2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第五章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 知识梳理 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)). (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12). 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 常用结论 已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))). 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　×　) (2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).(　×　) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　) 教材改编题 1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2,3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4))) 答案　BD 2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　) A．(2,2) B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1) 答案　A 解析　设P(x，y)，由题意知eq \o(P1P,\s\up6(—→))＝eq \f(1,3)eq \o(P1P2,\s\up6(—→))， ∴(x－1，y－3)＝eq \f(1,3)(4－1,0－3)＝(1，－1)， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝1，,y－3＝－1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.)) 3．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，则x为________． 答案　2或－1 解析　2a－b＝(2x－2,3－x)， ∵(2a－b)∥a， ∴2x－2＝x(3－x)， 即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1. 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \o(EB,\s\up6(→))等于(　　) A.eq \f(3,4)eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→)) C.eq \f(3,4)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→)) 答案　A (2)如图，已知平面内有三个向量eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))，其中eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \o(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \o(OC,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______. 答案　6 解析　方法一　如图，作平行四边形OB1CA1， 则eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(OB1,\s\up6(—→))＋eq \o(OA1,\s\up6(—→))， 因为eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°， 所以∠B1OC＝90°. 在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq \o(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)， 所以|eq \o(OB1,\s\up6(—→))|＝2，|eq \o(B1C,\s\up6(—→))|＝4， 所以|eq \o(OA1,\s\up6(—→))|＝|eq \o(B1C,\s\up6(—→))|＝4， 所以eq \o(OC,\s\up6(→))＝4eq \o(OA,\s\up6(→))＋2eq \o(OB,\s\up6(→))， 所以λ＝4，μ＝2， 所以λ＋μ＝6. 方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq \r(3))． 由eq \o(OC,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝4，,μ＝2.)) 所以λ＋μ＝6. 教师备选 1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \o(AD,\s\up6(→))等于(　　) A．a＋b B.eq \f(1,2)a＋b C．a＋eq \f(1,2)b D．a＋eq \f(2,3)b 答案　C 解析　设圆的半径为r， 在Rt△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AC＝2AB， 所以∠BAC＝eq \f(π,3)，∠ACB＝eq \f(π,6)， 又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D， 所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq \f(π,6)， 则根据圆的性质得BD＝AB， 又因为在Rt△ABC中，AB＝eq \f(1,2)AC＝r＝OD， 所以四边形ABDO为菱形， 所以eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AO,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b. 2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \o(CG,\s\up6(→))＝λeq \o(CD,\s\up6(→))＋μeq \o(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________. 答案　eq \f(1,2) 解析　由题图可设eq \o(CG,\s\up6(→))＝xeq \o(CE,\s\up6(→))(0