9.1不等式-2021-2022学年人教版七年级数学下册导学案

9.1  不等式

【总结解题方法  提升解题能力】

一、不等式的概念 

1、有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是 (     )。

2、下列各式中，不是不等式的是（     ）。

A、2x≠1          B、3x2–2x+1        C、–3<0          D、3x–2≥1

3、下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x=3；④x+y中，是不等式的个数有（　　）。

A、1个          B、2个            C、3个          D、4个

二、不等式的解及解集

4、若关于的不等式x≤a只有三个正整数解，求的取值范围。

5、如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是(     )。

A、-3≤x＜2      B、-3＜x≤2      C、-3≤x≤2      D、-3＜x＜2

6、根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．

 三、不等式的基本性质

7、若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）。

A、x﹣3＞y﹣3      B、x+3＞y+3        C、﹣3x＞﹣3y        D、＞

8、a、b是有理数，下列各式中成立的是(     )。

A．若a＞b，则a2＞b2；   B．若a2＞b2，则a＞b 

C．若a≠b，则｜a｜≠|b|   D．若｜a｜≠|b|，则a≠b

9、若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．

10、若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，则a的取值范围是　   　．

【巩固练习】

一、选择题。

1、下列不等式中，一定成立的有(      )。

    ①5＞-2；②；③x+3＞2；④+1≥1；⑤．

    A、4个       B、3个       C、2个       D、1个

2、下列式子：①5＜7；②2x＞3；③y≠0；④x≥5；⑤2a+l；⑥；⑦x＝1．其中是不等式的有(     )。

    A、3个      B、4个        C、5个        D、6个

3、下列不等式表示正确的是(      )。

    A、a不是负数表示为a＞0                   B、x不大于5可表示为x＞5

    C、x与1的和是非负数可表示为x+1＞0       D、m与4的差是负数可表示为m-4＜0

4、关于不等式-2x+a≥2的解集如图所示，则a的值是(      )。

A、0         B、2         C、-2         D、-4

5、若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是 (      )。

    A、    B、    C、    D、

6、不等式2x+1＞-3的解集在数轴上表示正确的是 (      )。

7、下列说法不一定成立的是（　 　）。

A、若a＞b，则a+c＞b+c              B、若a+c＞b+c，则a＞b

C、若a＞b，则ac2＞bc2              D、若ac2＞bc2，则a＞b

8、下列变形中，错误的是（     ）。

    A、若3a+5＞2，则3a＞2-5            B、若，则

    C、若，则x＞-5             D、若，则

9、若m＞n，则下列不等式正确的是（     ）。

A、m–2<n–2 B、＞ C、6m<6n D、–8m＞–8n

10、已知ax<2a(a≠0)是关于x的不等式，那么它的解集是（     ）。

A、x<2         B、x＞–2       C、当a＞0时，x<2        D、当a＞0时，x<2；当a<0时，x＞2

二、填空题。

1、若a<b，则a+c__________b+c；，若mx＞my，且x＞y成立，则m__________0；若5m–7b＞5n–7b，则m__________n．

2、已知，若y＜0，则m________．

3、已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________．

4、如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________．

5、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为____________．

三、解答题。

1、用适当的不等式表示下列不等关系：

（1）x减去6大于12；           （2）x的2倍与5的差是负数；

（3）x的3倍与4的和是非负数；  （4）y的5倍与9的差不大于；

2、把下列不等式化为“x＞a”或“x<a”的形式：

（1）x＋6＞5；（2）3x＞2x＋2；（3）–2x＋1<x＋7；（4）–<.

3、已知x＜y，比较下列各对数的大小．

    (1)8x-3和8y-3；    (2)和；     (3) x-2和y-1．

4、已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．

5、阅读下面解题过程，再解题．

已知a＞b，试比较–2019a＋1与–2019b＋1的大小．

解：因为a＞b，①

所以–2019a＞–2019b，②

故–2019a＋1＞–2019b＋1.③

问：（1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误；

（2）错误的原因是什么？

（3）请写出正确的解题过程．

6、根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．

    （1）比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；

    （2）比较a+b与a-b的大小；

    （3）比较3a+2b与2a+3b的大小．

参考答案

一、不等式的概念 

1、有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是 (     )。

【答案】D

【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于克．故A选项错；两个糖果的重量小于克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于克故D选项对．

