专题9.3 二项式定理-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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第九篇 计数原理、概率与随机变量及其分布列
专题9.03 二项式定理
【考纲要求】
1.能用计数原理证明二项式定理．
2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题
【命题趋势】
对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项及参数值．利用二项式定理展开式的性质求有关系数等问题
【核心素养】
本讲内容主要考查公式的应用，体现数学运算，数学抽象，逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
2.二项式系数的性质


(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】由题意得x3的系数为，故选A．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
2.【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．
【答案】
【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．
【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．
3．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【解析】因为，而展开式中含的项为，展开式中含的项为，故所求展开式中的系数为，选C．
【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可．这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同．
4．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】的展开式中的系数为
A． B． C．40 D．80
【答案】C
【解析】，由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为，则的系数为．故选C．
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
5.【2019年高考江苏卷理数】设．已知．
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．


．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：

．
因为，所以．
因此．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．
【考法拓展•题型解码】
考法一　　二项展开式中的特定项或系数问题
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
(2)已知展开式中的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
【例1】 (1)(2019·广东惠州模拟)在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是(　　)
A．10 B．－10
C．－5 D．20
(2)8的展开式中的有理项共有__________项．
【答案】(1)A　(2)3
【解析】 (1)Tr＋1＝C·(x2)5－r·(－x－1)r＝C(－1)r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以含x4项的系数为C(－1)2＝10，故选A.
(2)展开式的通项为Tr＋1＝C·()8－rr＝ (r＝0,1,2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．
考法二　　多项展开式中的特定项或系数问题
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
【例2】 (1)4＋8的展开式中的常数项为(　　)
A．32 B．34
C．36 D．38
(2)(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
(3)(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
【答案】 (1)D　(2)C　(3)C
【解析】(1)4的展开式的通项为Tm＋1＝C(x3)4－m·m＝C(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，8的展开式的通项为Tn＋1＝Cx8－nn＝Cx8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为C(－2)3＋C＝38.
(2)当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(－y)3；当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.
(3)(1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C.
考法三　　二项式系数的和与性质
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【例3】 (1)(2019·新余一中二模)在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
(2)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝__________.
【答案】(1)B　(2)0
【解析】(1)在二项式n的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，所以A＝4n，二项展开式的二项式系数和为2n，所以B＝2n，所以4n＋2n＝72，解得n＝3，所以n＝3的展开式的通项为Tr＋1＝C()3－rr＝，令＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3C＝9.故选B.
(2)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.
考法四　　二项式定理的应用
归纳总结　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)整除问题的解题思路：
利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．
(2)求近似值的基本方法：
利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【例4】 (1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 020＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1.028的近似值是__________(精确到小数点后三位)．
【答案】(1)D　(2)1.172
【解析】(1)512 020＋a＝(52－1)2 020＋a＝C×522 020－C×522 019＋…＋C×52×(－1)2 019＋C×(－1)2 020＋a，
因为C×522 020－C×522 019＋…＋C×52×(－1)2 019能被13整除，且512 020＋a能被13整除，
所以C×(－1)2 020＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.
(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023≈1.172.
【易错警示】
易错点　混淆二项式系数与项的系数
【典例】 (x－1)9按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是(　　)
A．第4项和第5项 B．第5项
C．第5项和第6项 D．第6项
【错解】：C　根据二项式系数的性质，(x－1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数相等，同时取得最大值．(混淆了项的系数与二项式系数)
【错因分析】：错解中误认为项的系数是二项式系数；解题时由于(x－1)9展开式中的系数与二项式系数有密切关系(相等或互为相反数)，这样可利用它们的这种关系结合二项式系数的性质来求解．
【正解】：B　根据二项式系数的性质，(x－1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数相等，同时取得最大值．但第6项系数需乘以－1得负，而第5项的系数为正，因此只有第5项的系数最大，而第6项的系数最小．
误区防范　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
在Tk＋1＝Can－kbk中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tk＋1项的系数指化简后所得的单项式的系数，如a＝2x，b＝3y时，Tk＋1＝C2n－k3kxn－kyk，其中C2n－k3k就是Tk＋1项的系数．
【跟踪训练】 (2019·贵州七校联盟)(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和为__________(结果化成最简形式)．
【答案】 －1024
【解析】(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和等于(1－5y)5的展开式的各项系数和，在(1－5y)5中，令y＝1，得展开式的各项系数和为(－4)5＝－1 024，所以(1－x－5y)5的展开式中不含x的项的系数和为－1 024.
【递进题组】
1．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74 B．121
C．－74 D．－121
【答案】D　
【解析】展开式中含x3的项的系数为
C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
2．将3展开后，常数项是__________．　
【答案】 －160
【解析】 3＝6展开后的通项是
C()6－k·k＝(－2)k·C()6－2k.
令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C(－2)3＝－160.
3．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于__________．
【答案】 －256
【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25，两式相加除以2得a0＋a2＋a4＝24，则a1＋a3＋a5＝－24，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.
4．(2019·上海十三校二联)－1＋3C－9C＋27C－…－310C＋311除以5的余数是__________．
【答案】 3
【解析】－1＋3C－9C＋27C－…－310C＋311＝
(－1＋3)11＝211＝2 048＝2 045＋3，它除以5余数为3.



【考卷送检】
一、选择题
1．二项式10的展开式中的常数项是(　　)
A．180 B．90
C．45 D．360
【答案】A　
【解析】10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－k·k＝，令5－k＝0，得k＝2，故常数项为22C＝180.
2．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(　　)
A．16 B．10
C．4 D．2
【答案】B　
【解析】2n展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－k·k＝，令＝0，得k＝，依据选项知n可取10.
3．(2019·漳州三模)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(　　)
A．－20 B．0
C．1 D．20
【答案】D　
【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以，a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.
4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)
A．－5 B．5
C．90 D．180
【答案】D　
【解析】因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以a8＝C×22×(－1)8＝180，故选D.
5．若(＋)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为(　　)

【答案】D　
【解析】(＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝，则T3＝Cxy＝10，即xy＝1，由题意知x≥0，故D选项的图象符合．
6．在(2x＋xlg x)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，则x＝(　　)
A．1 B.
C．1或 D．－1
【答案】C　
【解析】二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T5＝C(2x)4·(xlg x)4＝1 120，所以x4(1＋lg x)＝1，两边取对数可知lg2x＋lg x＝0，得lg x＝0或lg x＝－1，故x＝1或x＝.
二、填空题
7．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.
【答案】 16　4
【解析】由题意知a4为展开式含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.
8．(2018·全国卷Ⅲ)(x2＋)5的展开式中，含x4项的系数是________(用数字填写答案)．
【答案】 40
【解析】 由(x2＋)5得Tr＋1＝C(x2)5－r()r＝2rCx10－3r，令10－3r＝4得r＝2，此时系数为40.
9．若二项式n的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于________．
【答案】 32
【解析】 对于Tr＋1＝C()n－rr＝，当r＝n时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝5m，则有r＝3m，则23mC＝80，因此m＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.
三、解答题
10．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【答案】见解析
【解析】(1)依题意知n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－rr＝r，又第6项为常数项，则当r＝5时，＝0，即＝0，解得n＝10.
(2)由(1)得Tr＋1＝r，令＝2，解得r＝2，故含x2的项的系数为2C＝.
(3)若Tr＋1为有理项，则有∈Z，且0≤r≤10，r∈Z，
故r＝2,5,8，则展开式中的有理项分别为
T3＝C2x2＝x2，T6＝C5＝－，
T9＝C8x－2＝x－2.
11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
【答案】见解析
【解析】 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)因为a0＝C＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)因为(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
12．已知 n，求：
(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
【答案】见解析
【解析】 (1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C727＝3 432.
(2)因为C＋C＋C＝79，所以n2＋n－156＝0.所以n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，因为12＝12(1＋4x)12，所以所以9.4≤k≤10.4，因为k∈N，所以k＝10.所以展开式中系数最大的项为T11，T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.
13．(2019·扬州中学月考)设函数f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)．
(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；
(2)若f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求C－C＋C－C＋C.
【答案】见解析
【解析】(1)展开式中系数最大的项是第4项T4＝Cx3＝20x3.
(2)由已知(1＋i)n＝32i，两边取模，得()n＝32，所以n＝10.
所以C－C＋C－C＋C＝C－C＋C－C＋C.而(1＋i)10＝C＋Ci＋Ci2＋…＋Ci9＋Ci10＝(C－C＋C－C＋C－C)＋(C－C＋C－C＋C)i＝32i，
所以C－C＋C－C＋C＝32.