初中数学北师大版八年级下册2 直角三角形学案及答案

直角三角形----知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.

【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

要点诠释：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：，， .

（4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5；  5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……

②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

③（是自然数）是直角三角形的三条边长；

④（是自然数）是直角三角形的三条边长；

⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长.

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

　　　 图（1）中，所以.

　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

　　　　 　　图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

　　　　   ，所以.

要点三、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

    （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）       首先确定最大边（如）.

（2）       验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：

当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

要点五、互逆命题与互逆定理

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

要点诠释：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.

要点六、直角三角形全等的判定（HL）

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简

称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.

要点诠释：

（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.

【典型例题】

类型一、勾股定理

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．

（1）若＝5，＝12，求；

（2）若＝26，＝24，求．

【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长．

【答案与解析】

解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，

所以．所以＝13．

（2）因为△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，

所以．所以＝10．

【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式．

举一反三：

【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．

（1）已知＝2，＝3，求；

（2）已知，＝32，求、．

【答案】

解：（1）∵∠C＝90°，＝2，＝3，

∴；

（2）设，．

∵∠C＝90°，＝32，

∴．

即．

解得＝8．

∴ ，．

2、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？

【答案与解析】

解：如图所示，因为饭盒底面半径为8，所以底面直径DC长为16．

则在Rt△BCD中，，

所以()．

答：筷子最长不超过20，可正好盖上盒盖．

【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．

举一反三：

【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？

【答案】

解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，

∴ ．

∴ ()．

∴ BC＋AB＝5＋13＝18()．

∴ 旗杆折断前的高度为18．

类型二、勾股定理的逆定理 

3、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．

（1）＝7，＝24，＝25；

（2）＝，＝1，＝；

（3），，()；

【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．

【答案与解析】

解：（1）∵ ，，

∴ ．

∴ 由线段组成的三角形是直角三角形．

   （2）∵ ，，，

∴ ．

∴ 由线段组成的三角形不是直角三角形．

    （3）∵ ，

∴ ，．

∵，

，

∴ ．

∴ 由线段组成的三角形是直角三角形．

【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小．

举一反三：

【变式1】判断以线段为边的△ABC是不是直角三角形，其中，，．

【答案】

解：由于，因此为最大边，只需看是否等于即可．

∵，，，∴，

∴以线段为边能构成以为斜边的直角三角形．

【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5  则这个三角形三边上的高之比是（   ）

A．20:15:12  B．3:4:5  C．5:4:3  D．10:8:2

【答案】A.

提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：，即20:15:12.

4、（2020春•临清市期末）已知a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．

（1）求a、b、c的值；

（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．

【思路点拨】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；

（2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可．

【答案与解析】

解：（1）∵a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．

∴|a﹣|=0，=0，（c﹣4）2=0．

解得：a=，b=5，c=4；

（2）∵a=，b=5，c=4，

∴a+b=+5＞4，

∴以a、b、c为边能构成三角形，

∵a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，

∴此三角形是直角三角形，

∴S△==．

【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

类型三、勾股定理、逆定理的实际应用

5、（2020春•遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）

【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．

【答案与解析】

解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；

据勾股定理可得：

（m）

∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；

∵72（km/h）＞70（km/h）；

∴这辆小汽车超速行驶．

答：这辆小汽车超速了．

【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．

类型四、原命题与逆命题

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

　　1．原命题：猫有四只脚．

2．原命题：对顶角相等.

3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．

4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．

【答案与解析】

1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）

2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）

4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）

【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.

举一反三：

【变式1】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．

【答案】①④

提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长满足”也是正确的.

【变式2】根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：

（1）写出逆命题；

（2）判断逆命题是真命题还是假命题；

（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．

【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；

（2）是真命题；

（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，

求证：AB∥CD．

类型五、直角三角形全等的判定——“HL” 

7、 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．

求证：（1）AB＝CD：

（2）AD∥BC．

【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.

【答案与解析】

证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，

          ∴∠ABD＝∠CDB＝90°

          在Rt△ABD 和Rt△CDB中，

           ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）

           ∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

       （2）由∠ADB＝∠CBD

            ∴AD∥BC .

【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

举一反三：

【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．

求证：ED⊥AC．

【答案】

证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，

      ∴∠DAE＝∠CBA＝90°

      在Rt△DAE 与Rt△CBA中，

      ∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）

      ∴∠E＝∠CAB

      ∵∠CAB＋∠EAF＝90°，

      ∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°

      即ED⊥AC．

8、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．

【答案与解析】

证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF；

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

∴在Rt△DBE和Rt△DCF中

∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；

∴EB=FC．

【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．