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2022年北京中考数学终极押题密卷1
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这是一份2022年北京中考数学终极押题密卷1，共49页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
2022年北京中考数学终极押题密卷1
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•齐齐哈尔模拟）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．（2分）（2022•郫都区模拟）根据世卫组织最新实时统计数据，全球累计新冠肺炎确诊病例超过400000000．将数据400000000用科学记数法表示应（ ）
A．0.4×109 B．4×108 C．40×107 D．4×107
3．（2分）（2022春•黄石期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2分）（2020秋•金昌期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则|a+b|+|a﹣b|等于（ ）
A．2a B．2b C．2b﹣2a D．2b+2a
5．（2分）（2022春•市中区校级月考）若一个多边形的内角和为1080°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
6．（2分）（2021秋•二七区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
7．（2分）（2022•湘乡市模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤且k≠0 B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≥
8．（2分）（2021•息县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•镇平县月考）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）（2022•凤山县模拟）因式分解：3m2﹣3＝ ．
11．（2分）（2022•海淀区校级开学）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ．
12．（2分）（2022•乌鲁木齐一模）方程＝的解为 ．
13．（2分）（2021秋•大冶市期末）对于函数y＝，当函数值y＜﹣1时，x的取值范围是 ．
14．（2分）（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
15．（2分）（2022春•沙坪坝区校级月考）若a是从﹣2、0、1、3中随机取的一个数，b是从﹣1、0、2022中随机取的一个数，则点（a，b）在坐标轴上的概率是 ．
16．（2分）（2021秋•浑南区期末）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有 个．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•历下区期末）计算：2cos30°+4sin30°﹣tan60°
18．（5分）（2022春•连城县校级月考）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（5分）（2021秋•铜官区期末）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．
20．（5分）（2022春•海安市月考）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
21．（6分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴的正半轴上，BO＝BA，点A的横坐标为1．
（1）求点B的坐标；
（2）设C是AB的中点，D是线段OB上一动点，点A关于直线CD的对称点是A′．
①OD为何值时，点A′与点B重合？
②OD为何值时，以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形？
22．（6分）某项针对18岁～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，随机对30名符合年龄的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据频数分布直方图估计这30名青年人中“日均发微博条数”的平均数．
23．（5分）（2022春•邗江区校级月考）已知一次函数的图象过点（2，1）和（﹣1，﹣3），若一条直线与此函数相交于点（﹣3，a），且与y轴交点的坐标为5，求此直线解析式．
24．（6分）（2022•沈河区校级模拟）如图，点E为正方形ABCD的边BC上的一点，⊙O是△ABE的外接圆，与AD交于点F．G是CD上一点，且∠DGF＝∠AEB．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，DG＝1，求⊙O半径的长．
25．（5分）（2021秋•湖州期末）某农户养殖经销大闸蟹，已知大闸蟹的成本价为60元/千克．市场调查发现，该大闸蟹每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+240．设大闸蟹每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定大闸蟹的利润不得高于40%，该农户想要每天获得1600元的销售利润，销售价应定为多少？
26．（6分）（2022•常州模拟）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（一1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及∠ACB的度数；
（2）已知点D（1，n ）在抛物线上，过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
27．（7分）（2021秋•渌口区期末）[基础巩固]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
[思维提高]（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM．求线段AC的长．
28．（7分）（2022春•上城区月考）如图1所示，直角△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝15，AB＝a，以O为圆心，OA为半径的圆交OB于点C，连接AC．
（1）证明：∠AOB＝2∠BAC；
（2）当a＝20时，求AC的长；
（3）将△ABC绕点A顺时针旋转，点C的对应点为D，点B的对应点为E．当点D、E都在⊙O上时（如图2所示），证明：OA∥DE．
2022年菁优北京中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•齐齐哈尔模拟）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据主视图和左视图知该组合体共2行、3列，再结合主视图和左视图确定每个位置小正方体的个数．
【解答】解：结合主视图和左视图，知搭建该几何体需要的小正方体的分布情况如图所示：
故选：A．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
2．（2分）（2022•郫都区模拟）根据世卫组织最新实时统计数据，全球累计新冠肺炎确诊病例超过400000000．将数据400000000用科学记数法表示应（ ）
A．0.4×109 B．4×108 C．40×107 D．4×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：400000000＝4×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2022春•黄石期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】实数；垂线；点到直线的距离；平行线；平行公理及推论；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；数感；几何直观．
【分析】根据实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．
【解答】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有：平行和相交（夹角为直角时垂直），故①错误；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③在平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④有限小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故④错误；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误．
故正确的是②，共1个．
故选：D．
【点评】本题考查了实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
4．（2分）（2020秋•金昌期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则|a+b|+|a﹣b|等于（ ）
A．2a B．2b C．2b﹣2a D．2b+2a
【考点】绝对值；实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】数形结合．
【分析】根据数轴，先确定a、b的正负，即b＞0，a＜0，得出|a+b|＝a+b，|a﹣b|＝b﹣a，即可得出结果．
