专题9.4 古典概型概率-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.理解古典概型及其概率计算公式．
2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率
【命题趋势】
古典概型主要考查实际背景的等可能事件，通常与互斥事件、对立事件等知识相结合进行考查.
【核心素养】
本讲内容突出对数学建模，数学运算的考查.
【素养清单•基础知识】
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出事件A的概率.
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．
2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
3．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D．1
4．从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
5．从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中依次取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(16,25)
C.eq \f(13,25) D.eq \f(2,5)
6．(2018·江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 简单的古典概型问题
答题模板
求古典概型概率的基本步骤
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)算出事件A包含的所有基本事件的个数m.
(3)代入公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出P(A)．
【例1】 (1)(2019·安徽安庆一中一模)甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(5,9)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(7,9)
(2)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A.eq \f(5,18) B.eq \f(4,9)
C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
考法二 复杂的古典概型问题
归纳总结
求较复杂事件的概率问题的方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．
【例2】 为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中eq \f(3,4)是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有eq \f(1,3)持金卡，在省内游客中有eq \f(2,3)持银卡．
(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．
考法三 知识交汇中的古典概型问题
归纳总结
求解古典概型交汇问题的思路
求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：
【例3】 已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3,9}．
(1)求a∥b的概率；
(2)求a⊥b的概率．
【例4】 (2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．
【易错警示】
易错点 将基本事件的“等可能”与“非等可能”弄错
【典例】 同时投掷三枚质地均匀的硬币一次，三枚硬币同时正面向上的概率为__________．
【错解】：基本事件共有4个：(正正正)(正正反)(正反反)(反反反)，所以三枚硬币同时正面向上的概率为eq \f(1,4).
【错因分析】：误认为题目中所有的基本事件的出现都是等可能的，而有些时候基本事件的出现不是等可能的，从而造成错解．
【答案】：eq \f(1,8)
【正解】：由题意作出树状图如下：
一共有8种情况，三枚硬币同时正面向上只有1种情况，所以，P(三枚硬币同时正面向上)＝eq \f(1,8).
【跟踪训练】 (2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后投掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是__________．
【递进题组】
1．投掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(1,18) D.eq \f(1,12)
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
3．盒子中装有标有数字且大小相同的小球，其中m个小球标有数字1,3个小球标有数字3,2个小球标有数字5.若从盒子中任取2个球，可得这两个球所标数字之和为6的概率是eq \f(13,45).若从盒子中任取3个球，则三个球所标数字之和小于10的概率为( )
A.eq \f(49,60) B.eq \f(53,60)
C.eq \f(23,60) D.eq \f(13,15)
4．某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果如下表：
根据上表信息解答以下问题：
(1)从这50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；
(2)从这50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·宜春一中月考)下列问题中是古典概型的是( )

A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两颗骰子，求向上的总数之和是5的概率
2．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过4的概率记为p1，点数之和大于8的概率记为p2，点数之和为奇数的概率记为p3，则( )
A．p1C．p13．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
4．从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，则取出的这两个数字之和为偶数的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,5)
5．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋ny＝3，,2x＋3y＝2))只有一组解的概率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(17,18)
6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(2,9)
C.eq \f(7,18) D.eq \f(4,9)
二、填空题
7．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
8．某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人依次发言，要求甲、乙两人至少有一人发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为________．
9．如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为________.
三、解答题
10．(2019·吉林长春质检)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
11．(2016·天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
12．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.
(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；
(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．
13．(2019·黄冈外校检测)已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(aπ,3)x))，a为抛掷一颗骰子所得的点数，求函数f(x)在[0,4]上零点的个数小于5或大于6的概率．
名称
不同点
相同点
频率计
算公式
频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值
都计算了一个比值eq \f(m,n)
古典概型的
概率计算公式
eq \f(m,n)是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化
答对题目个数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15