2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式学案，共16页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1．
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan_α(α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z)．
2．三角函数的诱导公式
常用结论
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
2．同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(2)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1)；
cs2α＝eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α＋1).
二、习题改编
1．(必修4P19例6改编)若sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)<α<π，则tan α＝________．
解析：因为eq \f(π,2)<α<π，所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2 \r(5),5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
2．(必修4P22B组T3改编)已知tan α＝2，则eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)的值为________．
解析：原式＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(2＋1,2－1)＝3.
答案：3
3．(必修4P28练习T7改编)化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋α)))·sin(α－π)·cs(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝eq \f(sin α,cs α)·(－sin α)·cs α＝－sin2α.
答案：－sin2α
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( )
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( )
(4)若sin(kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)平方关系没有考虑角的范围导致出错；
(2)不会运用消元的思想；
(3)π±α的形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错．
1．已知sin αcs α＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)<α解析：因为eq \f(5π,4)<αsin α，所以cs α－sin α>0.又(cs α－sin α)2＝1－2sin α·cs α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，所以cs α－sin α＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
2．已知tan x＝2，则1＋sin2x的值为________．
解析：1＋sin2x＝cs2x＋2sin2x
＝eq \f(cs2x＋2sin2x,sin2x＋cs2x)＝eq \f(1＋2tan2x,1＋tan2x)＝eq \f(9,5).
答案：eq \f(9,5)
3．已知A＝eq \f(sin（kπ＋α）,sin α)＋eq \f(cs（kπ＋α）,cs α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
解析：k＝2n(n∈Z)时，
A＝eq \f(sin（2nπ＋α）,sin α)＋eq \f(cs（2nπ＋α）,cs α)
＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2.
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
A＝eq \f(sin（π＋α）,sin α)＋eq \f(cs（π＋α）,cs α)
＝eq \f(－sin α,sin α)＋eq \f(－cs α,cs α)
＝－1＋(－1)＝－2.
答案：{2，－2}
同角三角函数基本关系式的应用(多维探究)
角度一 “知一求二”问题
(1)已知cs α＝k，k∈R，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则sin(π＋α)＝( )
A．－eq \r(1－k2) B．eq \r(1－k2)
C．±eq \r(1－k2) D．－k
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin(π－α)＝eq \f(3,5)，则tan α＝( )
A．－eq \f(4,3) B．eq \f(4,3)
C．－eq \f(3,4) D．eq \f(3,4)
【解析】 (1)由cs α＝k，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))得sin α＝eq \r(1－k2)，
所以sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \r(1－k2).故选A.
(2)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，
所以cs α＝－eq \f(4,5)，所以tan α＝－eq \f(3,4).
【答案】 (1)A (2)C
eq \a\vs4\al()
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
角度二 弦切互化
(1)已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α的值是 ( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C．－3 D．3
(2)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cs θ＝1，则tan θ＝________．
【解析】 (1)由eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5得eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，可得tan α＝2，则cs2 α＋eq \f(1,2)sin 2α＝cs2α＋sin αcs α＝eq \f(cs2α＋sin αcs α,cs2α＋sin2α)
＝eq \f(1＋tan α,1＋tan2α)＝eq \f(3,5).故选A.
(2)由(sin θ＋3cs θ)2＝1＝sin2 θ＋cs2 θ，得6 sin θcs θ＝－8cs2 θ，又因为θ为第四象限角，所以cs θ≠0，所以6sin θ＝－8cs θ，所以tan θ＝－eq \f(4,3).
【答案】 (1)A (2)－eq \f(4,3)
eq \a\vs4\al()
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
角度三 sin α±cs α，sin αcs α之间的关系
(1)(一题多解)(2020·四川成都二诊)已知α为第二象限角，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则cs α－sin α＝( )
A.eq \f(7,5) B．－eq \f(7,5)
C．±eq \f(7,5) D．－eq \f(1,5)
(2)(2020·河南中原名校联盟联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cs θ是关于x的方程2x2＋x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cs θ＝( )
A.eq \f(\r(6),2) B．eq \f(\r(7),2)
C.eq \f(\r(5),2) D．1
【解析】 (1)法一：(整体代入法)由sin α＋cs α＝eq \f(1,5)两边同时平方，得1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，则2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，
所以(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25).