【解答】解：根据实数a、b在数轴上的位置得知：
a＜0，b＞0，
∴|a+b|＝a+b，|a﹣b|＝b﹣a，
∴|a+b|+|a﹣b|＝a+b+b﹣a＝2b，
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的运算，先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号，借助数轴化简含有绝对值的式子，难度适中．
5．（2分）（2022春•市中区校级月考）若一个多边形的内角和为1080°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x﹣2）×180＝1080，
解得；x＝8，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：8﹣3＝5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n﹣2）．
6．（2分）（2021秋•二七区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】解：∵AE＝2ED，
∴＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴△EDF∽△CBF，
∴＝＝＝，
∴＝（）2＝，
∵S△EDF＝2，
∴S△BCF＝18．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（2分）（2022•湘乡市模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤且k≠0 B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≥
【考点】根的判别式；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】新定义；判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，
解得k≤且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
8．（2分）（2021•息县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4中，当x＝0时，y＝0+4＝4，
∴A（0，4），
∴OA＝4；
∵当y＝0时，0＝x+4，
∴x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴OB＝3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
∵点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，
∴k＝﹣7×3＝﹣21．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•镇平县月考）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；数感；运算能力．
【分析】要使代数式有意义，需使被开方数≥0，分母≠0，得3x﹣1＞0，即可知答案．
【解答】解：由题意知：3x﹣1＞0，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是被开方数≥0，分母≠0，再进行求解．
10．（2分）（2022•凤山县模拟）因式分解：3m2﹣3＝ 3（m﹣1）（m+1） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】首先提公因式3，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝3（m2﹣1）＝3（m﹣1）（m+1），
故答案为：3（m﹣1）（m+1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11．（2分）（2022•海淀区校级开学）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力；应用意识．
【分析】以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有1个交点，则可得到形状唯一确定的△PAQ，否则不能得到形状唯一确定的△PAQ．根据此观点进行解答便可．
【解答】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，关键是确定以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM的交点个数．
12．（2分）（2022•乌鲁木齐一模）方程＝的解为 x＝ ．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝9x﹣3，
移项合并得：﹣7x＝﹣3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
故答案为：x＝
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．（2分）（2021秋•大冶市期末）对于函数y＝，当函数值y＜﹣1时，x的取值范围是 ﹣3＜x＜0 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】先求出y＝﹣1时x的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，
∵当y＝﹣1时，x＝﹣3，
∴当函数值y＜﹣1时，﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
14．（2分）（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 DE＝FG（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【考点】矩形的判定．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，推出四边形DFGE是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：DE＝FG，
理由：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴DE∥FG，
∵DE＝FG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
∵DG＝EF，
∴四边形DFGE是矩形，
故答案为：DE＝FG（答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
15．（2分）（2022春•沙坪坝区校级月考）若a是从﹣2、0、1、3中随机取的一个数，b是从﹣1、0、2022中随机取的一个数，则点（a，b）在坐标轴上的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；点的坐标．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中点（a，b）在坐标轴上的有6种，
则点（a，b）在坐标轴上的概率是＝；
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（2分）（2021秋•浑南区期末）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有 18 个．
【考点】用样本估计总体．菁优网版权所有
【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得．
【解答】解：估计袋中白球有50×36%＝18个，
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•历下区期末）计算：2cos30°+4sin30°﹣tan60°
【考点】特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式＝2×+4×﹣
＝+2﹣
＝2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．
18．（5分）（2022春•连城县校级月考）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2（x+1）≥﹣1，得，
解不等式，＜+，得x＜2，
∴不等式组的解集为，
此不等式组的解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）（2021秋•铜官区期末）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣25﹣（x2﹣4x+4）+x2+x﹣2
＝x2﹣25﹣x2+4x﹣4+x2+x﹣2
＝x2+5x﹣31，
当x＝3时，原式＝32+5×3﹣31＝﹣7．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算得出答案．
20．（5分）（2022春•海安市月考）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝3，则DE＝6，即可得出答案．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
21．（6分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴的正半轴上，BO＝BA，点A的横坐标为1．
（1）求点B的坐标；
（2）设C是AB的中点，D是线段OB上一动点，点A关于直线CD的对称点是A′．
①OD为何值时，点A′与点B重合？
②OD为何值时，以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形？
【考点】反比例函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；分类讨论．
