还剩42页未读，
继续阅读
2022年上海中考数学终极押题密卷(word版含答案)
展开
这是一份2022年上海中考数学终极押题密卷(word版含答案)，共45页。试卷主要包含了平方米等内容，欢迎下载使用。
2022年上海中考数学终极押题密卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•新都区期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米．
A．260000 B．260000000 C．26000 D．2600000
2．（4分）（2021秋•川汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若A（a，b），M（1，0），则点B的坐标是（ ）
A．（2﹣a，﹣b） B．（1﹣a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a﹣2，﹣b）
3．（4分）（2022•普陀区二模）已知||＝1，||＝2，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝﹣2
4．（4分）（2021秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C． D．
5．（4分）（2021秋•礼泉县期末）一组数据：1，0，4，5，x，8．若它们的中位数是3，则x的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（4分）（2022•武汉模拟）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．+1 D．3﹣
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021秋•松江区期末）已知，AB＝8，P是AB黄金分割点，PA＞PB，则PA的长为 ．
8．（4分）（2022•庆云县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AD＝BD，则tan∠ABC的值为 ．
9．（4分）（2022•市北区一模）某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为 元．
10．（4分）（2022春•金山区校级期中）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，如果，那么＝ ．
11．（4分）（2021秋•南召县月考）如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯BC，已知一楼与二楼之间的地面高度差为3.5米，扶梯BC的坡度，则扶梯BC的长度为 米．
12．（4分）（2021秋•凤凰县期末）如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．
13．（4分）（2021秋•中山市期末）已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是 ．
14．（4分）（2021秋•济阳区期末）如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 ．
15．（4分）（2022春•杨浦区校级期中）▱ABCD的周长为64cm，BC上高AE＝6cm，CD上高AF＝10cm，则△BCD的面积为 ．
16．（4分）（2021秋•兴化市期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是 ．
17．（4分）（2021秋•武侯区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为 ．
18．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•长宁区期末）计算：cot30°﹣．
20．（10分）（2022•黄岛区一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到例A处的水平距离为4米时，例水平线的高度为7米．
（1）求抛物线C2的函数解析式；
（2）当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？
21．（10分）（2021秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．
22．（10分）（2021•溧阳市一模）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．
血型统计表：
血型
A
B
AB
O
人数
10
5
血型统计图：
（1）本次随机抽取献血者人数为 人，图中m＝ ；
（2）补全表中的数据；
（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
23．（12分）（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上两点，CE是⊙O的切线，CE⊥BD于点E，连接BC交AD于点F．
（1）求证：点C是的中点；
（2）若，求tan∠BAD的值．
24．（12分）（2021秋•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移2个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
25．（14分）（2022春•朝阳区校级月考）【模型构建】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，∠ACD＝45°，AC＝3．求四边形ABCD的面积．琪琪同学的做法是：延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE．易证△ABC≌△ADE．进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积，则四边形ABCD的面积为 ．
【应用】如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
【灵活运用】如图3，在四边形ADBC中，连结AB、CD，∠CAB＝∠ACB＝∠BDC＝60°，四边形ADBC的面积为，则线段CD＝ ．
2022年上海中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•新都区期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米．
A．260000 B．260000000 C．26000 D．2600000
【考点】比例线段．
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】相似多边形的面积之比等于相似比的平方，据此求解，注意单位．
【解答】解：设该地区的实际面积是xcm2，由题意得，
260：x＝（1：1000）2，
解得，x＝260000000，
260000000cm2＝26000m2，
故选：C．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
2．（4分）（2021秋•川汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若A（a，b），M（1，0），则点B的坐标是（ ）
A．（2﹣a，﹣b） B．（1﹣a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a﹣2，﹣b）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】设点B的坐标为（x，y），利用M点为AB的中点得到1＝，0＝，然后求出x、y得到B点坐标．
【解答】解：设点B的坐标为（x，y），
∵AB是⊙M的直径，
∴M点为AB的中点，
而A（a，b），M（1，0），
∴1＝，0＝，
解得x＝2﹣a，y＝﹣b，
∴B点坐标为（2﹣a，﹣b）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，灵活运用线段的中点坐标公式是解决问题的关键．
3．（4分）（2022•普陀区二模）已知||＝1，||＝2，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝﹣2
【考点】*平面向量．
【专题】三角形．
【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．
【解答】解：∵||＝1，||＝2，且与的方向相反，
∴＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（4分）（2021秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C． D．
【考点】勾股定理．
【分析】首先根据勾股定理，得：斜边＝＝13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．
【解答】解：由题意得，斜边为＝13．所以斜边上的高＝12×5÷13＝．
故选：D．
【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
5．（4分）（2021秋•礼泉县期末）一组数据：1，0，4，5，x，8．若它们的中位数是3，则x的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；推理能力．
