2022年全国各地自招数学好题汇编之专题05 一元二次方程（word版含答案）

这是一份2022年全国各地自招数学好题汇编之专题05 一元二次方程（word版含答案），共15页。试卷主要包含了下列给出的4个命题等内容，欢迎下载使用。

专题05 一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2021•黄州区校级自主招生）关于x的方程x2﹣bx+4＝0有两个相等的正实数根，则b的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣4或4 D．0
2．（2020•江岸区校级自主招生）若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣1或x＝2 D．x＝﹣2或x＝0
3．（2020•涪城区校级自主招生）若m是关于x的方程x2﹣2020x+1＝0的根，则（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）的值为（　　）
A．18 B．﹣18 C．20 D．﹣20
4．（2020•赫山区校级自主招生）准备在一块长为30m，宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80m2，则小路的宽度为（　　）

A．1m B．m C．2m D．m
5．（2020•赫山区校级自主招生）已知xy≠1，且有5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则的值等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．（2019•锦江区校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020•浙江自主招生）下列给出的4个命题：
命题1若|a|＝|b|，则a|a|＝b|b|；
命题2若a2﹣5a+5＝0，则；
命题3若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m＜﹣3；
命题4若方程x2+mx﹣1＝0中m＞0，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．
其中正确的命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2019•武侯区校级自主招生）若M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13（x、y为实数），则M的值一定是（　　）
A．非负数 B．负数 C．正数 D．零
9．（2019•顺庆区校级自主招生）设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣17x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为（　　）
A．﹣2017 B．0 C．340 D．﹣111
10．（2019•顺庆区校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　）
A．﹣4 B．8 C．6 D．0
二．填空题（共6小题）
11．（2021•黄州区校级自主招生）方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝　 　．
12．（2020•涪城区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围　 　．
13．（2020•赫山区校级自主招生）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则x2﹣6xy+9y2＝　 　．
14．（2020•原阳县校级自主招生）已知关于x的一元二次方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，则实数a，b，c之间的关系是　 　．
15．（2018•苍南县校级自主招生）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是　 　．
16．（2019•宝山区校级自主招生）设方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0的两根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）＝　 　．
三．解答题（共8小题）
17．（2021•江汉区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
18．（2021•大渡口区自主招生）某小微企业在网上销售A、B两种品牌木制休闲用品．今年2月，一共销售A、B两种品牌木制休闲用品共450件，其中A品牌木制休闲用品每件售价20元，B品牌木制休闲用品每件售价30元，2月全部售完这些木制休闲用品，所得总销售额不低于11500元．
（1）A品牌木制休闲用品最多销售多少件？
（2）为了促进销量，今年3月，该店开展了优惠活动，A品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠a%，B品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠a%，结果3月售出的A品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的A品牌木制休闲用品数量增加了a%，售出的B品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的B品牌木制休闲用品数量增加了a%，结果3月的总销售额比2月最低销售额增加了a%，求a的值．
19．（2019•锦江区校级自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22＝6，求m值；
（2）求的最大值．
20．（2020•涪城区校级自主招生）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．
21．（2020•涪城区校级自主招生）已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实数根是x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＞﹣3，求m的取值范围．
22．（2020•南岸区自主招生）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达到2万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到2.42万人．参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同．
（1）求这个增长率；
（2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公益课的师生人数的基础上增加了80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了60%．求参与学习第三批公益课的师生人数．
23．（2020•田家庵区校级自主招生）解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．
24．（2020•赫山区校级自主招生）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．


专题05 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+4＝0有两个相等的正实数根，
∴Δ＝b2﹣4×1×4＝b2﹣16＝0，
解得：b＝4．
故选：A．
2．【解答】解：∵a+b+c＝0且4a﹣2b+c＝0，
∴在方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c中，当x＝2时，a+2b＝b﹣c，即a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，4a﹣b＝b﹣c，即4a﹣2b+c＝0，
∴方程的解为x＝﹣1或x＝2，
故选：C．
3．【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2020x+1＝0的根，
∴m2﹣2020m+1＝0，
∴m2﹣2020m＝﹣1，
∴（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）＝（﹣1+4）×（﹣1﹣5）＝﹣18．
故选：B．
4．【解答】解：设小路的宽度为xm，则四条小路的长为（30+4x+24+4x）m，
依题意，得：x（30+4x+24+4x）＝80，
整理，得：4x2+27x﹣40＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故选：B．
5．【解答】解：∵9y2+2019y+5＝0，
∴5×（）2+2019×+9＝0．
∴x、是关于x的方程5x2+2019x+9＝0的两根，
∴＝．
故选：B．
6．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且Δ＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得﹣＜a＜，
∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即9++1＜0，
解得＜a＜0，
最后a的取值范围为：＜a＜0．
故选D．