因为α为第二象限角，所以cs α－sin α＝－eq \f(7,5).
故选B.
法二：(换元法)sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，①
令cs α－sin α＝t.②
由①2＋②2，得2sin2 α＋2cs2 α＝eq \f(1,25)＋t2，即2＝eq \f(1,25)＋t2，
整理得t2＝2－eq \f(1,25)＝eq \f(49,25)，解得t＝±eq \f(7,5).
因为α为第二象限角，所以cs α－sin α<0，
故cs α－sin α＝－eq \f(7,5).故选B.
法三：(列方程法)由sin α＋cs α＝eq \f(1,5)两边同时平方，得
1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，
则2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，即sin αcs α＝－eq \f(12,25).
所以sin α，cs α是方程x2－eq \f(1,5)x－eq \f(12,25)＝0的两根，解方程得x1＝－eq \f(3,5)，x2＝eq \f(4,5).
因为α是第二象限角，所以sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝－eq \f(3,5)，
所以cs α－sin α＝－eq \f(7,5).故选B.
(2)因为sin θ，cs θ是方程2x2＋x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,2)，sin θ·cs θ＝eq \f(m,2)，可得(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θ·cs θ＝1＋m＝eq \f(1,4)，解得m＝－eq \f(3,4).因为θ为第二象限角，所以sin θ>0，cs θ<0，即sin θ－cs θ>0，因为(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θ·cs θ＝1－m＝1＋eq \f(3,4)＝eq \f(7,4)，所以sin θ－cs θ＝eq \f(\r(7),2).故选B.
【答案】 (1)B (2)B
eq \a\vs4\al()
对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t，则sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
1．已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,3)，则tan(eq \f(π,2)－α)的值为( )
A．2eq \r(2) B．－2eq \r(2)
C.eq \f(\r(2),4) D．±2eq \r(2)
解析：选D.因为sin(π＋α)＝－eq \f(1,3)，所以sin α＝eq \f(1,3)，则cs α＝±eq \f(2\r(2),3)，所以tan(eq \f(π,2)－α)＝eq \f(sin（\f(π,2)－α）,cs（\f(π,2)－α）)＝eq \f(cs α,sin α)＝±2eq \r(2).故选D.
2．(2020·安阳模拟)已知sin x＋cs x＝eq \f(\r(3)－1,2)，x∈(0，π)，则tan x＝( )
A．－eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3)
C.eq \r(3) D．－eq \r(3)
解析：选D.因为sin x＋cs x＝eq \f(\r(3)－1,2)，且x∈(0，π)，所以1＋2sin xcs x＝1－eq \f(\r(3),2)，所以2sin xcs x＝－eq \f(\r(3),2)<0，所以x为钝角，所以sin x－cs x＝eq \r(（sin x－cs x）2)＝eq \f(1＋\r(3),2)，结合已知解得sin x＝eq \f(\r(3),2)，cs x＝－eq \f(1,2)，则tan x＝eq \f(sin x,cs x)＝－eq \r(3).
3．若3sin α＋cs α＝0，则eq \f(1,cs2α＋2sin αcs α)的值为________．
解析：3sin α＋cs α＝0⇒cs α≠0⇒tan α＝－eq \f(1,3)，eq \f(1,cs2α＋2sin αcs α)＝eq \f(cs2α＋sin2α,cs2α＋2sin αcs α)＝eq \f(1＋tan2α,1＋2tan α)
＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(2),1－\f(2,3))＝eq \f(10,3).
答案：eq \f(10,3)
诱导公式的应用(多维探究)
角度一 公式的直接应用
设f(α)＝eq \f(2sin（π＋α）cs（π－α）－cs（π＋α）,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sin α≠0)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝________．
【解析】 因为f(α)＝eq \f(（－2sin α）（－cs α）＋cs α,1＋sin2α＋sin α－cs2α)＝eq \f(2sin αcs α＋cs α,2sin2α＋sin α)＝eq \f(cs α（1＋2sin α）,sin α（1＋2sin α）)＝eq \f(1,tan α)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6))))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6))))＝eq \f(1,tan\f(π,6))＝eq \r(3).
【答案】 eq \r(3)
角度二 “整体代换”的应用
已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))的值是________．
【解析】 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝－a，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))＝0.