【分析】（1）过点A作AH⊥OB于H，如图1，由点A的横坐标为1可求出OH、AH，设OB＝x，则AB＝OB＝x，BH＝x﹣1，然后在Rt△AHB中运用勾股定理即可解决问题；
（2）①设DB＝m，则有AD＝BD＝m，HD＝12﹣m，只需在Rt△AHD中运用勾股定理，就可解决问题；
②以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形并不唯一，可分两种情况进行讨论：Ⅰ．若BC是平行四边形的边，如图2，易证四边形CADA′是菱形，从而得到AD＝AC＝，然后在Rt△AHD中运用勾股定理即可解决问题；Ⅱ．若BC是平行四边形的对角线，如图3，易得DB＝CA′＝CA＝，即可求出OD．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥OB于H，如图1．
∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，xA＝1，
∴OH＝1，yA＝＝5，
∴AH＝5．
设OB＝x，则有AB＝OB＝x，BH＝x﹣1．
在Rt△AHB中，根据勾股定理可得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13，
∴点B的坐标为（13，0）；
（2）①若点A′与点B重合，如图1，
∵点A关于直线CD的对称点是A′，
∴DA＝DA′＝DB．
设DB＝m，则有AD＝BD＝m，HD＝12﹣m．
在Rt△AHD中，根据勾股定理可得：
52+（12﹣m）2＝m2，
解得：m＝，
∴OD＝OB﹣DB＝13﹣＝，
∴OD为时，点A′与点B重合；
②Ⅰ．若BC为平行四边形的边，如图2，
则有四边形CDA′B是平行四边形，
∴DA′∥BC，DA′＝BC．
∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC＝AB＝，
∴DA′∥AC，DA′＝AC，
∴四边形CADA′是平行四边形．
∵DA＝DA′，
∴平行四边形CADA′是菱形，
∴AD＝AC＝，
∴HD2＝AD2﹣AH2＝﹣25＝，
∴HD＝，
∴OD＝+1；
Ⅱ．若BC为平行四边形的对角线，如图3，
则有四边形CDBA′是平行四边形，
∴DB＝CA′．
∵CA＝CA′，
∴DB＝AC＝，
∴OD＝OB﹣DB＝13﹣＝．
综上所述：当OD为+1或时，以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，证到四边形CADA′是菱形，从而得到AD＝AC是解决第（2）①小题的关键．设某个线段为x，然后运用勾股定理（或相似三角形的性质或三角函数的定义）建立方程，并解出这个方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．另外，需要说明的是：当平行四边形的四个顶点的顺序不确定时，需分情况讨论．
22．（6分）某项针对18岁～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，随机对30名符合年龄的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据频数分布直方图估计这30名青年人中“日均发微博条数”的平均数．
【考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数．菁优网版权所有
【分析】先求出组中值，再根据加权平均数的计算公式求解即可．
【解答】解：估计这30名青年人中“日均发微博条数”的平均数是：
（2×2+6×3+10×8+14×12+18×5）÷30＝360÷30＝12．
【点评】本题考查了频数分布直方图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，也考查了加权平均数．
23．（5分）（2022春•邗江区校级月考）已知一次函数的图象过点（2，1）和（﹣1，﹣3），若一条直线与此函数相交于点（﹣3，a），且与y轴交点的坐标为5，求此直线解析式．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式；把（﹣3，a）代入一次函数解析式求出a的值，得到直线与此一次函数的图象交点坐标，然后利用待定系数法求该直线解析式．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
把（2，1），（﹣1，﹣3）代入得，解得，
所以一次函数解析式为y＝x﹣；
把（﹣3，a）代入y＝x﹣得a＝×（﹣3）﹣＝﹣，则直线与此一次函数的图象交点坐标为（﹣3，﹣），
设这条直线的解析式为y＝mx+n，
把（﹣3，﹣）、（0，5）代入得，解得，
所以这条直线的表达式为y＝x+5．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，能够熟练运用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
24．（6分）（2022•沈河区校级模拟）如图，点E为正方形ABCD的边BC上的一点，⊙O是△ABE的外接圆，与AD交于点F．G是CD上一点，且∠DGF＝∠AEB．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，DG＝1，求⊙O半径的长．
【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）连接OF，由正方形的性质得出AF∥BE，由平行线的性质得出∠AEB＝∠OAF，证出OF⊥FG，则可得出结论；
（2）连接EF，证明△FDG∽△ABE，由相似三角形的性质得出 ，求出BE＝2，由勾股定理可求出答案．
【解答】证明：（1）连接OF，
∵AO＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF∥BE，
∴∠AEB＝∠OAF，
∵∠DGF＝∠AEB，
∴∠AFO＝∠DGF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∴∠FGD+∠DFG＝90°，
∴∠AFO+∠DFG＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴OF⊥FG，
∵点F是⊙O上的一点，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，
∵⊙O是△ABE的外接圆，∠B＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵四边形ABEF是矩形，
∴BE＝AF，
∵∠DGF＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，
∴△FDG∽△ABE，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝4，
∴，
∴BE＝2，
∴AE＝，
∴OA＝．
即⊙O半径的长为．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（5分）（2021秋•湖州期末）某农户养殖经销大闸蟹，已知大闸蟹的成本价为60元/千克．市场调查发现，该大闸蟹每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+240．设大闸蟹每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定大闸蟹的利润不得高于40%，该农户想要每天获得1600元的销售利润，销售价应定为多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据销售利润＝每千克利润×销量求解．
（2）将函数解析式化为顶点式求解．
（3）令y＝1600，通过检验利润是否高于40%求解．
【解答】解：（1）y＝（x﹣60）w＝（x﹣60）（﹣2x+240）＝﹣2x2+360x﹣14400，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+360x﹣14400．
（2）∵y＝﹣2x2+360x﹣14400＝﹣2（x﹣90）2+1800，
∴当x＝90时，y有最大值为1800，
∴当销售价定为90元时，每天的销售利润最大为1800元．
（3）当y＝1600时，1600＝﹣2（x﹣90）2+1800，
解得x＝100或x＝80，
当x＝100时，（100﹣60）÷60×100%＞40%，不符合题意．
∴销售价应定为80元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是通过题干找出等量关系，掌握求二次函数最值的方法．
26．（6分）（2022•常州模拟）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（一1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及∠ACB的度数；
（2）已知点D（1，n ）在抛物线上，过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）先把A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，列出关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，得到抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2，那么点C的坐标为（0，﹣2），再计算出AC2+BC2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°；
（2）将D（1，n ）代入y＝x2﹣x﹣2，求得n＝﹣3，即D（1，﹣3）．再将y＝x+1与抛物线的解析式联立，求出E点坐标为（6，7）．过点E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），求出∠EAH＝∠DBA＝45°，那么∠DBH＝135°，根据90°＜∠EBA＜135°，得到点P只可能在点B的左侧，设点P的坐标为（x，0），分两种情况讨论：①若△DBP1∽△EAB，根据相似三角形对应边成比例求出BP1＝，那么点P1的坐标为（，0）；若△DBP2∽△BAE，根据相似三角形对应边成比例求出BP2＝，那么点P2的坐标为（﹣，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．