【分析】利用中位数的定义，只有x和4的平均数可能为3，从而得到x的值．
【解答】解：除x外5个数由小到大排列为0，1，4，5，8，
因为原数据有6个数，
因这组数据的中位数是3；
所以，只有x+4＝2×3才成立，
即x＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（4分）（2022•武汉模拟）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．+1 D．3﹣
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据“滋生函数”的定义可得ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，从而可得关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，
∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，
解得，
∵t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，
∴t2﹣t﹣1＝0，
∴t3﹣2t2+1＝t（t+1）﹣2t2+1＝﹣t2+t+1＝﹣1+1＝0．
故选：A．
【点评】本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021秋•松江区期末）已知，AB＝8，P是AB黄金分割点，PA＞PB，则PA的长为 ．
【考点】黄金分割．
【专题】计算题．
【分析】根据黄金分割点的定义，知PA是较长线段；则PA＝AB，代入数据即可．
【解答】解：由于P为线段AB＝8的黄金分割点，
且PA＞PB，
则PA＝8×＝4﹣4．
故本题答案为：4﹣4．
【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．
8．（4分）（2022•庆云县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AD＝BD，则tan∠ABC的值为 ．
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】利用线段垂直平分线的性质说明BD与CD的关系，再在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB，最后在Rt△ABC中求出∠ABC的正切．
【解答】解：∵D是BC垂直平分线上的点，
∴BD＝CD．
设AD的长为m，则BD＝CD＝3m，AC＝4m．
在Rt△ABD中，
AB＝
＝
＝2m．
在Rt△ABC中，
tan∠ABC＝
＝
＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
9．（4分）（2022•市北区一模）某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为 10 元．
【考点】算术平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以加权平均数的方法求得．
【解答】解：50×+25×+20×+0×＝10（元），
答：他每参与一次的平均收益为10元．
故答案为：10．
【点评】本题考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数．
10．（4分）（2022春•金山区校级期中）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，如果，那么＝ ．
【考点】三角形的重心；*平面向量；平行线的性质．
【专题】三角形；推理能力；应用意识．
【分析】连接AG，延长AG交BC于点T．由EF∥BC，推出＝＝2，推出＝，推出＝＝，可得结论．
【解答】解：连接AG，延长AG交BC于点T．
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GT，
∵EF∥BC，
∴＝＝2，
∴＝，
∴＝＝，
∴BC＝EF，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握三角形重心的性质，灵活运用所学知识解决问题．
11．（4分）（2021秋•南召县月考）如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯BC，已知一楼与二楼之间的地面高度差为3.5米，扶梯BC的坡度，则扶梯BC的长度为 7 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】根据坡度的概念、正切的定义以及特殊角的三角函数值求出∠B，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵扶梯BC的坡度为：3，
∴tanB＝，
∴∠B＝30°，
∴BC＝2×3.5＝7（米），
故答案为：7．
【点评】本题考查的是坡度的概念，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12．（4分）（2021秋•凤凰县期末）如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 12 米．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；应用意识．
【分析】由正六边形的半径为2，则OA＝OB＝2米；由∠AOB＝60°，得出△AOB是等边三角形，则AB＝OA＝OB＝2米，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵正六边形的半径为2米，
∴OA＝OB＝2米，
∴正六边形的中心角∠AOB＝＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∴AB＝2米，
∴正六边形的周长为6×2＝12（米）；
故答案为：12．
【点评】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；解决正多边形的问题，常常把多边形问题转化为等腰三角形或直角三角形来解决．
13．（4分）（2021秋•中山市期末）已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是 在⊙A上 ．
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【解答】解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA＝＝5，
∵半径为5，
∴OA＝r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d＝r；当点P在圆内⇔d＜r．
14．（4分）（2021秋•济阳区期末）如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 4 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【解答】解：由点A（0，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，得
A（0，3）与B（m，3）关于对称轴x＝2对称，
m﹣2＝2﹣0，
解得m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣2＝2﹣0是解题关键．
15．（4分）（2022春•杨浦区校级期中）▱ABCD的周长为64cm，BC上高AE＝6cm，CD上高AF＝10cm，则△BCD的面积为 60 ．
【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】设BC＝a，CD＝b，列出方程组即可解决问题．
【解答】解：设BC＝a，CD＝b，
由题意：，
解得，
故S△BCD＝6×20＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的面积等知识，解题的关键是列出方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．
16．（4分）（2021秋•兴化市期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是 2 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据图象可得x≤﹣2，﹣2＜x＜8，x≥8时S的取值范围，进而求解．
【解答】解：当x≤﹣2时，S＝ax2+bx+c，S最小值为4，
当﹣2＜x＜8时，S＝kx+m，2＜S＜4，
当x≥8时，S＝ax2+bx+c，S最小值为2，
∴S的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据图象求出S在不同x的取值范围时的取值范围．
17．（4分）（2021秋•武侯区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为 4 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，推出∠A'OB＝∠COC'，证出△OBM≌△OCN可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，
即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形ABCD和正方形A'B'C'O面积的，
∴正方形A'B'C'O的面积为4．
故答案为：4．