【答案】 0
eq \a\vs4\al()
应用诱导公式化简求值的注意事项
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．
1．(2020·江西临川第一中学等九校3月联考)已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝( )
A．－eq \f(15,17) B．eq \f(15,17)
C．－eq \f(8,17) D．eq \f(8,17)
解析：选D.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝cs α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,17)))\s\up12(2))＝eq \f(8,17)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝eq \f(8,17).故选D.
2．(2020·江西上饶模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))的值等于( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
解析：选A.由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，
得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)－\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3).故选A.
同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用(师生共研)
(1)(2020·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(3\r(7),7)
C.eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(1,3)
(2)已知α是第三象限角，且f(α)
＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）).
①化简f(α)；
②若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值；
③若α＝－420°，求f(α)的值．
【解】 (1)选C.由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝eq \f(3\r(10),10).
(2)①由题可得，
f(α)＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）)
＝eq \f(sin α（－cs α）（－tan α）,sin α（－tan α）)＝－cs α.
②因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.
所以sin α＝2cs α.
所以(2cs α)2＋cs2α＝1.所以cs2α＝eq \f(1,5).
因为α是第三象限角，所以cs α＝－eq \f(\r(5),5)，所以f(α)＝eq \f(\r(5),5).
③因为cs (－420°)＝cs 420°＝cs 60°＝eq \f(1,2)，
所以f(α)＝－cs α＝－eq \f(1,2).
eq \a\vs4\al()
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
[提醒] 注意角的范围对三角函数符号的影响．
1．(2020·江西吉安期末)已知tan(－2 019π＋θ)＝－2，则2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝( )
A．－2 B．eq \f(2\r(3)＋1,5)
C.eq \f(2\r(3)＋3,5) D．eq \f(3,5)
解析：选B.因为tan(－2 019π＋θ)＝－2，
所以tan θ＝－2.
则2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))
＝(eq \r(3)sin θ－cs θ)(sin θ＋cs θ)
＝eq \r(3)sin2θ－cs2θ＋(eq \r(3)－1)sin θcs θ
＝eq \f(\r(3)sin2θ－cs2θ＋（\r(3)－1）sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(\r(3)tan2θ－1＋（\r(3)－1）tan θ,tan2 θ＋1)
＝eq \f(4\r(3)－1－2（\r(3)－1）,4＋1)
＝eq \f(2\r(3)＋1,5).故选B.
2．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为________．
解析：因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，
所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcs(4π＋β)
＝asin α＋bcs β＝3，
所以f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcs(2 019π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcs(π＋β)
＝－asin α－bcs β＝－3.
答案：－3
[基础题组练]
1．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝eq \f(3,5)，且α是第三象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2 019π,2)))＝( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
解析：选D.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝－cs α＝eq \f(3,5)，所以cs α＝－eq \f(3,5)，因为α是第三象限角，所以sin α＝－eq \f(4,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2 019π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 008π＋α＋\f(3π,2)))＝sin α＝－eq \f(4,5).
2．若角α的终边落在第三象限，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：选B.因为α是第三象限角，故sin α<0，cs α<0，所以原式＝eq \f(cs α,|cs α|)＋eq \f(2sin α,|sin α|)＝－1－2＝－3.
3．已知tan(π－α)＝－eq \f(2,3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，则eq \f(cs（－α）＋3sin（π＋α）,cs（π－α）＋9sin α)＝( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,7)
C.eq \f(1,5) D．eq \f(3,7)
解析：选A.由tan(π－α)＝－eq \f(2,3)，得tan α＝eq \f(2,3).
eq \f(cs（－α）＋3sin（π＋α）,cs（π－α）＋9sin α)＝eq \f(cs α－3sin α,－cs α＋9sin α)＝eq \f(1－3tan α,－1＋9tan α)＝eq \f(1－2,－1＋6)＝－eq \f(1,5).故选A.
4．(2019·东北三省三校模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(\r(2),3)
解析：选B.由题意知，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,3).故选B.
5．已知α∈[0，2π)，cs α＋3sin α＝eq \r(10)，则tan α＝( )
A．－3 B．3或eq \f(1,3)
C．3 D．eq \f(1,3)
解析：选C.因为(cs α＋3sin α)2＝10，
所以cs2α＋6sin αcs α＋9sin2α＝10，
所以eq \f(cs2α＋6sin αcs α＋9sin2α,cs2α＋sin2α)＝10，
所以eq \f(1＋6tan α＋9tan2α,1＋tan2α)＝10，所以tan α＝3，故选C.
