2020-2021学年8.4 三元一次方程组的解法导学案

8.4  三元一次方程组的解法

【总结解题方法  提升解题能力】

一、三元一次方程及三元一次方程组的概念

1、下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）。

    A、    B、    C、    D、

2、下列方程组中是三元一次方程组的是(     )。

    A、    B、    C、    D、

3、下列方程组中是三元一次方程组的是（     ）。

A、   B、      C、   D、

二、三元一次方程组的解法

1、在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a，b，c的值．

2、解方程组：

3、解方程组

4、已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．

三、三元一次方程组的应用

1、购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需　　元．

2、现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?

【巩固练习】

一、填空题。

1、下列方程组中是三元一次方程组的是（     ）。

   A、   B、   C、   D、

2、下列四组数值中，为方程组的解是（ 　　）。

A、       B、         C、      D、

3、已知方程组，则a+b+c的值为（      ）。

    A、6         B、-6         C、5           D、-5

4、已知与是同类项，则x-y+z的值为 (      ) 。

    A、1         B、2          C、3           D、4

5、已知代数式，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为 （     ）。

A、4          B、8        C、62        D、52

6、已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（     ）。

A、       B、        C、       D、

7、已知xyz≠0，且，则x∶y∶z等于（     ）。 

A、3∶2∶1   B、1∶2∶3            C、4∶5∶3   D、3∶4∶5

8、关于x，y的方程组的解是方程3x+2y=10的解，那么a的值为（　　）。

A、﹣2      B、2        C、﹣1       D、1

9、已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有（  ）。

A、30元        B、33元        C、36元        D、39元

10、为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买(    ) 。

A、11支      B、9支      C、7支       D、5支

二、填空题。

11、方程组的解为　    　。

12、已知，则=　    　。

13、已知方程组，若设，则k=__________。

14、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可以加工甲种部件15个，乙种部件12个或丙种部件9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则应安排__________人加工甲种部件，__________人加工乙种部件，__________人加工丙种部件。

15、甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙三个数分别是__________。

三、解下列方程组。

16、（1）       （2）        （3）

四、应用题。

1、新定义对有理数x，y定义新运算x△y=ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1△2=9，（-3）△3=6，0△1=2，求（-2）△5的值．

2、在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2．

（1）求a，b，c的值；

（2）当x=-2时，求y的值．

3、某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组和的   ，甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和，则每组各植树多少棵？

4、2003年全国足球甲A联赛的前12轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表．

问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?

5、某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．

    (1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?

    (2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．

参考答案

一、三元一次方程及三元一次方程组的概念

1、下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）。

    A、    B、    C、    D、

【答案】B

【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；
B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；
C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；
D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；             故选B．

2、下列方程组中是三元一次方程组的是(     )。

    A、    B、    C、    D、

【答案】D

【解析】A选项中与中未知数项的次数为2次，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中有四个未知数，故C选项不是；D项符合三元一次方程组的定义．

3、下列方程组中是三元一次方程组的是（     ）。

A、   B、      C、   D、

【答案】B

【解析】A、含有三个未知数，但不是一次方程，故该选项错误；

B、是三元一次方程组，故该选项正确；

C、不是整式方程，故该选项错误；

D、不是一次方程组，故该选项错误，故选B．

二、三元一次方程组的解法

1、在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a，b，c的值．

【解析】解：根据题意，得，

②﹣①，得a+b=1④；

③﹣①，得4a+b=10 ⑤．

④与⑤组成二元一次方程组， 解这个方程组，得，

把代入①，得c=﹣5．  因此，即a，b，c的值分别为3，﹣2，﹣5．

2、解方程组：

【答案】解：①+②得：

       ①×2+③得：

由此可得方程组：

④－⑤得：，；将代入⑤知：

 将，代入①得：

所以方程组的解为：

3、解方程组

【解析】

解法一：原方程可化为：

由①③得：，    ④

将④代入②得：，得：   ⑤

将⑤代入④中两式，得：，

所以方程组的解为：

解法二：设，则

将③代入②得：，

将代入③得：，

所以方程组的解为：

4、已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．

【解析】解法一： ②-①，得z-x＝2a    ④

③+④，得2z＝6a，z＝3a

把z＝3a分别代入②和③，得y＝2a，x＝a．

∴  ．

把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得：a-2×2a+3×3a＝-10．

解得．

解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a；即x+y+z=6a    ④

④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．

∴  ，

把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得：a-2×2a+3×3a＝-10．

解得．

三、三元一次方程组的应用

1、购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需　　元．

【答案】5．

【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．

则由题意得：

，

由②﹣①得3x+y=1，④

由②+①得17x+7y+2z=7，⑤

由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.

2、现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?

【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．

依题意，得

把③分别代入①和②，得

⑤×2，得6x+z＝46    ⑥

⑥-④，得4x＝28，x＝7；把x＝7代入③，得y＝13；把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．

∴方程组的解是．

答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．

【巩固练习】

一、填空题。

1、下列方程组中是三元一次方程组的是（     ）。

   A、   B、   C、   D、

【答案】D；

2、下列四组数值中，为方程组的解是（　　）。

A、       B、         C、      D、

【答案】D．

【解析】，

①+②得：3x+y=1④，

①+③得：4x+y=2⑤，

⑤﹣④得：x=1，将x=1代入④得：y=﹣2，将x=1，y=﹣2代入①得：z=3，

则方程组的解为．

3、已知方程组，则a+b+c的值为（    ）。

    A、6         B、-6         C、5          D、-5

【答案】C；  

【解析】将方程组中的三个方程左右分别相加，得，两边同除以2便得答案.