．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决不规则图形的面积，要通过分割图形，利用全等知识转化三角形，使不规则图形转化为规则图形进行求解．
18．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB＝4，AE＝AC＝5，∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的性质得到∠C＝∠E，DE＝BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，AB＝4，AC＝5，
∴AD＝AB＝4，AE＝AC＝5，∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴∠C＝∠E，DE＝BC，
∵∠BDC＝∠ADE，
∴△ADE∽△BDC，
∴，
∴，
∴BC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•长宁区期末）计算：cot30°﹣．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：cot30°﹣
＝﹣
＝﹣（）
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）（2022•黄岛区一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到例A处的水平距离为4米时，例水平线的高度为7米．
（1）求抛物线C2的函数解析式；
（2）当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
（2）令﹣x2+x+1＝﹣x2+x+4，解方程即可；
（3）设运动员与小山坡的高度差为h，根据题意得h＝﹣x2+x+4﹣（﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）2+，由函数的性质可以求出h的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，
解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）当运动员和小山坡到水平线的高度相同时，
﹣x2+x+1＝﹣x2+x+4，
整理得：x2﹣8x﹣72＝0，
解得：x1＝4+2，x2＝4﹣2（舍去），
∴当运动员与点A的水平距离是4+2时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）设运动员与小山坡的高度差为h，
则h＝﹣x2+x+4﹣（﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝4时，h有最大值，最大值为，
∴运动员与小山坡的高度差最大是米．
【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
21．（10分）（2021秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可；
（3）根据三角形的内角和定理得到∠E+∠ADE＝90°，由（2）知，∠FAD＝∠E，求得∠AFD＝∠AFE＝90°，根据勾股定理得到EF＝＝4，设DF＝x，求得DF＝，得到AD＝＝，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD＝，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，
即AC平分∠EAF；
（2）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E；
（3）解：∵∠EAD＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
由（2）知，∠FAD＝∠E，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
∵AE＝5，AF＝3，
∴EF＝＝4，
设DF＝x，
∵DE2﹣AE2＝AD2＝AF2+DF2，
∴（4+x）2﹣52＝32+x2，
解得x＝，
∴DF＝，
∴DE＝，
∴AD＝＝，
∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴AD＝CD＝，
∴CF＝﹣＝．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．（10分）（2021•溧阳市一模）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．
血型统计表：
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
血型统计图：
（1）本次随机抽取献血者人数为 50 人，图中m＝ 20 ；
（2）补全表中的数据；
（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
【考点】用样本估计总体；统计表．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
（3）用总人数乘以样本中A型血人数所占比例．
【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%＝50（人），
所以m＝×100＝20；
故答案为50，20；
（2）O型献血的人数为46%×50＝23（人），
A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23＝12（人），
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
故答案为12，23；
（3）1300××100%＝312（人），
答：估计有312人是A型血．
【点评】本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23．（12分）（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上两点，CE是⊙O的切线，CE⊥BD于点E，连接BC交AD于点F．
（1）求证：点C是的中点；
（2）若，求tan∠BAD的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）由平行线的性质可证CO⊥AD，即可得解；
（2）连接CD、AC、OC，OC与AD交于点G，由相似三角形的性质得，设AC＝CD＝2x，GF＝y，再证明△ACG∽△AFC，列出x、y的方程，用x表示y，再设⊙O为r，由勾股定理得出r与x的关系式，进而由三角函数定义求得结果．
【解答】（1）证明：连接OC，交AD于点P，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
又∵CE⊥BD，
∴CO∥BE，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BE⊥AD，
∴CO⊥AD，
又∵CO是半径，
∴＝，
∴点C是的中点；
（2）解：连接CD、AC、OC，OC与AD交于点G，如下图，
∵＝，
∴AC＝CD，OC⊥AD，AG＝DG，
∵∠BCD＝∠BAD，∠CFD＝∠AFB，
∴△CDF∽△ABF，
∴，
∴，
设AC＝CD＝2x，GF＝y，则DF＝3x，
∴AG＝DG＝3x+y，AF＝3x+2y，
∵AB是直径，
∴∠ACF＝90°＝∠AGF，
∵∠CAG＝∠FAC，
∴△ACG∽△AFC，
∴，即AC2＝AG•AF，
∴，
∴y＝x，或y＝﹣x（舍），
∴AG＝3x+y＝4x，
∴CG＝，
设OA＝OC＝r，则OG＝r﹣2x，
∵OA2﹣OG2＝AG2，
∴r2﹣（r﹣2x）2＝（4x）2，
∴r＝5x，
∴OG＝r﹣2x＝3x，
∴tan∠BAD＝．
【点评】本题主要考查了圆的切线性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理的应用，关键在于作辅助线．
24．（12分）（2021秋•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移2个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；函数的综合应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；应用意识．
【分析】（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；
（2）用待定系数法求出直线AB为y＝﹣x+1，即可得P（m，m2﹣m+1），Q（m+1，（m+1）2﹣（m+1）+1），C（m，﹣m+1），D（m+1，﹣（m+1）+1），从而得PC＝﹣m2+4m，QD＝﹣m2+2m+3，即可求出四边形PQDC面积为PC•|xQ﹣xP|+QD•|xQ﹣xP|＝﹣m2+3m+，根据二次函数性质即得答案．
（3）由（2）知P（，﹣），根据直线AB为y＝﹣x+1与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1），两交点之间距离是，可知沿射线AB平移2个单位，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移2个单位，即得E（，﹣），抛物线y＝x2﹣x+1平移后y1＝x2﹣x+33，抛物线y1的对称轴为：直线x＝，当BE＝EF时，设F（，t），可得（﹣4）2+（﹣+1）2＝（﹣）2+（t+）2，即可解得F（，）或（，），由平移性质可得G（，）或G（，），当BF＝EF时，同理可得G（，﹣）．
