，
设AC＝a，
∴AN＝a，CM＝CN＝a，
∴四边形ABCD的周长为：AB+AD+BC+CD
＝AB+AD+BM+MC+CN﹣DN
＝AB+AD+2CN
＝200+200+2×a
＝400+a，
S四边形ABCD＝2וCN•AN＝，
当AC为直径时，a的值最大，四边形ABCD周长和面积最大，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴BC＝CD＝200米，AC＝400米，
∴四边形ABCD周长周长最大值为（400+400）米，面积最大值为＝40000米2．
∴能修建出满足要求的花地，观赏小径的总长度为（400+400）米，花地的面积40000米2．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
5．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
8．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
10．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
13．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
14．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
16．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
17．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
18．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
19．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
22．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
23．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
26．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
27．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
28．圆的综合题
圆的综合题．
29．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
30．几何变换综合题
几何变换综合题．
31．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
32．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
35．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
36．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
2022北京中考数学终极押题密卷3
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•孝义市期末）如图是一个三棱柱，从正面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）（2021秋•江陵县期末）从权威部门获悉，中国海洋面积是2897000平方公里，2897000用科学记数法表示为（ ）
A．2897×103 B．28.97×105 C．2.897×106 D．0.2897×107
3．（2分）（2022•天桥区校级模拟）如图是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）（2021秋•缙云县期末）如图，点A表示的实数是a，则下列判断正确的是（ ）
A．a﹣1＞0 B．a+1＜0 C．a﹣1＜0 D．|a|＞1
5．（2分）（2022•济阳区一模）某学校在手抄报活动中，济济和洋洋分别从抗击疫情，缅怀先烈，预防溺水三个专题中随机选择一个参加，两人恰好选择同一专题的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2分）（2017春•杭州期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠EDC D．∠ADE＝∠EDC
7．（2分）（2022•南山区校级一模）设7﹣的整数部分为a，小数部分为b，则（a+）（b﹣1）的值是（ ）
A．6 B．2﹣ C．1 D．﹣1
8．（2分）（2021秋•平邑县期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝5，BC＝3，则tanα的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）若＝0，则2x﹣3y＝ ．
10．（2分）（2021秋•长垣市期末）分解因式：2x3+4x2+2x＝ ．
11．（2分）（2021秋•崂山区期末）一块长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为2cm的圆柱，设它的高是hcm，根据题意列方程为 ．
12．（2分）（2022春•武冈市期中）已知用含x的代数式表示y，y＝ ．
13．（2分）（2022•兖州区一模）如图，AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为 ．
14．（2分）（2021秋•东方期末）若关于x的方程x2﹣kx+9＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k＝ ．
15．（2分）（2021秋•汝南县期末）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在x轴上找到点C（1，0）和y轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则D点的坐标是 ．
16．（2分）（2022•河南模拟）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则关于x的不等式组的解集是 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•宁波期末）2sin30°﹣tan60°+cos30°﹣tan245°．
18．（5分）（2021秋•龙泉市期末）解下列一元一次不等式（组）．
（1）x﹣3＞5．
（2）．
19．（5分）（2022•滑县模拟）先化简．再求值：2a（a+b）﹣（a+2b）（a﹣2b）﹣3b2，其中a＝+2，b＝﹣2．
20．（5分）（2021秋•北京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且∠ACB＝60°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦AB的长．
21．（6分）（2021秋•长丰县期末）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
22．（6分）（2022•岐山县一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是BC、AD边上的中点，且AE＝CF．求证：AD∥BC．
23．（5分）（2021秋•莱州市期末）某商场销售一种水果，每箱进价为9元．日均销售量y（箱）与每箱售价x（元）成一次函数关系，且10≤x≤16．当每箱售价为12元时，日均销售量是40箱．当每箱售价为10元时，日均销售量是56箱．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）要使日均利润达到最大，每箱售价应定为多少元？
24．（6分）（2022春•龙游县校级月考）某中学开展“非常数学”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班各派出5名选手参加比赛，最终结果如图所示：