6．(2020·惠州模拟)已知tan α＝eq \f(1,2)，且α∈(π，eq \f(3π,2))，则cs(α－eq \f(π,2))＝________．
解析：由α∈(π，eq \f(3π,2))知α为第三象限角，联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan α＝\f(sin α,cs α)＝\f(1,2)，
sin2α＋cs2α＝1，))得5sin2α＝1，故sin α＝－eq \f(\r(5),5).
答案：－eq \f(\r(5),5)
7．若|sin θ|＋|cs θ|＝eq \f(2\r(3),3)，则sin4θ＋cs4θ＝________．
解析：|sin θ|＋|cs θ|＝eq \f(2\r(3),3)，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝eq \f(4,3)，所以|sin 2θ|＝eq \f(1,3)，所以sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ＝1－2sin2θcs2θ＝1－eq \f(1,2)sin2 2θ＝1－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(17,18).
答案：eq \f(17,18)
8．若eq \f(1＋cs α,sin α)＝3，则cs α－2sin α＝________．
解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cs α>0，即cs α＝3sin α－1，则cs2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝eq \f(3,5)，所以cs α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－eq \f(2,5).
答案：－eq \f(2,5)
9．已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).
(1)化简f(α)；
(2)若cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)
＝eq \f(（－cs α）·sin α·（－tan α）,（－tan α）·sin α)＝－cs α.
(2)因为cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，
所以－sin α＝eq \f(1,5)，
从而sin α＝－eq \f(1,5).
又α为第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
10．是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β，①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β，②))
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2.
所以sin2α＝eq \f(1,2)，所以sin α＝±eq \f(\r(2),2).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝±eq \f(π,4).
当α＝eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)，此时①式成立；
当α＝－eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，
所以β＝eq \f(π,6)，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．
[综合题组练]
1．已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cs θ，sin θ)，B(2cs θ＋sin θ，5cs θ－sin θ)，则直线AB的斜率为( )
A．3 B．－4
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,4)
解析：选D.由题意知tan θ＝3，kAB＝eq \f(5cs θ－sin θ－sin θ,2cs θ＋sin θ－cs θ)＝eq \f(5－2tan θ,1＋tan θ)＝－eq \f(1,4).故选D.
2．A＝{sin α，cs α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cs α，0}，且A＝B，则sin2 019α＋cs2 018α＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选C.当sin α＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cs α＝0时，A＝{sin α，0，1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时sin2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cs2 018α＝－1.
3．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \f(12,sin θ)＋eq \f(12,cs θ)＝35，则tan θ＝________．
解析：依题意得12(sin θ＋cs θ)＝35sin θcs θ，令sin θ＋cs θ＝t，因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以t>0，则原式化为12t＝35·eq \f(t2－1,2)，解得t＝eq \f(7,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＝－\f(5,7)舍去))，故sin θ＋cs θ＝eq \f(7,5)，则sin θcs θ＝eq \f(12,25)，即eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(12,25)，即eq \f(tan θ,1＋tan2θ)＝eq \f(12,25)，12tan2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝eq \f(3,4)或eq \f(4,3).
答案：eq \f(3,4)或eq \f(4,3)
4．(2020·襄阳模拟)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝2，则
eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6))))＝________．
解析：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6))))
＝eq \f(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))))
＝－eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋1,tan（α＋\f(π,3)）－1)，
把tan(α＋eq \f(π,3))＝2代入得，原式＝－eq \f(2＋1,2－1)＝－3.
答案：－3
5．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))
＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ.
由条件知sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
故eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知，得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
sin θcs θ＝eq \f(m,2)，
又1＋2sin θcs θ＝(sin θ＋cs θ)2，可得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θcs θ＝\f(\r(3),4)，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
又θ∈(0，2π)，故θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(π,6).
6．在△ABC中，
(1)求证：cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2 eq \f(C,2)＝1；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
求证：△ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)，
所以cseq \f(A＋B,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sin eq \f(C,2)，
所以cs2eq \f(A＋ B,2)＋cs2eq \f(C,2)＝1.
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cs B)tan C＜0，即sin Acs Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＜0，,tan C＞0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＞0，,tan C＜0，))
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限