【解答】解：（1）把A（0，1），B（4，﹣1）代入抛物线y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x+1；
（2）设直线AB为y＝kx+n，将A（0，1），B（4，﹣1）代入得：
，解得，
∴直线AB为y＝﹣x+1，
∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，
∴P（m，m2﹣m+1），Q（m+1，（m+1）2﹣（m+1）+1），C（m，﹣m+1），D（m+1，﹣（m+1）+1），
∴PC＝﹣m+1﹣（m2﹣m+1）＝﹣m2+4m，QD＝﹣（m+1）+1﹣[（m+1）2﹣（m+1）+1]＝﹣m2+2m+3，
∴四边形PQDC面积为PC•|xQ﹣xP|+QD•|xQ﹣xP|
＝（﹣m2+4m）•（m+1﹣m）+（﹣m2+2m+3）•（m+1﹣m）
＝﹣m2+3m+
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴m＝时，四边形PQDC面积的最大值为；
（3）由（2）知P（，﹣），
∵直线AB为y＝﹣x+1与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1），两交点之间距离是，
∴沿射线AB平移2个单位，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移2个单位，
∴E（，﹣），
抛物线y＝x2﹣x+1平移后y1＝x2﹣x+33，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，
当BE＝EF时，如图：
设F（，t），
∵四边形BEFG为菱形，
∴BE＝EF，
∴（﹣4）2+（﹣+1）2＝（﹣）2+（t+）2，
解得t＝或t＝，
∴F（，）或（，），
当F（，）时，E（，﹣）平移到B（4，﹣1），F（，）即平移到G，
∴G（，），
当F（，）时，E（，﹣）平移到B（4，﹣1），F（，）即平移到G，
∴G（，），
当BF＝EF时，如图：
同理可得G（，﹣），
综上所述，G坐标为（，）或（，）或（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、菱形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
25．（14分）（2022春•朝阳区校级月考）【模型构建】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，∠ACD＝45°，AC＝3．求四边形ABCD的面积．琪琪同学的做法是：延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE．易证△ABC≌△ADE．进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积，则四边形ABCD的面积为 9 ．
【应用】如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
【灵活运用】如图3，在四边形ADBC中，连结AB、CD，∠CAB＝∠ACB＝∠BDC＝60°，四边形ADBC的面积为，则线段CD＝ 4 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】【模型构建】延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE．易证△ABC≌△ADE．进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积；
【应用】同【模型构建】的方法，即可解答；
【灵活运用】同【模型构建】的方法，即可解答．
【解答】解：【模型构建】如题干图1，延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴S△ABC＝S△ADE，AC＝AE，
∴∠E＝∠ACD＝45°，
∴∠CAE＝90°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ADE＝S△ACE＝AC•AE＝AC2＝×（3）2＝9，
故答案为：9；
【应用】如图2，
延长DA至F点，使AF＝BD，连结CF，
同【模型构建】得，△ACF≌△BCD（SAS），
∴CD＝CF，∠ACF＝∠BCD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCF＝∠ACD+∠ACF＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴S四边形ADBC＝S△DCF＝CD2＝×42＝8；
【灵活运用】如图3，
延长DA至H点，使AH＝BD，连结CH，
∵∠CAB＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵∠CAB＝∠BDC＝60°，
∴点A，D，B，C四点共圆，
∴∠DBC+∠CAD＝180°，
同【模型构建】得，△ACH≌△BCD（SAS），
∴CD＝CH，∠BCD＝∠ACH，
∴∠DCH＝∠ACD+∠ACH＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积为，
∴S四边形ADBC＝S△DCH＝CD2＝4，
∴CD＝4，
故答案为：4．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆的判定，等边三角形的面积公式，等腰直角三角形的判定，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
6．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
7．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
8．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
9．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
10．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
11．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
12．三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）
13．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
15．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
17．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
18．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
19．*平面向量
平面向量．
20．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
21．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
22．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
23．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
24．圆的综合题
圆的综合题．
25．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
26．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
27．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
28．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
29．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
31．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
32．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
33．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
34．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
35．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
2022年上海中考数学终极押题密卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•新都区期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米．
A．260000 B．260000000 C．26000 D．2600000
2．（4分）（2021秋•川汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若A（a，b），M（1，0），则点B的坐标是（ ）