（1）两班派出选手的平均成绩分别是多少？
（2）请利用方差说明哪个班派出的5名选手的成绩比较稳定？
25．（5分）（2022•普陀区二模）如图，已知⊙O的直径AB＝10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的长．
26．（6分）（2021秋•淮阴区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣2，5）和（1，﹣4），求b、c的值．
27．（7分）（2021秋•北京期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点（m，0），且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点P1，称为点P的一次反射点；将点P1关于直线l的对称点P2，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M（3，2）的一次反射点为M1（3，﹣2），点M关于直线l：x＝1的二次反射点为M2（﹣1，﹣2）．已知点A（﹣1，﹣1），B（﹣3，1），C（3，3），D（1，﹣1）．
（1）点A的一次反射点为 ，点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为 ；
（2）点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点，则a的值为 ；
（3）设点A，B，C关于直线l3：x＝t的二次反射点分别为A2，B2，C2，若△A2B2C2与△BCD无公共点，求t的取值范围．
28．（7分）（2022•陕西模拟）【问题探究】
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，若AC＝6，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（2）如图2，⊙O为某公园的一块绿地，A、B、D为绿地边缘（圆周上）的三个喷水池（喷水池的大小忽略不计），经测得AB＝AD＝200米，∠BAD＝60°，现欲在劣弧上找一点C，将四边形ABCD修建为一块花地，并将四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD修建成观赏小径（观赏小径的宽度忽略不计），要求四条观赏小径的长度之和与花地的面积都尽可能大．问是否能修建出满足要求的花地？若能，求出观赏小径的总长度和花地的面积；若不能，请说明理由．
2022年菁优北京中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•孝义市期末）如图是一个三棱柱，从正面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，是一行两个相邻的矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．（2分）（2021秋•江陵县期末）从权威部门获悉，中国海洋面积是2897000平方公里，2897000用科学记数法表示为（ ）
A．2897×103 B．28.97×105 C．2.897×106 D．0.2897×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2897000用科学记数法表示为2.897×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2022•天桥区校级模拟）如图是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（2分）（2021秋•缙云县期末）如图，点A表示的实数是a，则下列判断正确的是（ ）
A．a﹣1＞0 B．a+1＜0 C．a﹣1＜0 D．|a|＞1
【考点】实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有
【专题】数形结合；符号意识．
【分析】根据表示a的点在数轴的位置即可得出答案．
【解答】解：A、a＜1，则a﹣1＜0，故A不符合题意，
B、a＞﹣1，则a+1＞0，故B不符合题意，
C、a＜1，则a﹣1＜0，故C符合题意，
D、﹣1＜a＜0，则|a|＜1，故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查数轴及有理数运算、绝对值等，从图中得到﹣1＜a＜0是解题关键．
5．（2分）（2022•济阳区一模）某学校在手抄报活动中，济济和洋洋分别从抗击疫情，缅怀先烈，预防溺水三个专题中随机选择一个参加，两人恰好选择同一专题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一专题的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：抗击疫情，缅怀先烈，预防溺水三个专题分别用A、B、C表示，
根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一专题的结果为3种，
则两人恰好选择同一专题的概率是＝；
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
6．（2分）（2017春•杭州期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠EDC D．∠ADE＝∠EDC
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C，根据∠A＝∠B＝∠C，得到∠ADE＝∠EDC，因为∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠EDC＝∠EDC，所以∠ADE＝∠ADC，即可解答．
【解答】解：如图，
在△AED中，∠AED＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝120°﹣∠ADE，
在四边形DEBC中，∠DEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣60°＝120°，
∴∠B＝∠C＝（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2＝120°﹣∠EDC，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴120°﹣∠ADE＝120°﹣∠EDC，
∴∠ADE＝∠EDC，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C．
7．（2分）（2022•南山区校级一模）设7﹣的整数部分为a，小数部分为b，则（a+）（b﹣1）的值是（ ）
A．6 B．2﹣ C．1 D．﹣1
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】先估算的整数部分，从而得到7﹣的整数部分a、小数部分b，然后将a、b代入计算即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴3＜7﹣＜4，
∴7﹣的的整数部分为a＝3，小数部分为b＝7﹣﹣3＝4﹣，
∴（a+）（b﹣1）
＝（3+）（3﹣）
＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查估算无理数的大小；求出a、b的值是解题关键．
8．（2分）（2021秋•平邑县期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝5，BC＝3，则tanα的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】过C作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，证△CEG∽△CFB，得＝＝，则GB＝CG＝，再由平行线的性质得∠α＝∠GAB，然后由锐角三角函数定义求出tan∠BAG＝，即可求解．
【解答】解：过C作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由题意得：GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴＝＝，
