专题10.2 随机抽样-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.理解随机抽样的必要性和重要性．
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法.
【命题趋势】
考查系统抽样、分层抽样的应用，利用随机抽样的方法解决抽取样本的相关问题，利用频率分布直方图计算(求频率、频数等)样本数据的数字特征(平均数、方差、标准差等)
【核心素养】
本讲内容突出对数据分析，数学建模的考查..
【素养清单•基础知识】
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
2．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3．系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
(2)系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
①先将总体的N个个体编号；
②确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq \f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq \f(N,n)；
当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．
【素养清单•常用结论】
(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
(2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．
(3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
(4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围
【真题体验】
1．从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为eq \f(50,2 019) D．都相等，且为eq \f(1,40)
2．某班共有学生52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、18号、44号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )
A．23 B．27
C．31 D．33
3．(2018·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．100,20 B．200,20
C．200,10 D．100,10
4．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是( )
A．63 B．64
C．65 D．66
5．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是________件．
6．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
【考法拓展•题型解码】
考法一 简单随机抽样
误区防范
简单随机抽样的注意点
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字要舍去．
【例1】 (1)以下抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A．08 B．07
C．02 D．01
考法二 系统抽样
归纳总结
解决系统抽样问题的两个关键步骤
(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．
(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
【例2】 (1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50 B．40
C．25 D．20
(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
考法三 分层抽样
误区防范：进行分层抽样时应注意的几点
(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．
(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
(4)抽样比＝eq \f(样本容量,总体容量)＝eq \f(各层样本数量,各层个体数量).
【例3】 (1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
A. 90 B．100
C．180 D．300
(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )
A．54 B．90
C．45 D．126
【易错警示】
易错点 不清楚三种抽样方法对个体抽取的等可能性
【典例】 中央电视台动画城市节目为了对本周的热心观众给予奖励，要从2 016名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2 016人中剔除16人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 016人中，每个人被抽取的可能性( )
A．均不相等 B．不全相等
C．都相等，且为eq \f(25,1 008) D．都相等，且为eq \f(1,40)
【错解】：A或D
【错因分析】：对于选项A误认为剔除16人，被抽取到的机会就不相等了，错选A；对于选项D认为被抽取的机会相等，但利用了剔除后的数据计算，错选D.
【正解】：C 因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除几个个体，本题先剔除16人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以，每个个体被抽到的机会都相等，均为eq \f(50,2 016)＝eq \f(25,1 008).
误区防范
【跟踪训练】 对于一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同的方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2＝p3 B．p1＝p2＜p3
C．p2＝p3＜p1 D．p1＝p3＜p2
【答案】A
【解析】无论是采用简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，保持的原则是每个个体被抽到的可能性是均等的，故选A.
【递进题组】
1．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02,03，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )
A.23 B．09
C．02 D．17
2．做一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷份数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本．若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是( )
A．30 B．35
C．40 D．65
3．(2019·山东德州联考)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在[30,40)岁的有2 500人，年龄在[20,30)岁的有1 200人，则m的值为( )
A．0.013 B．0.13
C．0.012 D．0.12
4．(2019·黄陂一中一模)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9
C．10 D．15
【考卷送检】
一、选择题
1．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,4)
2．(2019·济南摸底)某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
3．将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A．800 B．1 000
C．1 200 D．1 500
5．(2019·重庆八中一模)一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是( )
A．63 B．64
C．65 D．66
6．(2019·成都七中模块检测)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为数N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
二、填空题
7．一所高校某专业大一、大二、大三、大四年级依次分别有100名，200名，400名，300名学生，学校为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该专业这四个年级中共抽取40名学生进行调查，则应在该专业大三年级抽取的学生人数为________．
8．为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________．
9．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～ 50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，……，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．
三、解答题
10．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表.
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
11．一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？写出抽样过程．
12．(2019·烟台模拟)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表.
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率．
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为eq \f(5,39)，求x，y的值．类别
共同点
各自特点
联系
适用范围
简单随机抽样
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样
从总体中逐个抽取
总体个数较少
系统
抽样
将总体均分成几部分，按预先定出的规则在各部分中抽取
在起始部分取样时，采用简单随机抽样
总体个数较多
分层
抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本容量(件)
130
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
49
54
43
54
82
17
37
93
23
78
87
35
20
96
43
84
26
34
91
64
57
24
55
06
88
77
04
74
47
67
21
76
33
50
25
83
92
12
06
76
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y