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北师大版初中数学八年级下册期末测试卷（困难）（含答案解析）

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这是一份北师大版初中数学八年级下册期末测试卷（困难）（含答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版初中数学八年级下册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点，则下列结论成立的是

A. B.
C. D.

关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为

A. B. C. D.

在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程米与时间分钟之间的函数关系图象如图所示，
根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是
这次比赛的全程是米
乙队先到达终点
比赛中两队从出发到分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快
乙与甲相遇时乙的速度是米分钟
在分钟时，乙队追上了甲队

A. B. C. D.

如图，已知点，，，交轴于点点为线段上端点除外一点，则与满足的等量关系式是

A. B. C. D.

如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边长，观察图案及以下关系式：；；；其中正确的关系式的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

数能被以内的两位整数整除的是

A. ， B. ， C. ， D. ，

如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点和，若，则

A.
B.
C.
D.

如图，在平行四边形纸片中，，将纸片折叠，使得点的对应点落在边上，折痕交、、分别于点、、继续折叠纸片，使得点的对应点落在上连结，则的最小值为

A. B. C. D.

如果把分式中的、都扩大倍，那么分式的值

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 扩大倍

若数使关于的不等式组至少有五个整数解，关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数之和是

A. B. C. D.

下列多项式可以用完全平方公式分解因式的是．

A. B.
C. D.

如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点，分别在直角边，上，且，交于点则下列结论：
；
；
的面积等于四边形面积的倍；
．
其中正确的结论有

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，若，则______．

已知，其中表示当时代数式的值，如，，，，则 ______ ．
如图，在中，，点，分别是，的中点，点是扇形的上任意一点，连接，，则的最小值是______．

如图，在中，，，平分交于点，为直线上一动点连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，若则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
如图，在问的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，求的面积．
如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．

计算：；
若，试求，的值；
若对任意自然数都成立，则______，______；
计算：．
对于一个各个数位不为的三位数，从它的百位、十位、个位上任取两个数字可生成一个两位数，那么这个三位数可以生成个两位数，称这个两位数为原来三位数的“次生数”例如：三位数的个“次生数”为，，，，，将一个两位数的十位数字乘以，再加上的个位数字，得到的结果称为的“八一数”，记作例如：，因为，所以的“八一数”是，记作将一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的和记为，例如：．

计算

证明：任意一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的和能被整除

已知一个三位数，其中，且，是整数，是完全平方数，求出所有满足条件的三位数．

阅读材料：因式分解：．
解：将看成整体，令，则原式，
再将还原，得到原式．
上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题：
因式分解：．
因式分解：．
如图，在▱中，，，点为对角线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．
求证；
若所在的直线交于点，求的长度；
如图，当点落在的外部，构成四边形时，求四边形的面积．

如图，在平面直角坐标系中有一点，将点向左平移个单位再向上平移个单位得到点，直线过点、，交轴于点，交轴于点，是直线上的一个动点，通过研究发现直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解．
直接写出点，，的坐标；______，______，______；
求；
当：：时，求点的坐标．

春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两家水果店，平时以同样的价格出售品质相同的草莓，“草莓节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，顾客的折后付款金额、单位：元与标价应付款金额单位：元之间的函数关系如图所示．
求、关于的函数关系式；
“草莓节”期间，如何选择甲、乙两家水果店购买草莓更省钱？

如图，在中，已知，，点从点开始沿射线方向以每秒厘米的速度运动，连结，设运动时间为秒．
求的长．
当为多少时，为等腰三角形．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在中，，，
，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
求出，，根据三角形外角性质得出，即可得出答案；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．

2.【答案】

【解析】解：
得
，
关于、的方程组的解满足，
，得，
，
由，得，
由，得，
关于的不等式组有解，
，得，
由上可得，，
符合条件的整数的值的和为：，
故选：．
根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．
本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法．