A．（2﹣a，﹣b） B．（1﹣a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a﹣2，﹣b）
3．（4分）（2022•普陀区二模）已知||＝1，||＝2，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝﹣2
4．（4分）（2021秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C． D．
5．（4分）（2021秋•礼泉县期末）一组数据：1，0，4，5，x，8．若它们的中位数是3，则x的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（4分）（2022•武汉模拟）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．+1 D．3﹣
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021秋•松江区期末）已知，AB＝8，P是AB黄金分割点，PA＞PB，则PA的长为 ．
8．（4分）（2022•庆云县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AD＝BD，则tan∠ABC的值为 ．
9．（4分）（2022•市北区一模）某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为 元．
10．（4分）（2022春•金山区校级期中）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，如果，那么＝ ．
11．（4分）（2021秋•南召县月考）如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯BC，已知一楼与二楼之间的地面高度差为3.5米，扶梯BC的坡度，则扶梯BC的长度为 米．
12．（4分）（2021秋•凤凰县期末）如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．
13．（4分）（2021秋•中山市期末）已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是 ．
14．（4分）（2021秋•济阳区期末）如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 ．
15．（4分）（2022春•杨浦区校级期中）▱ABCD的周长为64cm，BC上高AE＝6cm，CD上高AF＝10cm，则△BCD的面积为 ．
16．（4分）（2021秋•兴化市期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是 ．
17．（4分）（2021秋•武侯区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为 ．
18．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•长宁区期末）计算：cot30°﹣．
20．（10分）（2022•黄岛区一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到例A处的水平距离为4米时，例水平线的高度为7米．
（1）求抛物线C2的函数解析式；
（2）当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？
21．（10分）（2021秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．
22．（10分）（2021•溧阳市一模）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．
血型统计表：
血型
A
B
AB
O
人数
10
5
血型统计图：
（1）本次随机抽取献血者人数为 人，图中m＝ ；
（2）补全表中的数据；
（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
23．（12分）（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上两点，CE是⊙O的切线，CE⊥BD于点E，连接BC交AD于点F．
（1）求证：点C是的中点；
（2）若，求tan∠BAD的值．
24．（12分）（2021秋•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移2个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
25．（14分）（2022春•朝阳区校级月考）【模型构建】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，∠ACD＝45°，AC＝3．求四边形ABCD的面积．琪琪同学的做法是：延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE．易证△ABC≌△ADE．进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积，则四边形ABCD的面积为 ．
【应用】如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
【灵活运用】如图3，在四边形ADBC中，连结AB、CD，∠CAB＝∠ACB＝∠BDC＝60°，四边形ADBC的面积为，则线段CD＝ ．
2022年上海中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•新都区期末）一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米．
A．260000 B．260000000 C．26000 D．2600000
【考点】比例线段．
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】相似多边形的面积之比等于相似比的平方，据此求解，注意单位．
【解答】解：设该地区的实际面积是xcm2，由题意得，
260：x＝（1：1000）2，
解得，x＝260000000，
260000000cm2＝26000m2，
故选：C．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
2．（4分）（2021秋•川汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若A（a，b），M（1，0），则点B的坐标是（ ）
A．（2﹣a，﹣b） B．（1﹣a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a﹣2，﹣b）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】设点B的坐标为（x，y），利用M点为AB的中点得到1＝，0＝，然后求出x、y得到B点坐标．
【解答】解：设点B的坐标为（x，y），
∵AB是⊙M的直径，
∴M点为AB的中点，
而A（a，b），M（1，0），
∴1＝，0＝，
解得x＝2﹣a，y＝﹣b，
∴B点坐标为（2﹣a，﹣b）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，灵活运用线段的中点坐标公式是解决问题的关键．
3．（4分）（2022•普陀区二模）已知||＝1，||＝2，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝2 D．＝﹣2
【考点】*平面向量．
【专题】三角形．
【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．
【解答】解：∵||＝1，||＝2，且与的方向相反，
∴＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（4分）（2021秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6 B．8 C． D．
【考点】勾股定理．
【分析】首先根据勾股定理，得：斜边＝＝13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．
【解答】解：由题意得，斜边为＝13．所以斜边上的高＝12×5÷13＝．
故选：D．
【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
5．（4分）（2021秋•礼泉县期末）一组数据：1，0，4，5，x，8．若它们的中位数是3，则x的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；推理能力．
【分析】利用中位数的定义，只有x和4的平均数可能为3，从而得到x的值．
【解答】解：除x外5个数由小到大排列为0，1，4，5，8，
因为原数据有6个数，
因这组数据的中位数是3；
所以，只有x+4＝2×3才成立，
即x＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（4分）（2022•武汉模拟）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．+1 D．3﹣
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据“滋生函数”的定义可得ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，从而可得关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，
∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，
解得，
∵t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，
∴t2﹣t﹣1＝0，
∴t3﹣2t2+1＝t（t+1）﹣2t2+1＝﹣t2+t+1＝﹣1+1＝0．
故选：A．
【点评】本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021秋•松江区期末）已知，AB＝8，P是AB黄金分割点，PA＞PB，则PA的长为 ．
【考点】黄金分割．
【专题】计算题．
【分析】根据黄金分割点的定义，知PA是较长线段；则PA＝AB，代入数据即可．
【解答】解：由于P为线段AB＝8的黄金分割点，
且PA＞PB，
则PA＝8×＝4﹣4．
故本题答案为：4﹣4．
【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．
8．（4分）（2022•庆云县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AD＝BD，则tan∠ABC的值为 ．
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】利用线段垂直平分线的性质说明BD与CD的关系，再在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB，最后在Rt△ABC中求出∠ABC的正切．
【解答】解：∵D是BC垂直平分线上的点，
∴BD＝CD．
设AD的长为m，则BD＝CD＝3m，AC＝4m．
在Rt△ABD中，
AB＝
＝
＝2m．
在Rt△ABC中，
tan∠ABC＝
＝
＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
9．（4分）（2022•市北区一模）某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费100元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有1个红球、2个黄球、5个绿球、12个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得50元、25元、20元现金，若取出白球则没有奖．若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为 10 元．
【考点】算术平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以加权平均数的方法求得．
【解答】解：50×+25×+20×+0×＝10（元），
答：他每参与一次的平均收益为10元．
故答案为：10．
【点评】本题考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数．
10．（4分）（2022春•金山区校级期中）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，如果，那么＝ ．
【考点】三角形的重心；*平面向量；平行线的性质．
【专题】三角形；推理能力；应用意识．
【分析】连接AG，延长AG交BC于点T．由EF∥BC，推出＝＝2，推出＝，推出＝＝，可得结论．
【解答】解：连接AG，延长AG交BC于点T．
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GT，
∵EF∥BC，
∴＝＝2，
∴＝，
∴＝＝，
∴BC＝EF，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握三角形重心的性质，灵活运用所学知识解决问题．
11．（4分）（2021秋•南召县月考）如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯BC，已知一楼与二楼之间的地面高度差为3.5米，扶梯BC的坡度，则扶梯BC的长度为 7 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】根据坡度的概念、正切的定义以及特殊角的三角函数值求出∠B，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵扶梯BC的坡度为：3，
∴tanB＝，
∴∠B＝30°，
∴BC＝2×3.5＝7（米），
故答案为：7．
【点评】本题考查的是坡度的概念，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12．（4分）（2021秋•凤凰县期末）如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 12 米．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；应用意识．
【分析】由正六边形的半径为2，则OA＝OB＝2米；由∠AOB＝60°，得出△AOB是等边三角形，则AB＝OA＝OB＝2米，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵正六边形的半径为2米，
∴OA＝OB＝2米，
∴正六边形的中心角∠AOB＝＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∴AB＝2米，
∴正六边形的周长为6×2＝12（米）；
故答案为：12．
【点评】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；解决正多边形的问题，常常把多边形问题转化为等腰三角形或直角三角形来解决．
13．（4分）（2021秋•中山市期末）已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是 在⊙A上 ．
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【解答】解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA＝＝5，
∵半径为5，
∴OA＝r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d＝r；当点P在圆内⇔d＜r．
14．（4分）（2021秋•济阳区期末）如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 4 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【解答】解：由点A（0，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，得
A（0，3）与B（m，3）关于对称轴x＝2对称，
m﹣2＝2﹣0，
解得m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣2＝2﹣0是解题关键．
15．（4分）（2022春•杨浦区校级期中）▱ABCD的周长为64cm，BC上高AE＝6cm，CD上高AF＝10cm，则△BCD的面积为 60 ．
【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】设BC＝a，CD＝b，列出方程组即可解决问题．
【解答】解：设BC＝a，CD＝b，
由题意：，
解得，
故S△BCD＝6×20＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的面积等知识，解题的关键是列出方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．
16．（4分）（2021秋•兴化市期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4）和B（8，2），若无论x取何值，S总取y1，y2中的最大值，则S的最小值是 2 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据图象可得x≤﹣2，﹣2＜x＜8，x≥8时S的取值范围，进而求解．
【解答】解：当x≤﹣2时，S＝ax2+bx+c，S最小值为4，
当﹣2＜x＜8时，S＝kx+m，2＜S＜4，
当x≥8时，S＝ax2+bx+c，S最小值为2，
∴S的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据图象求出S在不同x的取值范围时的取值范围．
17．（4分）（2021秋•武侯区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为 4 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，推出∠A'OB＝∠COC'，证出△OBM≌△OCN可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，
即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形ABCD和正方形A'B'C'O面积的，
∴正方形A'B'C'O的面积为4．
故答案为：4．
．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决不规则图形的面积，要通过分割图形，利用全等知识转化三角形，使不规则图形转化为规则图形进行求解．