∵BC＝3，
∴CG＝BC＝，
∴GB＝CG＝，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝＝＝，
∴tanα＝tan∠BAG＝，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明△CEG∽△CFB是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•海淀区校级月考）若＝0，则2x﹣3y＝ 3 ．
【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据非负数的性质和分式的分母不等于零的知识进行分析解答．
【解答】解：根据题意，得．
解得．
所以2x﹣3y＝2×3﹣3×1＝3．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查了分式的值为零的条件．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．（2分）（2021秋•长垣市期末）分解因式：2x3+4x2+2x＝ 2x（x+1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2x（x2+2x+1）
＝2x（x+1）2．
故答案为：2x（x+1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（2分）（2021秋•崂山区期末）一块长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为2cm的圆柱，设它的高是hcm，根据题意列方程为 3×4×5＝4πh ．
【考点】认识立体图形；由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】根据题意找出题中存在的等量关系：长方体的体积＝圆柱体的体积，根据等量关系列方程即可．
【解答】解：根据等量关系列方程得：3×4×5＝4πh，
故答案为：3×4×5＝4πh．
【点评】此题主要考查了认识立体图形，正确掌握圆柱体体积公式是解题关键．
12．（2分）（2022春•武冈市期中）已知用含x的代数式表示y，y＝ ﹣x+2 ．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】①+②得出x+y+1＝3，再求出y即可．
【解答】解：，
①+②，得x+y+1＝3，
所以y＝3﹣1﹣x＝﹣x+2，
故答案为：y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能根据t的系数消去t是解此题的关键．
13．（2分）（2022•兖州区一模）如图，AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为 25° ．
【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，证明∠OCA＝∠OAC＝∠COP，再根据圆周角定理得出答案．
【解答】证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，即∠COP+∠P＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠COP＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝∠COP＝25°，
∴∠D＝∠CAO＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握切线的性质定理是解题的关键．
14．（2分）（2021秋•东方期末）若关于x的方程x2﹣kx+9＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k＝ ±6 ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据方程x2﹣kx+9＝0有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即k2﹣4×1×9＝0，解得k＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的根判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．（2分）（2021秋•汝南县期末）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在x轴上找到点C（1，0）和y轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则D点的坐标是 （0，）或（0，2） ．
【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；图形的相似；推理能力．
【分析】分△AOB∽△DOC和△AOB∽△COD两种情况进行讨论，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度，继而求得点D的坐标．
【解答】解：若△AOB∽△DOC，点D在x轴上方：∠B＝∠OCD，
∴＝，即＝．
∴OD＝．
∴D（0，），
若△AOB∽△COD，点D在x轴上方：可得D（0，2）．
综上所述，D点的坐标是（0，）或（0，2）．
故答案是：（0，）或（0，2）．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够结合坐标与图形熟练求解．
16．（2分）（2022•河南模拟）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则关于x的不等式组的解集是 x＜a﹣1 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观；推理能力．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜a﹣1．
解不等式②，得x＜b+1．
∵a＜b，
∴a﹣1＜b+1，
∴原不等式组的解集为x＜a﹣1．
故答案为：x＜a﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•宁波期末）2sin30°﹣tan60°+cos30°﹣tan245°．
【考点】特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣+﹣12
＝1﹣+﹣1
＝﹣．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．（5分）（2021秋•龙泉市期末）解下列一元一次不等式（组）．
（1）x﹣3＞5．
（2）．
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）移项、合并同类项即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）移项，得x＞5+3，
合并同类项，得：x＞8；
（2）解不等式3（x﹣2）＜2x+3，得x＜9，
解不等式x+3＞﹣3x+7，得x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜9．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）（2022•滑县模拟）先化简．再求值：2a（a+b）﹣（a+2b）（a﹣2b）﹣3b2，其中a＝+2，b＝﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：2a（a+b）﹣（a+2b）（a﹣2b）﹣3b2
＝2a2+2ab﹣a2+4b2﹣3b2
＝a2+2ab+b2，
当a＝+2，b＝﹣2时，原式＝（a+b）2
＝（+2+﹣2）2
＝（2）2
＝12．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（5分）（2021秋•北京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且∠ACB＝60°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦AB的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB＝120°，求出∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝30°，解直角三角形求出AE，根据垂径定理求出AE＝BE，再求出答案即可．
【解答】解：连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝30°，
∵OE⊥AB，OE过圆心O，
∴AE＝BE，∠AEO＝90°，
∵OA＝6，
∴OE＝OA＝3，
由勾股定理得：AE＝＝＝3，
∴BE＝3，
即AB＝AE+BE＝3+3＝6．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能根据垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
21．（6分）（2021秋•长丰县期末）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，﹣3）和B（m，﹣1），连接OA、OB．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A（1，﹣3），
∴﹣3＝．
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
∵B（m，﹣1）在y＝﹣上，
∴m＝3．
∴B点坐标为（3，﹣1）；
把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝﹣4．
∴D点坐标为（0，﹣4）．
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝﹣＝4．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
22．（6分）（2022•岐山县一模）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是BC、AD边上的中点，且AE＝CF．求证：AD∥BC．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】证出BE＝CE＝AF＝DF，由AE＝CF，得出四边形AECF是平行四边形，则AF∥CE，即可得出结论．
【解答】证明：∵点E和F分别是BC和AD边上的中点，
∴BE＝CE＝BC，AF＝DF＝AD，
∵BC＝AD，
∴BE＝CE＝AF＝DF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴AD∥BC，
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．（5分）（2021秋•莱州市期末）某商场销售一种水果，每箱进价为9元．日均销售量y（箱）与每箱售价x（元）成一次函数关系，且10≤x≤16．当每箱售价为12元时，日均销售量是40箱．当每箱售价为10元时，日均销售量是56箱．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）要使日均利润达到最大，每箱售价应定为多少元？
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据日利润＝每箱的利润×日销售量列出函数解析式，在根据函数的性质求函数取最大值时x的值即可．
【解答】解：（1）设一次函数关系式为：y＝kx+b，
将x＝12、y＝40，x＝10、y＝56代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式y＝﹣8x+136；
（2）设日均利润为w元，则
w＝（﹣8x+136）（x﹣9）
＝﹣8x2+208x﹣1224
＝﹣8（x﹣13）2+128，
∵﹣8＜0，
∴当x＝13时，w有最大值．
因此，要使日均利润达到最大，每箱售价应定为13元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系，利用函数的性质求最值．
24．（6分）（2022春•龙游县校级月考）某中学开展“非常数学”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班各派出5名选手参加比赛，最终结果如图所示：
（1）两班派出选手的平均成绩分别是多少？
（2）请利用方差说明哪个班派出的5名选手的成绩比较稳定？
【考点】方差．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【分析】（1）根据算术平均数的概念求解可得；
（2）先计算出两个班的方差，再根据方差的意义求解可得．
【解答】解：（1）八（1）班的平均成绩是：×（75+80+85+85+100）＝85（分）；
八（2）班的平均成绩是：×（70+100+100+75+80）＝85（分）；
（2）八（1）班的成绩比较稳定，
理由：八（1）班的方差是：×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2×（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
八（2）班的方差是：×[（70﹣85）2+2×（100﹣85）2+（75﹣86）2+（80﹣85）2]＝160，
∵八（1）班的方差小于八（2）班的方差，
∴八（1）班的成绩比较稳定．
【点评】本题考查方差、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（5分）（2022•普陀区二模）如图，已知⊙O的直径AB＝10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】过点O作OD⊥BC，利用垂径定理即勾股定理求解即可．
【解答】解：过点O作OD⊥BC，
∴∠CDO＝∠BDO＝90°，
∵∠OPB＝45°，
∴∠POD＝45°，
∴OD＝DP，
设OD＝x，则DP＝x，
∵PC＝1，
∴CD＝1+x，
∵BC是⊙O的弦，OD⊥BC，
∴CD＝BD＝1+x，
∵⊙O的直径AB＝10，
∴OB＝5，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，
即52＝x2+（1+x）2，
∴x＝3或x＝﹣4（舍去），
即OD＝3，
∴BD＝CD＝4，
∴BC＝8．
【点评】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键．
26．（6分）（2021秋•淮阴区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣2，5）和（1，﹣4），求b、c的值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】将（﹣2，5）和（1，﹣4）代入解析式求解．
【解答】解：将（﹣2，5）和（1，﹣4）代入y＝x2+bx+c得，
解得b＝﹣2，c＝﹣3．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
27．（7分）（2021秋•北京期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点（m，0），且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点P1，称为点P的一次反射点；将点P1关于直线l的对称点P2，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M（3，2）的一次反射点为M1（3，﹣2），点M关于直线l：x＝1的二次反射点为M2（﹣1，﹣2）．已知点A（﹣1，﹣1），B（﹣3，1），C（3，3），D（1，﹣1）．
（1）点A的一次反射点为 （﹣1，1） ，点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为 （5，1） ；
（2）点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点，则a的值为 ﹣2 ；