3.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查一次函数的图象与实际应用，观察图象理解图象中每个特殊点的实际意义是解题的关键．
由横纵坐标可判断、；观察图象比赛中两队从出发到分钟时间段，乙队的图象在甲图象的下面可判断；由图象得乙队在至分钟的路程为米，可判断；分别求出在分钟时，甲队和乙队的路程，可判断．
【解答】
解：由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是，故正确；
由横坐标可以看出，乙队先到达终点，故正确；
比赛中两队从出发到分钟时间段，乙队的图象在甲图象的下面，
乙队的速度比甲队的速度慢，故错误；
由图象可知，乙队在分钟后开始加速，加速的总路程是米，加速的时间是分钟，
乙与甲相遇时，乙的速度是米分钟，故正确．
甲队：米，
乙队：米，故错误．
故选：．

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形的面积、坐标与图形、平移等知识点先设点平移到上的点为，根据平移规律可得，根据三角形面积公式列方程可解答；
【解答】
解：如图，连接，

，
将向左平移，使与对应，设在上的对应点为，连接，
，，，
点向左平移个单位，再向下平移个单位到点，
，
，
即，
，
，
即，
．

5.【答案】

【解析】解：等于小正方形的边长，即，正确；
为小长方形的面积，
，
故本项正确；
，故本项正确；
，
故本项错误．
则正确的有个．
故选C．
根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．
本题考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查的是因式分解的应用的有关知识，由题意将给出的数用平方差公式进行因式分解求解即可．
【解答】
解：

，
数能被以内的两位整数整除的是，．
故选B．

7.【答案】

【解析】解：如图，设与的交点为，过点作，交与点，

四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
过点作，交与点，由平行线的性质和角平分线的性质可证，由平行线的性质可求，由平行线的性质和角平分线可证，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了翻折变换，三角形的中位线定理，角平分线的性质，勾股定理，解答本题的关键是确定点的运动路径；设的中点为，过点作于，过点作于，连接，首先利用三角形的中位线定理得出，根据折叠的性质可得，当时，有最小值，根据角平分线的性质可知，此时，根据平行线间的距离相等可知，在中，利用勾股定理求出的长，即可求解．
【解答】
解：设的中点为，过点作于，过点作于，连接，

根据图形翻折的性质可知：，
又的中点为，
是的中位线，
，
，
，
根据折叠的性质可得，当时，有最小值，
平分，于，，
此时，
根据平行线间的距离相等可知，
在中，，，，
，
，
根据勾股定理可得，即，
，
的最小值为．
故选B．

9.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了分式的基本性质，注意仔细观察各个字母的变化．
观察代数式，显然分子将扩大倍，分母扩大倍，从而分式的值扩大倍．
【解答】
解：根据题意，
新的分式是，
分式的值为扩大倍，
故选A．

10.【答案】

【解析】解：
解不等式，得：，
解不等式，得，
不等式组至少有五个整数解，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且，为整数，
又为整数，
可以取，，，
所有整数之和为：．
故选：．
解不等式组，根据整数解得个数判断的取值范围；解分式方程，用含的式子表示，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数，相加即可．
这道题主要考查解一元一次不等式组和分式方程，本题的需要注意的是必须对分式方程的根进行检验．

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是因式分解有关知识，利用完全平方公式进行解答即可．
【解答】
解：可以用完全平方公式．
故选C．

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用等腰直角三角形的性质是本题的关键．
由等腰直角三角形的性质可得，，，，由“”可证≌，≌，由全等三角形的性质可依次判断．
【解答】
解：在等腰直角中，，是斜边的中点，
，，，
，
，且
，且，，
≌
，，
同理可得：≌
，

在中，，
，
≌，≌
，，
的面积等于四边形面积的倍；
故选：．

13.【答案】

【解析】

【分析】
根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】

解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

14.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析式通分并利用同分母分式的加法法则变形，将原式变形后约分即可得到结果．

【解答】
解：，
则原式，
故答案为：．

15.【答案】

【解析】解：在上取一点，使得，连接，，．

，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
的最小值为．
故答案为．
在上取一点，使得，连接，，证明∽，推出，推出，推出，根据，求出即可解决问题．
本题考查胡不归问题，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，以及三角形的判定与性质，还考查了线段最小值问题，找到动点的运动轨迹，是解决本题的关键．首先在中，由于，，，所以可以解，即可以过作于，利用三勾股定理，求出的长度，同理，在中，过作于，可以求出的长度，连接交于，过作于，可以证明≌，所以，由此得到在平行于的直线上运动，且距离两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当，，三点共线时，长度最小．
【解答】
解：如图，过作于，过作于，