18．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB＝4，AE＝AC＝5，∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的性质得到∠C＝∠E，DE＝BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，AB＝4，AC＝5，
∴AD＝AB＝4，AE＝AC＝5，∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴∠C＝∠E，DE＝BC，
∵∠BDC＝∠ADE，
∴△ADE∽△BDC，
∴，
∴，
∴BC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•长宁区期末）计算：cot30°﹣．
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：cot30°﹣
＝﹣
＝﹣（）
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）（2022•黄岛区一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到例A处的水平距离为4米时，例水平线的高度为7米．
（1）求抛物线C2的函数解析式；
（2）当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y＝﹣x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；
（2）令﹣x2+x+1＝﹣x2+x+4，解方程即可；
（3）设运动员与小山坡的高度差为h，根据题意得h＝﹣x2+x+4﹣（﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）2+，由函数的性质可以求出h的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，
解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）当运动员和小山坡到水平线的高度相同时，
﹣x2+x+1＝﹣x2+x+4，
整理得：x2﹣8x﹣72＝0，
解得：x1＝4+2，x2＝4﹣2（舍去），
∴当运动员与点A的水平距离是4+2时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）设运动员与小山坡的高度差为h，
则h＝﹣x2+x+4﹣（﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝4时，h有最大值，最大值为，
∴运动员与小山坡的高度差最大是米．
【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
21．（10分）（2021秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可；
（3）根据三角形的内角和定理得到∠E+∠ADE＝90°，由（2）知，∠FAD＝∠E，求得∠AFD＝∠AFE＝90°，根据勾股定理得到EF＝＝4，设DF＝x，求得DF＝，得到AD＝＝，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD＝，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，
即AC平分∠EAF；
（2）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E；
（3）解：∵∠EAD＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
由（2）知，∠FAD＝∠E，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
∵AE＝5，AF＝3，
∴EF＝＝4，
设DF＝x，
∵DE2﹣AE2＝AD2＝AF2+DF2，
∴（4+x）2﹣52＝32+x2，
解得x＝，
∴DF＝，
∴DE＝，
∴AD＝＝，
∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴AD＝CD＝，
∴CF＝﹣＝．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．（10分）（2021•溧阳市一模）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图）．
血型统计表：
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
血型统计图：
（1）本次随机抽取献血者人数为 50 人，图中m＝ 20 ；
（2）补全表中的数据；
（3）若这次活动中该单位有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
【考点】用样本估计总体；统计表．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
（3）用总人数乘以样本中A型血人数所占比例．
【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%＝50（人），
所以m＝×100＝20；
故答案为50，20；
（2）O型献血的人数为46%×50＝23（人），
A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23＝12（人），
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23
故答案为12，23；
（3）1300××100%＝312（人），
答：估计有312人是A型血．
【点评】本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23．（12分）（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上两点，CE是⊙O的切线，CE⊥BD于点E，连接BC交AD于点F．
（1）求证：点C是的中点；
（2）若，求tan∠BAD的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）由平行线的性质可证CO⊥AD，即可得解；
（2）连接CD、AC、OC，OC与AD交于点G，由相似三角形的性质得，设AC＝CD＝2x，GF＝y，再证明△ACG∽△AFC，列出x、y的方程，用x表示y，再设⊙O为r，由勾股定理得出r与x的关系式，进而由三角函数定义求得结果．
【解答】（1）证明：连接OC，交AD于点P，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
又∵CE⊥BD，
∴CO∥BE，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BE⊥AD，
∴CO⊥AD，
又∵CO是半径，
∴＝，
∴点C是的中点；
（2）解：连接CD、AC、OC，OC与AD交于点G，如下图，
∵＝，
∴AC＝CD，OC⊥AD，AG＝DG，
∵∠BCD＝∠BAD，∠CFD＝∠AFB，
∴△CDF∽△ABF，
∴，
∴，
设AC＝CD＝2x，GF＝y，则DF＝3x，
∴AG＝DG＝3x+y，AF＝3x+2y，
∵AB是直径，
∴∠ACF＝90°＝∠AGF，
∵∠CAG＝∠FAC，
∴△ACG∽△AFC，
∴，即AC2＝AG•AF，
∴，
∴y＝x，或y＝﹣x（舍），
∴AG＝3x+y＝4x，
∴CG＝，
设OA＝OC＝r，则OG＝r﹣2x，
∵OA2﹣OG2＝AG2，
∴r2﹣（r﹣2x）2＝（4x）2，
∴r＝5x，
∴OG＝r﹣2x＝3x，
∴tan∠BAD＝．
【点评】本题主要考查了圆的切线性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理的应用，关键在于作辅助线．
24．（12分）（2021秋•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B（4，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线AB平移2个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；函数的综合应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；应用意识．
【分析】（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；
（2）用待定系数法求出直线AB为y＝﹣x+1，即可得P（m，m2﹣m+1），Q（m+1，（m+1）2﹣（m+1）+1），C（m，﹣m+1），D（m+1，﹣（m+1）+1），从而得PC＝﹣m2+4m，QD＝﹣m2+2m+3，即可求出四边形PQDC面积为PC•|xQ﹣xP|+QD•|xQ﹣xP|＝﹣m2+3m+，根据二次函数性质即得答案．
（3）由（2）知P（，﹣），根据直线AB为y＝﹣x+1与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1），两交点之间距离是，可知沿射线AB平移2个单位，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移2个单位，即得E（，﹣），抛物线y＝x2﹣x+1平移后y1＝x2﹣x+33，抛物线y1的对称轴为：直线x＝，当BE＝EF时，设F（，t），可得（﹣4）2+（﹣+1）2＝（﹣）2+（t+）2，即可解得F（，）或（，），由平移性质可得G（，）或G（，），当BF＝EF时，同理可得G（，﹣）．