2、下列各式中，不是不等式的是（     ）。

A、2x≠1          B、3x2–2x+1        C、–3<0          D、3x–2≥1

【答案】B

【解析】A、2x≠1是不等式，故A不符合题意；

B、3x2–2x+1是代数式，不是不等式，故B符合题意；

C、–3<0是不等式，故C不符合题意；

D、3x–2≥1是不等式，故D不符合题意；  故选B．

3、下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x=3；④x+y中，是不等式的个数有（　　）。

A、1个          B、2个            C、3个          D、4个

【答案】B．

二、不等式的解及解集

4、若关于的不等式x≤a只有三个正整数解，求的取值范围。

【解析】解：∵不等式x≤a只有三个正整数解，
∴三个正整数解为：1，2，3，∴3≤a＜4，

5、如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是(     )。

A、-3≤x＜2      B、-3＜x≤2      C、-3≤x≤2      D、-3＜x＜2

【答案】B

【解析】解： A、因为-3≤x＜2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；
C、因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；
D、因为-3＜x＜2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；
故选B．

6、根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．

【答案】4

 三、不等式的基本性质

7、若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）。

A、x﹣3＞y﹣3      B、x+3＞y+3        C、﹣3x＞﹣3y        D、＞

【答案】C．

【解析】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；

B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确；

C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误；

D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确；故选：C．

8、a、b是有理数，下列各式中成立的是(     )。

A．若a＞b，则a2＞b2；   B．若a2＞b2，则a＞b 

C．若a≠b，则｜a｜≠|b|   D．若｜a｜≠|b|，则a≠b

【答案】D

9、若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．

【答案】a＜4

【解析】解：将两方程相加得：4x+4y＝4+a．将方程的两边同除以4得    ．

    依题意：．将不等式的两边同乘以4得4+a＜8．

    将不等式的两边同时减去4得a＜4．故a的取值范围是a＜4．

10、若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，则a的取值范围是　   　．

【答案】a＞1．

【解析】解：关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，1﹣a＜0，a＞1.

【巩固练习】

一、选择题。

1、下列不等式中，一定成立的有(      )。

    ①5＞-2；②；③x+3＞2；④+1≥1；⑤．

    A、4个       B、3个       C、2个       D、1个

【答案】B；

【解析】一定成立的是：①④⑤；

2、下列式子：①5＜7；②2x＞3；③y≠0；④x≥5；⑤2a+l；⑥；⑦x＝1．其中是不等式的有(     )。

    A、3个      B、4个        C、5个        D、6个

【答案】C；

【解析】①②③④⑥均为不等式。

3、下列不等式表示正确的是(      )。

    A、a不是负数表示为a＞0                   B、x不大于5可表示为x＞5

    C、x与1的和是非负数可表示为x+1＞0       D、m与4的差是负数可表示为m-4＜0

【答案】D；

【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误；

x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。

4、关于不等式-2x+a≥2的解集如图所示，则a的值是(      )。

A、0         B、2         C、-2         D、-4

【答案】A；

【解析】根据不等式的性质可得，不等式的解集为，由图可得，不等式的解集为：，因为它们是一个解集，所以，解得.

5、若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是 (      )。

    A、    B、    C、    D、

【答案】C；

【解析】∵0＜x＜1，∴ x2≤x≤.

6、不等式2x+1＞-3的解集在数轴上表示正确的是 (      )。

【答案】Ｃ；

【解析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“＞”与“≥”、“＜”与“≤”的区别，大于号向右画，小于号向左画，有等号需画实心圆点，无等号需画空心圆圈．

7、下列说法不一定成立的是（　 　）。

A、若a＞b，则a+c＞b+c              B、若a+c＞b+c，则a＞b

C、若a＞b，则ac2＞bc2              D、若ac2＞bc2，则a＞b

【答案】C．

【解析】A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故本选项错误；

B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误；

C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故本选项正确；

D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误．

8、下列变形中，错误的是（     ）。

    A、若3a+5＞2，则3a＞2-5            B、若，则

    C、若，则x＞-5             D、若，则

【答案】B；

【解析】B错误，应改为：，两边同除以，可得：。

9、若m＞n，则下列不等式正确的是（     ）。

A、m–2<n–2 B、＞ C、6m<6n D、–8m＞–8n

【解析】A、将m＞n两边都减2得：m–2＞n–2，此选项错误；

B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；

C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；

D、将m＞n两边都乘以–8，得：–8m<–8n，此选项错误；      故选B．

10、已知ax<2a(a≠0)是关于x的不等式，那么它的解集是（     ）。

A、x<2         B、x＞–2       C、当a＞0时，x<2        D、当a＞0时，x<2；当a<0时，x＞2

【答案】D

【解析】因为a的符号不确定，所以要分类讨论，当a＞0时，x<2；当a<0时，x＞2，故选D.