在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
平分，
，
在中，，
可设，
，
，
，
，
，
，
如图，过作于，连接交于，

四边形为平行四边形，
，
在与中，

≌，
，
故到直线的距离始终为，
所以点在平行于的直线上运动，且两直线距离为，
根据垂线段最短，
当，，三点在一条直线上时，此时最小，如图，

最小值为：，
故答案为．

17.【答案】解：如图中，

四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．

如图中，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．

如图中，

，
当时，四边形是平行四边形，
或或或，
解得或或，
为或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．

【解析】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题．

18.【答案】

【解析】解：原式

；

，
又，
，
解得：．
，．

，
又对任意自然数都成立，
．
解得：．
故答案为：；；
原式

．
利用异分母分式的加法法则运算即可；
先利用异分母分式的加法法则对等式的左边进行运算，再利用恒等式的性质解答即可；
利用中的方法解答即可；
利用裂项法用两个分数的差表示每一个分数，再化简运算即可．
本题主要考查了分式的加减法，有理数的混合运算，数字的变形规律，恒等变形，利用异分母分式的加法法则运算是解题的关键．

19.【答案】解：

证明：设一个三位数为，其中，，，且，，为整数，
则

是整数能被整除
故任意一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的和能被整除．
当时，由得
，

是完全平方数

，此时，；
当时，由得
，

是完全平方数

，此时，；
综上，或．

【解析】本题考查了新定义，因式分解的应用，是一道新定义题目，解决的关键是能够根据定义，通过列举法找到合适的数，进而求解即可．
根据的“次生数”和“八一数”定义计算即可；
设一个三位数为，其中，，，且，，为整数，根据定义表示出，分解因式即可得；
分当时，当时，两种情况解答即可．

20.【答案】解：把看作整体，令，则原式，
再将还原，得到原式；
把看作整体，令，则原式，
再将还原，得到原式．

【解析】把看作整体，令，根据完全平方公式分解因式，再还原即可；
把看作整体，令，化简这个整式，再用完全平方公式分解因式，再还原即可．
本题考查了运用公式法因式分解，体现了整体思想，熟记是解题的关键．

21.【答案】证明：绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
≌，
；
过作于，

四边形是平行四边形，
，，
≌，
，
，，
，
，
，，，
≌，
，
，，，
，
，
，
，
；
如图，将绕点逆时针旋转得到，

，，，
，
，
，
点，点，点三点共线，
，
四边形是矩形，
又，
四边形为正方形，
．

【解析】由“”可证≌，可得；
过作于，由“”可证≌，可得，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求解；
将绕点逆时针旋转得到，通过证明四边形为正方形，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

22.【答案】

【解析】解：点，将点向左平移个单位再向上平移个单位得到点，
点
直线上所有点的横坐标与纵坐标都是二元一次方程的解．
直线的解析式为：，
当时，，
当时，，
点，点
故答案为：，，
如图，连接，，

，
，
设点
如图，

当点在线段上时，
：：，且
，
，
，
，
点，
当点在点的左侧时，
：：，且，
，
，
，
，
点
由平移的性质可求点坐标，由题意可得直线的解析式，即可求点，点坐标；
由三角形面积公式可求解；
分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，一次函数的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

23.【答案】解：设，把代入，
得，解得，
所以；
当时，设，
把代入，得，解得，
所以；
当时，设，
把，代入，得
，
解得，
所以；

当时，，到甲商店购买更省钱；
当时，若到甲商店购买更省钱，则，解得；
若到乙商店购买更省钱，则，解得；
若到甲、乙两商店购买一样省钱，则，解得；
故当购买金额按原价小于元时，到甲商店购买更省钱；
当购买金额按原价大于元时，到乙商店购买更省钱；
当购买金额按原价等于元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．