【解答】解：（1）把A（0，1），B（4，﹣1）代入抛物线y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x+1；
（2）设直线AB为y＝kx+n，将A（0，1），B（4，﹣1）代入得：
，解得，
∴直线AB为y＝﹣x+1，
∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，
∴P（m，m2﹣m+1），Q（m+1，（m+1）2﹣（m+1）+1），C（m，﹣m+1），D（m+1，﹣（m+1）+1），
∴PC＝﹣m+1﹣（m2﹣m+1）＝﹣m2+4m，QD＝﹣（m+1）+1﹣[（m+1）2﹣（m+1）+1]＝﹣m2+2m+3，
∴四边形PQDC面积为PC•|xQ﹣xP|+QD•|xQ﹣xP|
＝（﹣m2+4m）•（m+1﹣m）+（﹣m2+2m+3）•（m+1﹣m）
＝﹣m2+3m+
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴m＝时，四边形PQDC面积的最大值为；
（3）由（2）知P（，﹣），
∵直线AB为y＝﹣x+1与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1），两交点之间距离是，
∴沿射线AB平移2个单位，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移2个单位，
∴E（，﹣），
抛物线y＝x2﹣x+1平移后y1＝x2﹣x+33，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，
当BE＝EF时，如图：
设F（，t），
∵四边形BEFG为菱形，
∴BE＝EF，
∴（﹣4）2+（﹣+1）2＝（﹣）2+（t+）2，
解得t＝或t＝，
∴F（，）或（，），
当F（，）时，E（，﹣）平移到B（4，﹣1），F（，）即平移到G，
∴G（，），
当F（，）时，E（，﹣）平移到B（4，﹣1），F（，）即平移到G，
∴G（，），
当BF＝EF时，如图：
同理可得G（，﹣），
综上所述，G坐标为（，）或（，）或（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、菱形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
25．（14分）（2022春•朝阳区校级月考）【模型构建】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，∠ACD＝45°，AC＝3．求四边形ABCD的面积．琪琪同学的做法是：延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE．易证△ABC≌△ADE．进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积，则四边形ABCD的面积为 9 ．
【应用】如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
【灵活运用】如图3，在四边形ADBC中，连结AB、CD，∠CAB＝∠ACB＝∠BDC＝60°，四边形ADBC的面积为，则线段CD＝ 4 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】【模型构建】延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE．易证△ABC≌△ADE．进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积；
【应用】同【模型构建】的方法，即可解答；
【灵活运用】同【模型构建】的方法，即可解答．
【解答】解：【模型构建】如题干图1，延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴S△ABC＝S△ADE，AC＝AE，
∴∠E＝∠ACD＝45°，
∴∠CAE＝90°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ADE＝S△ACE＝AC•AE＝AC2＝×（3）2＝9，
故答案为：9；
【应用】如图2，
延长DA至F点，使AF＝BD，连结CF，
同【模型构建】得，△ACF≌△BCD（SAS），
∴CD＝CF，∠ACF＝∠BCD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCF＝∠ACD+∠ACF＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴S四边形ADBC＝S△DCF＝CD2＝×42＝8；
【灵活运用】如图3，
延长DA至H点，使AH＝BD，连结CH，
∵∠CAB＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵∠CAB＝∠BDC＝60°，
∴点A，D，B，C四点共圆，
∴∠DBC+∠CAD＝180°，
同【模型构建】得，△ACH≌△BCD（SAS），
∴CD＝CH，∠BCD＝∠ACH，
∴∠DCH＝∠ACD+∠ACH＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积为，
∴S四边形ADBC＝S△DCH＝CD2＝4，
∴CD＝4，
故答案为：4．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆的判定，等边三角形的面积公式，等腰直角三角形的判定，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
6．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
7．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
8．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
9．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
10．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
11．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
12．三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）
13．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
15．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
17．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
18．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
19．*平面向量
平面向量．
20．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
21．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
22．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
23．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
24．圆的综合题
圆的综合题．
25．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
26．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
27．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
28．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
29．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
31．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
32．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
33．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
34．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
35．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
相关试卷
2022年上海中考数学终极押题密卷1： 这是一份2022年上海中考数学终极押题密卷1，共31页。试卷主要包含了计算，在实数范围内分解因式，不等式组的解集是 等内容，欢迎下载使用。
2022年江西省中考数学终极押题密卷1(word版含答案)： 这是一份2022年江西省中考数学终极押题密卷1(word版含答案)，共30页。
2022年天津中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)： 这是一份2022年天津中考数学终极押题密卷 (1)(word版含答案)，共42页。