∴点C的坐标为（0，﹣2）．
∵AC2＝12+22＝5，BC2＝42+22＝20，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）将D（1，n ）代入y＝x2﹣x﹣2，
得n＝×12﹣×1﹣2＝﹣3，
∴D（1，﹣3）．
由，解之得或，
∴E（6，7）．
过点E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），OH＝6，EH＝7．
∵A（﹣1，0），
∴AH＝EH＝7，∠EAH＝45°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠EAH＝∠DBA＝45°，
∴∠DBH＝135°，
∵90°＜∠EBA＜135°，
∴点P只可能在点B的左侧，设点P的坐标为（x，0），分两种情况讨论：
①若△DBP1∽△EAB，可得＝，即＝，
解得BP1＝，
∵4﹣x＝，
∴x＝，
∴点P1的坐标为（，0）；
②若△DBP2∽△BAE，可得＝，即＝，
解得BP2＝，
∵4﹣x＝，
∴x＝﹣，
∴点P2的坐标为（﹣，0）；
综上所述，所求点P的坐标为P1（，0），P2（﹣，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理及其逆定理，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二次函数交点坐标的求法，相似三角形的性质，利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
27．（7分）（2021秋•渌口区期末）[基础巩固]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 AM＝BM ；
[思维提高]（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM．求线段AC的长．
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可．
（3）证明△BCM∽△BAC，推出，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，
∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为：AM＝BM；
（2）如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图③中，
由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴，
∴．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）（2022春•上城区月考）如图1所示，直角△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝15，AB＝a，以O为圆心，OA为半径的圆交OB于点C，连接AC．
（1）证明：∠AOB＝2∠BAC；
（2）当a＝20时，求AC的长；
（3）将△ABC绕点A顺时针旋转，点C的对应点为D，点B的对应点为E．当点D、E都在⊙O上时（如图2所示），证明：OA∥DE．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）作OH⊥AC，证明∠BAC＝∠AOH即可．
（2）求出BO、BC的长度，作CG⊥AB，根据△OAB∽△CGB即可求出CG，BG，AG，进而通过勾股定理求出AC．
（2）连接OD，要证平行只需证∠AOD＝∠ODE，由于∠ACB＝∠ADE，进而只需证∠CAO＝∠ADO，通过全等或者推导角度关系即可得出．
【解答】（1）证明：如图，过点O作OH⊥AC于点H，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAC+∠BAC＝90°，
∵OH⊥AC，
∴∠OAC+∠AOH＝90°，
∴∠AOH＝∠BAC，
∵AO＝CO，OH⊥AC，
∴∠AOH＝∠COH，
∴∠AOB＝2∠AOH＝2∠BAC，
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵OA＝15，AB＝20，
∴BO＝25，
∴BC＝10，
∵CG⊥AB，∠OAB＝90°，
∴△OAB∽△CGB，
∴，
∴，
解得：BG＝8，CG＝6，
∴AG＝12，
∴AC＝＝．
（3）解：如图，连接OD，
∵△ABC≌△AED，
∴∠ACB＝∠ADE，AC＝AD，
∴∠AOC＝∠AOD，
∵AO＝DO＝CO，
∴∠CAO＝，∠ODA＝，
∴∠CAO＝∠ADO，
∵∠ACB＝∠CAO+∠AOC，
∴∠CAO+∠AOC＝∠ADO+∠ODE，
∴∠AOC＝∠ODE，
∴∠AOD＝∠ODE，
∴AO∥DE．
【点评】本题考查圆综合知识，熟练掌握圆的性质、相似三角形的性质和判定是解题关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
7．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
8．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
12．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
13．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
15．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
16．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
17．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
18．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
19．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
20．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
21．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
22．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
23．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
24．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
25．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
26．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
27．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
28．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
29．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
30．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
31．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
32．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
33．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
34．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
35．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
36．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
37．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
38．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
39．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
40．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
41．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
42．圆的综合题
圆的综合题．
43．几何变换综合题
几何变换综合题．
44．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
45．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
46．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
47．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
48．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
49．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
50．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
2022年北京中考数学终极押题密卷1
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•齐齐哈尔模拟）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．（2分）（2022•郫都区模拟）根据世卫组织最新实时统计数据，全球累计新冠肺炎确诊病例超过400000000．将数据400000000用科学记数法表示应（ ）
A．0.4×109 B．4×108 C．40×107 D．4×107
3．（2分）（2022春•黄石期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2分）（2020秋•金昌期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则|a+b|+|a﹣b|等于（ ）
A．2a B．2b C．2b﹣2a D．2b+2a
5．（2分）（2022春•市中区校级月考）若一个多边形的内角和为1080°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
6．（2分）（2021秋•二七区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
7．（2分）（2022•湘乡市模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤且k≠0 B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≥
8．（2分）（2021•息县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•镇平县月考）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）（2022•凤山县模拟）因式分解：3m2﹣3＝ ．
11．（2分）（2022•海淀区校级开学）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ．
12．（2分）（2022•乌鲁木齐一模）方程＝的解为 ．
13．（2分）（2021秋•大冶市期末）对于函数y＝，当函数值y＜﹣1时，x的取值范围是 ．
14．（2分）（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
15．（2分）（2022春•沙坪坝区校级月考）若a是从﹣2、0、1、3中随机取的一个数，b是从﹣1、0、2022中随机取的一个数，则点（a，b）在坐标轴上的概率是 ．
16．（2分）（2021秋•浑南区期末）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有 个．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•历下区期末）计算：2cos30°+4sin30°﹣tan60°
18．（5分）（2022春•连城县校级月考）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（5分）（2021秋•铜官区期末）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．
20．（5分）（2022春•海安市月考）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
21．（6分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴的正半轴上，BO＝BA，点A的横坐标为1．
（1）求点B的坐标；
（2）设C是AB的中点，D是线段OB上一动点，点A关于直线CD的对称点是A′．
①OD为何值时，点A′与点B重合？
②OD为何值时，以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形？
22．（6分）某项针对18岁～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，随机对30名符合年龄的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据频数分布直方图估计这30名青年人中“日均发微博条数”的平均数．
23．（5分）（2022春•邗江区校级月考）已知一次函数的图象过点（2，1）和（﹣1，﹣3），若一条直线与此函数相交于点（﹣3，a），且与y轴交点的坐标为5，求此直线解析式．
24．（6分）（2022•沈河区校级模拟）如图，点E为正方形ABCD的边BC上的一点，⊙O是△ABE的外接圆，与AD交于点F．G是CD上一点，且∠DGF＝∠AEB．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，DG＝1，求⊙O半径的长．
25．（5分）（2021秋•湖州期末）某农户养殖经销大闸蟹，已知大闸蟹的成本价为60元/千克．市场调查发现，该大闸蟹每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+240．设大闸蟹每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定大闸蟹的利润不得高于40%，该农户想要每天获得1600元的销售利润，销售价应定为多少？
26．（6分）（2022•常州模拟）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（一1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及∠ACB的度数；
（2）已知点D（1，n ）在抛物线上，过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
27．（7分）（2021秋•渌口区期末）[基础巩固]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
[思维提高]（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM．求线段AC的长．
28．（7分）（2022春•上城区月考）如图1所示，直角△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝15，AB＝a，以O为圆心，OA为半径的圆交OB于点C，连接AC．
（1）证明：∠AOB＝2∠BAC；
（2）当a＝20时，求AC的长；
（3）将△ABC绕点A顺时针旋转，点C的对应点为D，点B的对应点为E．当点D、E都在⊙O上时（如图2所示），证明：OA∥DE．
2022年菁优北京中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2022•齐齐哈尔模拟）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据主视图和左视图知该组合体共2行、3列，再结合主视图和左视图确定每个位置小正方体的个数．
【解答】解：结合主视图和左视图，知搭建该几何体需要的小正方体的分布情况如图所示：
故选：A．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
2．（2分）（2022•郫都区模拟）根据世卫组织最新实时统计数据，全球累计新冠肺炎确诊病例超过400000000．将数据400000000用科学记数法表示应（ ）
A．0.4×109 B．4×108 C．40×107 D．4×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：400000000＝4×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2022春•黄石期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】实数；垂线；点到直线的距离；平行线；平行公理及推论；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；数感；几何直观．
【分析】根据实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．
【解答】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有：平行和相交（夹角为直角时垂直），故①错误；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③在平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④有限小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故④错误；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误．
故正确的是②，共1个．
故选：D．
【点评】本题考查了实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
4．（2分）（2020秋•金昌期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则|a+b|+|a﹣b|等于（ ）
A．2a B．2b C．2b﹣2a D．2b+2a
【考点】绝对值；实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】数形结合．
【分析】根据数轴，先确定a、b的正负，即b＞0，a＜0，得出|a+b|＝a+b，|a﹣b|＝b﹣a，即可得出结果．
【解答】解：根据实数a、b在数轴上的位置得知：
a＜0，b＞0，
∴|a+b|＝a+b，|a﹣b|＝b﹣a，
∴|a+b|+|a﹣b|＝a+b+b﹣a＝2b，
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的运算，先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号，借助数轴化简含有绝对值的式子，难度适中．