方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x＝1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a＜﹣（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x＝1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
故选：D．
7．【解答】解：命题1、当a＝﹣1，b＝1时，a|a|≠b|b|；故本选项错误；
命题2、原方程的解是a＝．
①当a＝时，1﹣a＝﹣＜0，所以；
当a＝时，1﹣a＝＜0，所以；
故本选项正确；
命题3、若x的不等式（m+3）x＞1的解集是x＜，则m+3＜0，即m＜﹣3，故本选项正确；
命题4、∵x1•x2＝﹣1＜0，
∴方程x2+mx﹣1＝0中m＞0，则该方程有一正根和一负根；
∵x1+x2＝﹣m，且m＞0，
∴﹣m＜0，即x1+x2＜0；
∴该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大．
故该选项正确；
综上所述，命题2、3、4正确，共3个．
故选：C．
8．【解答】解：M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9＝（2x﹣3y）2+（y﹣2）2+（x﹣3）2≥0，故M一定是非负数．
故选：A．
9．【解答】解：由题意可得 a+b＝﹣20，ab＝1，c+d＝17，cd＝1
∴（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）
＝[ab+（a+b）c+c2][ab﹣（a+b）d+d2]
＝（1﹣20c+c2）（1+20d+d2）
＝1+20d+d2﹣20c﹣400cd﹣20cd2+c2+20c2d+c2d2
＝d2+c2+2﹣400
＝（c+d）2﹣400
＝172﹣400
＝﹣111，
故选：D．
10．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2
∵x13＝x1x12＝x1（3﹣x1）＝3x1﹣x12，
∴x13﹣4x22+15＝3x1﹣x12﹣4x22+15＝3x1﹣（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+15＝4（x1+x2）＝﹣4
∴x13﹣4x22+15＝﹣3﹣1﹣6+6＝﹣4，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：﹣3≤k＜4且k≠．
故答案为：﹣3≤k＜4且k≠．
13．【解答】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，
x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，
（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴（x﹣2）2＝0，（y+3）2＝0，
解得，x＝2，y＝﹣3，
∴x﹣3y＝2﹣3×（﹣3）＝11，
∴x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2＝121，
故答案为：121．
14．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，
∴c2﹣2ac+a2﹣4（ab﹣b2﹣ac+bc）＝0，
∴a2+4b2+c2﹣4ab+2ac﹣4bc＝0，
∴（a﹣2b+c）2＝0，
∴a﹣2b+c＝0，
∴2b＝a+c（b≠c）．
故答案是：2b＝a+c（b≠c）．
15．【解答】解：方程x2﹣6x+a＝0的两个根为x＝3±，
设x1，x2为方程两根，
（1）若x1＝x2，此时a＝9，以x1、x2为两边长为腰的等腰三角形有无数个，不符合题意；
（2）若x1≠x2，设x1＜x2，
则x1＝3﹣，x2＝3+，
∵x1＞0，x2＞0，
∴0＜a＜9，
①以x1为底，x2为腰的等腰三角形必有一个，
此时，0＜a＜9，
②以x1为腰，以x2为底的等腰三角形不存在，
则有2x1≤x2，
∴6﹣2≤3+，
≥1，
∴0＜a≤8，
综上所述：当0＜a≤8时只有一个等腰三角形．
故答案为：0＜a≤8．
16．【解答】解：∵（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0
∴x2+12x+11+x2+32x+231+x2+22x+21＝0
∴3x2+66x+263＝0
∵Δ＝662﹣4×3×263＝4356﹣3156＞0
∴由韦达定理得：x1+x2＝﹣22，x1x2＝
∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣22+1＝
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．【解答】解：（i）∵方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k≤；

（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．
18．【解答】解：（1）设A品牌木制休闲用品购进x件，则B木制休闲用品购进（450﹣x）件，
依题意得：20x+30（450﹣x）≥11500，
解得：x≤200．
答：A品牌木制休闲用品最多购进200件．
（2）依题意得：20（1﹣a%）×200（1+a%）+30（1﹣a%）×（450﹣200）（1+a%）＝11500（1+a%），
整理得：0.5a2﹣20a＝0，
解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为40．
19．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6
∴，
∵﹣1≤m＜1，
∴；

（2）＝
＝（﹣1≤m＜1）．
∵对称轴m＝，2＞0，
∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．
20．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m＞﹣，
即m的取值范围是m＞﹣；

（2）由（1）知：当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，
∵m为不大于1的整数，
∴m＝0，﹣1，1，
又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，
当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0，
即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．
当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝0，
即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．
21．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实数根是x1，x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×2（3m﹣1）≥0，x1+x2＝1，x1•x2＝，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＞﹣3，
依题意有，
解①得m≤，
解②得m＞﹣．
故m的取值范围是﹣＜m≤．
22．【解答】解：（1）设参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为x，根据题意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：参与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率为10%．

（2）设参与学习第二批公益课的人数中，师生有a万人，其他人士有b万人．
根据题意，得
．
解方程组，得
a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．
答：参与第三批公益课的师生人数为1.98万人．
23．【解答】解：整理方程得
（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）＝0．
（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，
[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0，
x1＝，x2＝；
（2）当a2﹣a＝0时，原方程为一元一次方程，
当a＝0时，x＝0；
当a＝1时，x＝2．
24．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，
∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，
∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．

（2）∵S△ABC＝，
∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，
当t＞10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），
∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
易证△APE≌△QCM，
∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝10∴DE＝5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE＝5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．


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