二、填空题。

1、若a<b，则a+c__________b+c；，若mx＞my，且x＞y成立，则m__________0；若5m–7b＞5n–7b，则m__________n．

【答案】<；＞；＞

【解析】（1）若a<b，则a+c<b+c；（2）若mx＞my，且x＞y成立，则m＞0；

（3）若5m–7b＞5n–7b，则m＞n．故答案是：<；>；>.

2、已知，若y＜0，则m________．

【答案】＞8；

【解析】由已知可得：x＝4，y＝2x-m＝8-m＜0，所以m＞8；

3、已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________．

【答案】

4、如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________．

【答案】9≤m＜12；

【解析】3x-m≤0，x≤，3≤＜4，∴  9≤m＜12

5、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为____________．

【答案】2(x＋50)≥280

【解析】∵一个长方形的长为x米，宽为50米，∴周长为2(x＋50)米，∴周长不小于280米可表示为2(x＋50)≥280，

故答案为2(x＋50)≥280.

三、解答题。

1、用适当的不等式表示下列不等关系：

（1）x减去6大于12；           （2）x的2倍与5的差是负数；

（3）x的3倍与4的和是非负数；  （4）y的5倍与9的差不大于；

【解析】（1）由题意可得：x–6＞12；（2）由题意可得：2x–5<0；

（3）由题意可得：3x+4≥0；（4）由题意可得：5y–9≤–1．

2、把下列不等式化为“x＞a”或“x<a”的形式：

（1）x＋6＞5；（2）3x＞2x＋2；（3）–2x＋1<x＋7；（4）–<.

【解析】（1）不等式两边同时减去6，得x＋6–6＞5–6，解得x＞–1.

（2）不等式两边同时减去2x，得3x–2x＞2x＋2–2x，解得x＞2.

（3）不等式两边同时减去(x＋1)，得–2x＋1–(x＋1)<x＋7–(x＋1)，–3x<6，不等式两边同时除以–3，得x＞–2.

（4）不等式两边同时乘4，得–2(x–2)<x＋1，整理得–2x＋4<x＋1，

不等式两边同时减去(x＋4)，得–2x＋4–(x＋4)<x＋1–(x＋4)，整理得–3x<–3，不等式两边同时除以–3，得x＞1.

3、已知x＜y，比较下列各对数的大小．

    (1)8x-3和8y-3；    (2)和；     (3) x-2和y-1．

【解析】解：（1）∵  x＜y  ∴  8x＜8y，  ∴  8x-3＜8y-3．

           （2）∵  x＜y，∴  ， ∴  ．

           （3）∵  x＜y，∴  x-2＜y-2，而y-2＜y-1， ∴  x-2＜y-1．

4、已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．

【解析】解： ∵  -2＜a＜3，∴  a-3＜0．当3a+6≥0，即a≥-2时，3a+6就为非负数．

又∵  -2＜a＜3，3a+6≥0．∴  原式＝-(a-3)-(3a+6)+4a-4＝-7

5、阅读下面解题过程，再解题．

已知a＞b，试比较–2019a＋1与–2019b＋1的大小．

解：因为a＞b，①

所以–2019a＞–2019b，②

故–2019a＋1＞–2019b＋1.③

问：（1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误；

（2）错误的原因是什么？

（3）请写出正确的解题过程．

【解析】（1）②；

（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；

（3）因为a＞b，所以–2019a<–2019b，故–2019a＋1<–2019b＋1.

6、根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．

    （1）比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；

    （2）比较a+b与a-b的大小；

    （3）比较3a+2b与2a+3b的大小．

【解析】解：（1）． ∴  ．

（2）a+b-(a-b)＝a+b-a+b＝2b，当b＞0时，a+b-(a-b)＝2b＞0，a+b＞a-b；

当b＝0时，a+b-(a-b)＝2b＝0，a+b=a-b；

当b＜0时，a+b-(a-b)＝2b＜0，a+b＜a-b．

          （3）3a+2b-(2a+3b)＝a-b  当a＞b时，3a+2b＞2a+3b；

当a＝b时，3a+2b＝2a+3b；

当a＜b，3a+2b＜2a+3b．