5．（2分）（2022春•市中区校级月考）若一个多边形的内角和为1080°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x﹣2）×180＝1080，
解得；x＝8，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：8﹣3＝5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n﹣2）．
6．（2分）（2021秋•二七区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，S△DEF＝2，则S△BCF为（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】解：∵AE＝2ED，
∴＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴△EDF∽△CBF，
∴＝＝＝，
∴＝（）2＝，
∵S△EDF＝2，
∴S△BCF＝18．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（2分）（2022•湘乡市模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤且k≠0 B．k≤ C．k＜且k≠0 D．k≥
【考点】根的判别式；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】新定义；判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，
解得k≤且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
8．（2分）（2021•息县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4中，当x＝0时，y＝0+4＝4，
∴A（0，4），
∴OA＝4；
∵当y＝0时，0＝x+4，
∴x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴OB＝3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
∵点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，
∴k＝﹣7×3＝﹣21．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2022春•镇平县月考）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；数感；运算能力．
【分析】要使代数式有意义，需使被开方数≥0，分母≠0，得3x﹣1＞0，即可知答案．
【解答】解：由题意知：3x﹣1＞0，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是被开方数≥0，分母≠0，再进行求解．
10．（2分）（2022•凤山县模拟）因式分解：3m2﹣3＝ 3（m﹣1）（m+1） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】首先提公因式3，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝3（m2﹣1）＝3（m﹣1）（m+1），
故答案为：3（m﹣1）（m+1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11．（2分）（2022•海淀区校级开学）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力；应用意识．
【分析】以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有1个交点，则可得到形状唯一确定的△PAQ，否则不能得到形状唯一确定的△PAQ．根据此观点进行解答便可．
【解答】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，关键是确定以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM的交点个数．
12．（2分）（2022•乌鲁木齐一模）方程＝的解为 x＝ ．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝9x﹣3，
移项合并得：﹣7x＝﹣3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
故答案为：x＝
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．（2分）（2021秋•大冶市期末）对于函数y＝，当函数值y＜﹣1时，x的取值范围是 ﹣3＜x＜0 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】先求出y＝﹣1时x的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴函数y＝的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，
∵当y＝﹣1时，x＝﹣3，
∴当函数值y＜﹣1时，﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
14．（2分）（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 DE＝FG（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【考点】矩形的判定．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，推出四边形DFGE是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：DE＝FG，
理由：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴DE∥FG，
∵DE＝FG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
∵DG＝EF，
∴四边形DFGE是矩形，
故答案为：DE＝FG（答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
15．（2分）（2022春•沙坪坝区校级月考）若a是从﹣2、0、1、3中随机取的一个数，b是从﹣1、0、2022中随机取的一个数，则点（a，b）在坐标轴上的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；点的坐标．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中点（a，b）在坐标轴上的有6种，
则点（a，b）在坐标轴上的概率是＝；
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（2分）（2021秋•浑南区期末）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有 18 个．
【考点】用样本估计总体．菁优网版权所有
【专题】常规题型；概率及其应用．
【分析】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得．
【解答】解：估计袋中白球有50×36%＝18个，
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2021秋•历下区期末）计算：2cos30°+4sin30°﹣tan60°
【考点】特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式＝2×+4×﹣
＝+2﹣
＝2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．
18．（5分）（2022春•连城县校级月考）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2（x+1）≥﹣1，得，
解不等式，＜+，得x＜2，
∴不等式组的解集为，
此不等式组的解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）（2021秋•铜官区期末）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣25﹣（x2﹣4x+4）+x2+x﹣2
＝x2﹣25﹣x2+4x﹣4+x2+x﹣2
＝x2+5x﹣31，
当x＝3时，原式＝32+5×3﹣31＝﹣7．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算得出答案．
20．（5分）（2022春•海安市月考）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝3，则DE＝6，即可得出答案．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
21．（6分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴的正半轴上，BO＝BA，点A的横坐标为1．
（1）求点B的坐标；
（2）设C是AB的中点，D是线段OB上一动点，点A关于直线CD的对称点是A′．
①OD为何值时，点A′与点B重合？
②OD为何值时，以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形？
【考点】反比例函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；分类讨论．
【分析】（1）过点A作AH⊥OB于H，如图1，由点A的横坐标为1可求出OH、AH，设OB＝x，则AB＝OB＝x，BH＝x﹣1，然后在Rt△AHB中运用勾股定理即可解决问题；
（2）①设DB＝m，则有AD＝BD＝m，HD＝12﹣m，只需在Rt△AHD中运用勾股定理，就可解决问题；
②以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形并不唯一，可分两种情况进行讨论：Ⅰ．若BC是平行四边形的边，如图2，易证四边形CADA′是菱形，从而得到AD＝AC＝，然后在Rt△AHD中运用勾股定理即可解决问题；Ⅱ．若BC是平行四边形的对角线，如图3，易得DB＝CA′＝CA＝，即可求出OD．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥OB于H，如图1．
∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，xA＝1，
∴OH＝1，yA＝＝5，
∴AH＝5．
设OB＝x，则有AB＝OB＝x，BH＝x﹣1．
在Rt△AHB中，根据勾股定理可得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13，
∴点B的坐标为（13，0）；
（2）①若点A′与点B重合，如图1，
∵点A关于直线CD的对称点是A′，
∴DA＝DA′＝DB．
设DB＝m，则有AD＝BD＝m，HD＝12﹣m．
在Rt△AHD中，根据勾股定理可得：
52+（12﹣m）2＝m2，
解得：m＝，
∴OD＝OB﹣DB＝13﹣＝，
∴OD为时，点A′与点B重合；
②Ⅰ．若BC为平行四边形的边，如图2，
则有四边形CDA′B是平行四边形，
∴DA′∥BC，DA′＝BC．
∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC＝AB＝，
∴DA′∥AC，DA′＝AC，
∴四边形CADA′是平行四边形．
∵DA＝DA′，
∴平行四边形CADA′是菱形，
∴AD＝AC＝，
∴HD2＝AD2﹣AH2＝﹣25＝，
∴HD＝，
∴OD＝+1；
Ⅱ．若BC为平行四边形的对角线，如图3，
则有四边形CDBA′是平行四边形，
∴DB＝CA′．
∵CA＝CA′，
∴DB＝AC＝，
∴OD＝OB﹣DB＝13﹣＝．
综上所述：当OD为+1或时，以C，D，B，A′为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，证到四边形CADA′是菱形，从而得到AD＝AC是解决第（2）①小题的关键．设某个线段为x，然后运用勾股定理（或相似三角形的性质或三角函数的定义）建立方程，并解出这个方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．另外，需要说明的是：当平行四边形的四个顶点的顺序不确定时，需分情况讨论．
22．（6分）某项针对18岁～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，随机对30名符合年龄的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据频数分布直方图估计这30名青年人中“日均发微博条数”的平均数．
【考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数．菁优网版权所有
【分析】先求出组中值，再根据加权平均数的计算公式求解即可．
【解答】解：估计这30名青年人中“日均发微博条数”的平均数是：
（2×2+6×3+10×8+14×12+18×5）÷30＝360÷30＝12．
【点评】本题考查了频数分布直方图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，也考查了加权平均数．
23．（5分）（2022春•邗江区校级月考）已知一次函数的图象过点（2，1）和（﹣1，﹣3），若一条直线与此函数相交于点（﹣3，a），且与y轴交点的坐标为5，求此直线解析式．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式；把（﹣3，a）代入一次函数解析式求出a的值，得到直线与此一次函数的图象交点坐标，然后利用待定系数法求该直线解析式．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
把（2，1），（﹣1，﹣3）代入得，解得，
所以一次函数解析式为y＝x﹣；
把（﹣3，a）代入y＝x﹣得a＝×（﹣3）﹣＝﹣，则直线与此一次函数的图象交点坐标为（﹣3，﹣），
设这条直线的解析式为y＝mx+n，
把（﹣3，﹣）、（0，5）代入得，解得，
所以这条直线的表达式为y＝x+5．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，能够熟练运用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
24．（6分）（2022•沈河区校级模拟）如图，点E为正方形ABCD的边BC上的一点，⊙O是△ABE的外接圆，与AD交于点F．G是CD上一点，且∠DGF＝∠AEB．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，DG＝1，求⊙O半径的长．
【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）连接OF，由正方形的性质得出AF∥BE，由平行线的性质得出∠AEB＝∠OAF，证出OF⊥FG，则可得出结论；
（2）连接EF，证明△FDG∽△ABE，由相似三角形的性质得出 ，求出BE＝2，由勾股定理可求出答案．
【解答】证明：（1）连接OF，
∵AO＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF∥BE，
∴∠AEB＝∠OAF，
∵∠DGF＝∠AEB，
∴∠AFO＝∠DGF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∴∠FGD+∠DFG＝90°，
∴∠AFO+∠DFG＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴OF⊥FG，
∵点F是⊙O上的一点，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，
∵⊙O是△ABE的外接圆，∠B＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵四边形ABEF是矩形，
∴BE＝AF，
∵∠DGF＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，
∴△FDG∽△ABE，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝4，
∴，
∴BE＝2，
∴AE＝，
∴OA＝．
即⊙O半径的长为．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（5分）（2021秋•湖州期末）某农户养殖经销大闸蟹，已知大闸蟹的成本价为60元/千克．市场调查发现，该大闸蟹每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+240．设大闸蟹每天的销售利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定大闸蟹的利润不得高于40%，该农户想要每天获得1600元的销售利润，销售价应定为多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据销售利润＝每千克利润×销量求解．
（2）将函数解析式化为顶点式求解．
（3）令y＝1600，通过检验利润是否高于40%求解．
【解答】解：（1）y＝（x﹣60）w＝（x﹣60）（﹣2x+240）＝﹣2x2+360x﹣14400，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+360x﹣14400．
（2）∵y＝﹣2x2+360x﹣14400＝﹣2（x﹣90）2+1800，
∴当x＝90时，y有最大值为1800，
∴当销售价定为90元时，每天的销售利润最大为1800元．
（3）当y＝1600时，1600＝﹣2（x﹣90）2+1800，
解得x＝100或x＝80，
当x＝100时，（100﹣60）÷60×100%＞40%，不符合题意．
∴销售价应定为80元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是通过题干找出等量关系，掌握求二次函数最值的方法．
26．（6分）（2022•常州模拟）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（一1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及∠ACB的度数；
（2）已知点D（1，n ）在抛物线上，过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）先把A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，列出关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，得到抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2，那么点C的坐标为（0，﹣2），再计算出AC2+BC2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°；
（2）将D（1，n ）代入y＝x2﹣x﹣2，求得n＝﹣3，即D（1，﹣3）．再将y＝x+1与抛物线的解析式联立，求出E点坐标为（6，7）．过点E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），求出∠EAH＝∠DBA＝45°，那么∠DBH＝135°，根据90°＜∠EBA＜135°，得到点P只可能在点B的左侧，设点P的坐标为（x，0），分两种情况讨论：①若△DBP1∽△EAB，根据相似三角形对应边成比例求出BP1＝，那么点P1的坐标为（，0）；若△DBP2∽△BAE，根据相似三角形对应边成比例求出BP2＝，那么点P2的坐标为（﹣，0）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．