（3）设点A，B，C关于直线l3：x＝t的二次反射点分别为A2，B2，C2，若△A2B2C2与△BCD无公共点，求t的取值范围．
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【分析】（1）根据轴对称的性质知A（﹣1，﹣1），关于x轴的对称点为（﹣1，1），则点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为（5，1）；
（2）由题意知2a﹣（﹣1）＝﹣3，则a＝﹣2；
（3）当t＜0时，只需A1关于直线x＝t对称点A2在点B左侧即可，当t＞0时，只需点D关于直线x＝t的二次反射点D在点D右侧即可，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，﹣1），
∴关于x轴的对称点为（﹣1，1），
∴点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为（5，1），
故答案为：（﹣1，1），（5，1）；
（2）由题意知，（﹣1，1）关于直线x＝a的二次反射点为B（﹣3，1），
∴2a﹣（﹣1）＝﹣3，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（3）由题意得，A1（﹣1，1），B1（﹣3，﹣1），C1（3，﹣3），点D（1，﹣1）在线段A1C1上．
当t＜0时，只需A1关于直线x＝t对称点A2在点B左侧即可，如图．
∵当A2与点B重合时，t＝﹣2，
∴当t＜﹣2时，△A2B2C2与与△BCD无公共点．
当t＞0时，只需点D关于直线x＝t的二次反射点D在点D右侧即可，
∵当D与点D重合时，t＝1，
∴当t＞1时，△A2B2C2与△BCD无公共点．
综上，若△A2B2C2与△BCD无公共点，t的取值范围是t＜﹣2，或t＞1．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，中点坐标公式，运用分类思想找到临界状态是解题的关键．
28．（7分）（2022•陕西模拟）【问题探究】
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，若AC＝6，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（2）如图2，⊙O为某公园的一块绿地，A、B、D为绿地边缘（圆周上）的三个喷水池（喷水池的大小忽略不计），经测得AB＝AD＝200米，∠BAD＝60°，现欲在劣弧上找一点C，将四边形ABCD修建为一块花地，并将四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD修建成观赏小径（观赏小径的宽度忽略不计），要求四条观赏小径的长度之和与花地的面积都尽可能大．问是否能修建出满足要求的花地？若能，求出观赏小径的总长度和花地的面积；若不能，请说明理由．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）连接BD，AC，过点A作AN⊥CD，AM⊥CB，交CB的延长线于点M，首先证明△ABM≌△ADN；同理可证：△ACM≌△ACN，得到S四边形ABCD＝2S△ACN；求出CN、AN的长度，即可解决问题；
（2）同（1）的方法得S四边形ABCD＝，四边形ABCD的周长为400+a，则当a为直径时，a的值最大，四边形ABCD周长和面积最大，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接BD，AC，过点A作AN⊥CD，AM⊥CB，交CB的延长线于点M，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴AC平分∠BCD，AM＝AN；
在Rt△ABM与Rt△ADN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN（HL），
同理可证：Rt△ACM≌Rt△ACN，
∴S四边形ABCD＝2S△ACN；
在△ACN中，sin60°＝，cos60°＝，
∴AN＝×6＝3，CN＝×6＝3，
∴S四边形ABCD＝2וCN•AN＝3×3＝9；
（2）如图，连接BD，AC，过点A作AN⊥CD，AM⊥CB，交CB的延长线于点M，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴AC平分∠BCD，AM＝AN；
在Rt△ABM与Rt△ADN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN（HL），
同理可证：Rt△ACM≌Rt△ACN，
∴S四边形ABCD＝2S△ACN，
∴CM＝CN，
在△ACN中，sin60°＝，cos60°＝，
设AC＝a，
∴AN＝a，CM＝CN＝a，
∴四边形ABCD的周长为：AB+AD+BC+CD
＝AB+AD+BM+MC+CN﹣DN
＝AB+AD+2CN
＝200+200+2×a
＝400+a，
S四边形ABCD＝2וCN•AN＝，
当AC为直径时，a的值最大，四边形ABCD周长和面积最大，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴BC＝CD＝200米，AC＝400米，
∴四边形ABCD周长周长最大值为（400+400）米，面积最大值为＝40000米2．
∴能修建出满足要求的花地，观赏小径的总长度为（400+400）米，花地的面积40000米2．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
5．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
8．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
10．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
13．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
14．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
16．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
17．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
18．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
19．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
22．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
23．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
26．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
27．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
28．圆的综合题
圆的综合题．
29．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
30．几何变换综合题
几何变换综合题．
31．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
32．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
35．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
36．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
相关试卷
2022年南京中考数学终极押题密卷3： 这是一份2022年南京中考数学终极押题密卷3，共35页。
2022年江西中考数学终极押题密卷3： 这是一份2022年江西中考数学终极押题密卷3，共33页。
2022年广州中考数学终极押题密卷3： 这是一份2022年广州中考数学终极押题密卷3，共39页。
