2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第一章 §1.1　集　合

§1.1　集　合 考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 知识梳理 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　) 教材改编题 1．(多选)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是(　　) A．2eq \r(2)∉A B．8⊆A C．{4}∈A D．{0}⊆A 答案　AD 2．已知集合M＝{eq \r(a)＋1，－2}，N＝{b,2}，若M＝N，则a＋b＝________. 答案　－1 解析　∵M＝N，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(a)＋1＝2，,b＝－2，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴a＋b＝－1. 3．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}，则A∩B＝____________，A∪(∁UB)＝____________. 答案　{x|2≤x≤3}　{x|－2m＋1，解得m>2； ②当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，)) 解得－1≤m≤2. 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)． 延伸探究　在本例(2)中，若把B⊆A改为BA，则实数m的取值范围是________． 答案　[－1，＋∞) 解析　①当B＝∅时，2m－1>m＋1，∴m>2； ②当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1<4)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1>－3，,m＋1≤4.)) 解得－1≤m≤2. 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)． 教师备选 已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M⊆∁RN D．∁RN⊆M 答案　D 解析　由题意知，∁RM⊆N，其Venn图如图所示， ∴只有∁RN⊆M正确． 思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，则满足AC⊆B的集合C的个数为(　　) A．4 B．6 C．7 D．8 答案　C 解析　∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}， 且AC⊆B， ∴集合C的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个． (2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________． 答案　0，±1 解析　∵M＝{－1,1}，且M∩N＝N， ∴N⊆M. 若N＝∅，则a＝0； 若N≠∅，则N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))， ∴eq \f(1,a)＝1或eq \f(1,a)＝－1， ∴a＝±1 综上有a＝±1或a＝0. 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 例3　(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于(　　) A．∅ B．S C．T D．Z 答案　C 解析　方法一　在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S， 所以T∩S＝T. 方法二　S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S＝T. (2)(2022·济南模拟)集合A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|1＜x＜5}，则集合(∁RA)∪B等于(　　) A．[－1,5) B．(－1,5) C．(1,4] D．(1,4) 答案　B 解析　因为集合A＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}， 又B＝{x|1＜x＜5}， 所以∁RA＝(－1,4)， 则集合(∁RA)∪B＝(－1,5)． 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0] B．(0,1)∪(1,2] C．[2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 答案　D 解析　由题意得， B＝{x|log2x<1}＝{x|0eq \f(1,2) B．a≤－eq \f(10,3)或a≥eq \f(1,2) C．a<－eq \f(1,6)或a>2 D．a≤－eq \f(1,6)或a≥2 答案　B 解析　A＝{x|3x2－2x－1≤0} ＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤1))))， ①B＝∅，2a≥a＋3⇒a≥3，符合题意； ②B≠∅，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<3，,2a≥1，)) 解得a≤－eq \f(10,3)或eq \f(1,2)≤a<3. ∴a的取值范围是a≤－eq \f(10,3)或a≥eq \f(1,2). 教师备选 (2022·铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁RB)≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A．1≤a≤2 B．12 答案　D 解析　A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}， 所以∁RB＝{x|a－13， 解得a<1或a>2， 所以实数a的取值范围是a<1或a>2. 思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 跟踪训练3　(1)(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|03} 解析　∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}， ∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}． ∴A*B＝{x|－3≤x＜0或x>3}． 思维升华　解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． 跟踪训练4　若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________． 答案　27 解析　不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A， 当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}， 当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种， 同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种， 当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种， 同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种， 当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种， 故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆． 课时精练 1．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则∁U(M∪N)等于(　　) A．{5} B．{1,2} C．{3,4} D．{1,2,3,4} 答案　A 解析　方法一　(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}． 又全集U＝{1,2,3,4,5}， 所以∁U(M∪N)＝{5}． 方法二　(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∁UM＝{3,4,5}，∁UN＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}． 2．已知集合U＝R，集合A＝{x|eq \r(x＋3)>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于(　　) A．R B．(1,2] C．(1,2) D．[2，＋∞) 答案　C 解析　A＝{x|eq \r(x＋3)>2}＝(1，＋∞)， B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)， ∴∁UB＝(－∞，2)， ∴A∩(∁UB)＝(1,2)． 3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为(　　) A．2 B．3 C．8 D．9 答案　B 解析　由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3. 4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．6 答案　C 解析　集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}， 则所有非空真子集的元素之和为 a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9， 所以a1＋a2＋a3＝3. 5．(2022·浙江名校联考)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－2 B．a≤－2 C．a>－4 D．a≤－4 答案　D 解析　集合A＝{x|－2≤x≤2}， B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图． 可知－eq \f(a,2)≥2，即a≤－4. 6．(多选)已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则下列说法正确的是(　　) A．P∪Q＝R B．P∩Q＝{(1,0)，(0,1)} C．P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1} D．P∩Q的真子集有3个 答案　BD 解析　联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2＋y2＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，)) ∴P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}， 故B正确，C错误； 又P，Q为点集，∴A错误； 又P∩Q有两个元素，∴P∩Q有3个真子集， ∴D正确． 7．(多选)(2022·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(　　) A．{2,3,4} B．{3,4,5} C．{4,5,6} D．{3,5,6} 答案　BD 解析　由log2x<3得0a，解得a>1， 因为集合U＝{x|00)时，eq \f(x1,x2)∉A， 所以除法不满足条件，D错误． 16．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___________人． 答案　18 解析　赞成A的人数为40×eq \f(3,5)＝24， 赞成B的人数为24＋3＝27， 设对A，B都赞成的学生有x人， 则eq \f(1,3)x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40， 解得x＝18.集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR　 表示 运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA