初中数学浙教版八年级下册第四章 平行四边形综合与测试优秀复习练习题
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浙教版初中数学八年级下册第四单元《平行四边形》测试卷
考试范围：第四章；考试时间：100分钟；总分：100分；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是
A. B. C. D.
- 如图，▱的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为
A. B. C. D.
- 一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为
A. 或或 B. 或或 C. 或 D. 或
- 在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则是正整数的顶点的坐标是
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；错误的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 如图，在和中，，，，点、、分别为、、的中点，若绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为
A. B. C. D.
- 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，下列结论：；；；；其中正确的个数有
A. B. C. D.
- 如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是
A. B. C. D.
- 如图，在▱中，，，，为的平分线．利用尺规在▱中作图，作图痕迹如图所示，交于点，连接，则的长为
A. B. C. D.
- 如图，是等边三角形，点是三角形内一点，，，，若的周长为，则
A. B.
C. D. 条件不够，不能确定
- 如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长为
A.
B.
C.
D.
- 如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 如图，在中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点若的周长为，的周长为，则的长为________．
- 如图，在边长为的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为__________．
- 如图，在▱中，点，分别在边、上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则长度为______．
- 如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论一定成立的是_________
；；的面积个的面积；．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）
- 已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结，．
如图，若，，，，求的长．
过点作，交延长线于点，如图所示，若，，求证：．
如图，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
- 定义：在平行四边形中，若有一条对角线是一边的两倍，则称这个平行四边形为“美丽四边形”，其中这条对角线叫做“美丽对角线”，这条边叫做“美丽边”．
如图，在平行四边形中，，，，判断平行四边形是否为“美丽四边形”；
如图，四边形与四边形都是“美丽四边形”，其中与为“美丽对角线”，与为“美丽边”，与相交于点，与相交于点．
求证：；
若，求的值．
- 将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺的长直角边与含角的三角尺的斜边恰好重合．已知，是上的一个动点．
当点运动到的平分线上时，连接、，求、的长；
当点在运动过程中出现时，求此时的度数；
当点运动到什么位置时，以、、、为顶点的平行四边形的顶点恰好在边上？求出此时平行四边形的面积．
- 如图，、是平行四边形对角线上的两点，且求证：四边形是平行四边形．
- 如图，、是平行四边形对角线上两点，且求证：．
- 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点、，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
若，请直接写出图中面积等于四边形的面积的的所有三角形．
- 已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，，连接，．
如图，若，，求的度数．
如图，求证：．
如图，设交于点，交于点，与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了中心对称图形，即在平面内，将一个图形绕某点旋转，能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形据此一一判断解析．
【解答】
解：图形无法重合，不是中心对称图形；
B.可以绕中心旋转而完全重合，是中心对称图形；
C.无法重合，不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，利用三角形面积的不同表示方法，建立方程求出的长．
【解答】
解：，，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故选D．
3.【答案】
【解析】解：设原多边形是边形，分三种情况：
由多边形内角和公式得，
若剪后为边形，
则，
解得；
若剪后为边形，
则，
解得；
若剪后为边形，
则，
解得；
综上所述，原多边形的边数为或或．
故选：．
设原多边形是边形，分三种情况：若剪后为边形，若剪后为边形，若剪后为边形，根据多边形内角和公式，可得答案．
本题考查了剪纸问题，多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了坐标与图形变化旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标的变化规律．
首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
【解答】
解：是边长为的等边三角形，
的坐标为，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
，
，，，，，
的横坐标是，的横坐标是，
当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，
顶点的纵坐标是，
是正整数的顶点的坐标是
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
由，得出，故正确；再由证得≌，得，同理≌，得，则四边形是平行四边形，故正确；然后由平行四边形的性质得，则正确；最后求出，故错误；即可得出答案．
【解答】
解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形，故正确；
，故正确；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故错误；
错误的个数是个，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判定的形状；连接、，，，首先证明，根据全等三角形的性质和三角形的中位线性质证明是等腰直角三角形，然后根据勾股定理确定与的数量关系，利用三角形的面积公式求出的面积，最后求出的最大值，即可求解．
【解答】
解：连接、，，，如图：
，，，，
，，，，
，
根据等腰直角三角形斜边上的中线性质可得：，，
在和中，
，
，，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
根据三角形的外角性质可得，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，
在旋转过程中，当、、三点在同一条直线上，且在的延长线上时，有最大值，最大值为，
面积的最大值为．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；
先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长；
因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；
根据三角形中位线定理可作判断；
由三角形中线的性质可得：．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系
【解答】
解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
是等边三角形，，
，，，
，
，，
，，故正确；
，，
，，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
又，，
中，，
，故正确；
由知：，
，故正确；
由知：是的中位线，，
，，故正确；
，
，故正确；
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．
【解答】
解：当无法得出≌，所以无法得到四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
B.当，
平行四边形中，
，，
在和中
，
≌，
，
同理可得，，
故可证四边形是平行四边形，故此选项错误；
C.当，
，
平行四边形中，
，，
在和中
，
≌，
，
同理可得，，
故可证四边形是平行四边形，
故此选项错误；
D.当，
平行四边形中，
，，
在和中
，
≌，
，
，
故可证四边形是平行四边形，
故此选项错误．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：过点作于点，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
由作图可知平分，
，，
，
，，
，
，
．
故选：．
过点作于点，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求出，的长，由勾股定理可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
延长交于点，延长交于点，进而利用平行四边形的判定与性质及等边三角形的判定与性质即可求解此题．
【解答】
解：延长交于点，延长交于点，
，，，
四边形、四边形均为平行四边形，
，．
又为等边三角形，
易得和也是等边三角形，
，，
，
故选C．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长．
故选：．
利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：以的各边的中点为顶点作，
的周长的周长的周长，
以各边的中点为顶点作，
的周长各的周长的周长，
，
的周长
故选：．
根据三角形的中位线定理得到的周长的周长，各的周长，于是得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，三角形的周长的计算，正确的找出规律是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点；根据折叠的性质将平行四边形的周长与的周长进行转化是解决问题的关键．
根据折叠的性质可得、，从而▱的周长可转化为：的周长的周长，求出，再由的周长为，求出的长，即可解决问题．
【解答】
解：由折叠的性质可得、，
▱的周长的周长的周长，
四边形为平行四边形，
，
的周长，
即，
，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段的性质，解答本题的关键是通过作辅助线，构造平行四边形；首先过点作，且，连接交射线于，在线段上截取，首先证明，然后证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，，再根据“两点之间线段最短”可知：此时有最小值，最小值为线段的长，最后利用勾股定理求出线段的长，即可求解．
【解答】
解：过点作，且，连接交射线于，在线段上截取，如图：
是边长为的等边三角形，于，
垂直平分线段，，，
，，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
根据“两点之间线段最短”可知：此时有最小值，最小值为线段的长，
，，
，
在中，，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作延长线于点，
得长方形，
，，，
，，
，，
由折叠的性质可知：，，
四边形是平行四边形，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得负值舍去，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得，
．
长度为．
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，过点作延长线于点，得矩形，可得和是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出≌是解题关键分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出≌，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】
解：是的中点，
，
在▱中，，
，
，
，
，
，
，故正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，故错误；
设，则，
，
，
，
，
，故正确．
故答案为．
17.【答案】解：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
在中，，
设，则，
，，则
，则，
证明：连接，
，
，
在和中
，
≌，
，，
，
，
又，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中
，
≌，
，
，
存在这样的，．
理由如下：作交延长线于，连接，
由同理可得，，，
当时，
，
，
作于，
，
，
点，重合，
，
，
，
同可证：≌，
，
存在，使得
【解析】证是等边三角形，为中点，通过等边三角形三线合一，得到，利用勾股定理计算即可；
借助中点和平行，可证得≌，得出，，再证明≌，即可得出结论；
由总结的解题方法延伸到图中，类比解决问题．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的计算等知识，构造出全等三角形是解决的关键，类比来解决是解决几何题常用的方法，体现了变中不变的思想．
18.【答案】解：如图中，平行四边形是“美丽四边形”．
在中，，，，
，
，
平行四边形为“美丽四边形”．
如图中，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，，
与为“美丽对角线”，与为“美丽边”，
，，
，，
，
，
，
，，，
．
如图中，作于．
由题意，设，则，，
在中，，
在中，，
，
．
【解析】利用勾股定理求出的长即可判定；
如图中，由，，，只要证明即可解决问题；
由题意，设，则，，求出即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于压轴题．
19.【答案】解：在中，，，
，．
如图，作，
中，，
，
平分，
，
，
，
当点位置如图所示时，
根据中结论，，，
又，
，
．
．
当点位置如图所示时，同可得．
．
故的度数为或；
当点运动到边中点如图，即时，
以，，，为顶点的平行四边形的顶点恰好在边上．
四边形为平行四边形，
，
，
，即．
而在中，，
根据勾股定理得：，
为等腰直角三角形，
，
，
是平行四边形的高，
．
【解析】作，由的长求得、的长．在等腰中，；在中，求得的长．则由勾股定理即可求得的长．
由得与的关系，则与的关系也已知，先求得的度数，则的度数也可求出，需注意有两种情况．
由于四边形为平行四边形，则，为中点，作出平行四边形，求得面积．
本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
20.【答案】证明：连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
四边形是平行四边形．
【解析】连接，交于点，由“平行四边形的对角线互相平分”得到，；然后结合已知条件证得，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
在和中，
，， ，
≌，
，
故BFED为平行四边形．
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，是中考常见题型．由平行四边形的性质和已知条件证明≌，所以可得，进而证明四边形是平行四边形，即．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
图中所有面积等于四边形的面积的的所有三角形为，，，．
【解析】首先连接，交于点，由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得，，又由，可得，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形；
根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
23.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
证明：延长至，使，连接，
是的中线，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
结论：．
理由：
由中≌可得，，
又点为中点，，
在和中，
≌，
，，
在和中，
≌，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
利用三角形的内角和定理求出，，再根据构建方程即可解决问题；
延长至，使，连接，证明≌即可解决问题；
结论：证明≌，推出，再证明即可．
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