∴点C的坐标为（0，﹣2）．
∵AC2＝12+22＝5，BC2＝42+22＝20，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）将D（1，n ）代入y＝x2﹣x﹣2，
得n＝×12﹣×1﹣2＝﹣3，
∴D（1，﹣3）．
由，解之得或，
∴E（6，7）．
过点E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），OH＝6，EH＝7．
∵A（﹣1，0），
∴AH＝EH＝7，∠EAH＝45°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠EAH＝∠DBA＝45°，
∴∠DBH＝135°，
∵90°＜∠EBA＜135°，
∴点P只可能在点B的左侧，设点P的坐标为（x，0），分两种情况讨论：
①若△DBP1∽△EAB，可得＝，即＝，
解得BP1＝，
∵4﹣x＝，
∴x＝，
∴点P1的坐标为（，0）；
②若△DBP2∽△BAE，可得＝，即＝，
解得BP2＝，
∵4﹣x＝，
∴x＝﹣，
∴点P2的坐标为（﹣，0）；
综上所述，所求点P的坐标为P1（，0），P2（﹣，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理及其逆定理，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二次函数交点坐标的求法，相似三角形的性质，利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
27．（7分）（2021秋•渌口区期末）[基础巩固]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 AM＝BM ；
[思维提高]（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM．求线段AC的长．
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可．
（3）证明△BCM∽△BAC，推出，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，
∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为：AM＝BM；
（2）如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图③中，
由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴，
∴．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）（2022春•上城区月考）如图1所示，直角△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝15，AB＝a，以O为圆心，OA为半径的圆交OB于点C，连接AC．
（1）证明：∠AOB＝2∠BAC；
（2）当a＝20时，求AC的长；
（3）将△ABC绕点A顺时针旋转，点C的对应点为D，点B的对应点为E．当点D、E都在⊙O上时（如图2所示），证明：OA∥DE．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）作OH⊥AC，证明∠BAC＝∠AOH即可．
（2）求出BO、BC的长度，作CG⊥AB，根据△OAB∽△CGB即可求出CG，BG，AG，进而通过勾股定理求出AC．
（2）连接OD，要证平行只需证∠AOD＝∠ODE，由于∠ACB＝∠ADE，进而只需证∠CAO＝∠ADO，通过全等或者推导角度关系即可得出．
【解答】（1）证明：如图，过点O作OH⊥AC于点H，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAC+∠BAC＝90°，
∵OH⊥AC，
∴∠OAC+∠AOH＝90°，
∴∠AOH＝∠BAC，
∵AO＝CO，OH⊥AC，
∴∠AOH＝∠COH，
∴∠AOB＝2∠AOH＝2∠BAC，
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵OA＝15，AB＝20，
∴BO＝25，
∴BC＝10，
∵CG⊥AB，∠OAB＝90°，
∴△OAB∽△CGB，
∴，
∴，
解得：BG＝8，CG＝6，
∴AG＝12，
∴AC＝＝．
（3）解：如图，连接OD，
∵△ABC≌△AED，
∴∠ACB＝∠ADE，AC＝AD，
∴∠AOC＝∠AOD，
∵AO＝DO＝CO，
∴∠CAO＝，∠ODA＝，
∴∠CAO＝∠ADO，
∵∠ACB＝∠CAO+∠AOC，
∴∠CAO+∠AOC＝∠ADO+∠ODE，
∴∠AOC＝∠ODE，
∴∠AOD＝∠ODE，
∴AO∥DE．
【点评】本题考查圆综合知识，熟练掌握圆的性质、相似三角形的性质和判定是解题关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
7．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
8．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
12．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
13．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
15．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
16．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
17．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
18．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
19．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
20．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
21．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
22．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
23．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
24．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
25．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
26．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
27．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
28．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
29．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
30．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
31．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
32．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
33．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
34．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
35．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
36．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
37．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
38．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
39．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
40．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
41．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
42．圆的综合题
圆的综合题．
43．几何变换综合题
几何变换综合题．
44．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
45．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
46．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
47．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
48．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
49．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
50．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
相关试卷
2022年深圳中考数学终极押题密卷1： 这是一份2022年深圳中考数学终极押题密卷1，共28页。
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