4、已知与是同类项，则x-y+z的值为  (     ) 。

    A、1         B、2          C、3           D、4

【答案】D；

【解析】由同类项的定义得：，解得：，所以.

5、已知代数式，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为 （     ）。

A、4          B、8        C、62        D、52

【答案】D；

【解析】由条件知，解得．

   当x＝3时，．

6、已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（     ）。

A、       B、        C、       D、

【答案】D

【解析】解方程组，解得，

代入可得方程组，解得，故选D．

7、已知xyz≠0，且，则x∶y∶z等于（     ）。 

A、3∶2∶1   B、1∶2∶3            C、4∶5∶3   D、3∶4∶5

【答案】B

【解析】∵，

∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，

∴x∶y∶z=x∶2x∶3x=1∶2∶3，故选B．

8、关于x，y的方程组的解是方程3x+2y=10的解，那么a的值为（　　）。

A、﹣2      B、2        C、﹣1       D、1

【答案】B；

【解析】解：本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．

（1）﹣（2）得：6y=﹣3a，

∴y=﹣，

代入（1）得：x=2a，把y=﹣，x=2a代入方程3x+2y=10，

得：6a﹣a=10，即a=2．故选B．

9、已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有（  ）。

A、30元        B、33元        C、36元        D、39元

【答案】D；

【解析】解：设甲乙丙分别有，则有：

，解得：，所以三人共有：（元）.

10、为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买(    ) .

A、11支      B、9支      C、7支       D、5支

【答案】D；

【解析】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得

①×4-②×5得x-z＝0，所以x＝z，将z＝x代入①，得4x+5y+6x＝60．即y+2x＝12．

∵  y＞0，∴  x＜6，∴  x为小于6的正整数，∴  选D.

二、填空题。

11、方程组的解为　    　．

【答案】．

12、已知，则=　    　．

【答案】；

【解析】解：，

①×7﹣②×6得：2x﹣3y=0，解得：x=y，

①×2+②×3得：11x﹣33z=0解得：x=3z，

∵x=y，x=3z，∴y=2z，∴===．故答案为：．

13、已知方程组，若设，则k=__________．

【答案】2

【解析】设则x=2k，y=3k，z=4k，代入5x−2y+z=16得：10k−6k+4k=16，解得：k=2，故答案为：2．

14、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可以加工甲种部件15个，乙种部件12个或丙种部件9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则应安排__________人加工甲种部件，__________人加工乙种部件，__________人加工丙种部件．

【答案】36；30；20

【解析】设应安排x人加工甲种部件，y人加工乙种部件，z人加工丙种部件．

则由题意得，

由②得x=z④，

由③得y=z⑤，

将④⑤代入①，解得z=20，∴x=36，y=30．故答案为：36，30，20．

15、甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙三个数分别是__________．

【答案】10，9，7

【解析】设甲数为x，乙数为y，丙数为z，根据题意得：

，解得：，

则甲数是10，乙数是9，丙数是7，故答案为：10，9，7．

三、解下列方程组。

16、（1）       （2）        （3）

【解析】（1），

①+③，得3x-4z=8④，

②-③，得2x+3z=-6⑤，

联立④⑤，得，解得，

把x=0，z=-2代入③，得y=-3，

所以原方程组的解是．

（2），

③+①，得3x+5y=11④，

③×2+②，得3x+3y=9⑤，

④-⑤，得2y=2，解得y=1，

将y=1代入⑤，得3x=6，解得x=2，将x=2，y=1代入①，得z=-1，所以原方程组的解为．

（3），

将方程①+②得：2x+z=27④，

将方程②+③得：3x+2z=44⑤，

将④×3﹣⑤×2得：z=7，将z值代入⑤得：x=10，把x=10代入①得：y=9，

∴三元一次方程组的解为        ．

四、应用题。

1、新定义对有理数x，y定义新运算x△y=ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1△2=9，（-3）△3=6，0△1=2，求（-2）△5的值．

解：由题意得，  解得，

所以此新运算为x△y=2x+5y-3，

故（-2）△5=2×（-2）+5×5-3=18．

2、在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2．

（1）求a，b，c的值；

（2）当x=-2时，求y的值．

3、某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组和的   ，甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和，则每组各植树多少棵？

解：设甲、乙、丙三个小组分别植树x棵、y棵和z棵．根据题意，

得， 解得．

答：甲、乙、丙三个小组分别植树25棵、10棵和15棵．

4、2003年全国足球甲A联赛的前12轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表．

问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?

解：设每队胜一场、平—场、负—场分别得x分，y分，z分

根据题意，得；由①得4x+y+z＝13      ④

②一④，得x+2y＝5     ⑤                   ⑤×5-③，得y＝1．

把y＝1代入⑤，得x＝5-2×1＝3，即x＝3．把x＝3，y＝1代入④，得z＝0．∴

答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．

5、某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．

    (1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?

    (2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．

解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则，解得，∴  ．         答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．

（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则，

解得．       ∵  10a＝8750（元），15b＝8625（元）．

答：由乙队单独完成此工程花钱最少．