2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第6讲　第2课时　正、余弦定理的综合问题学案

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与三角形面积有关的问题(多维探究)
角度一 计算三角形的面积
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为 ．
(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝eq \r(3)ab，且acsin B＝2eq \r(3)sin C，则△ABC的面积为 ．
【解析】 (1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).
(2)因为a2＋b2－c2＝eq \r(3)ab，所以由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3)ab,2ab)＝eq \f(\r(3),2)，又0＜C＜π，所以C＝eq \f(π,6).因为acsin B＝2eq \r(3)sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2eq \r(3)c，所以ab＝2eq \r(3).故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)sineq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).
【答案】 (1)6eq \r(3) (2)eq \f(\r(3),2)
eq \a\vs4\al()
求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
角度二 已知三角形的面积解三角形
(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cs C＝ccs A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3eq \r(2)，则ab＝ ，a＋b＝ ．
【解析】 因为(3b－a)cs C＝ccs A，所以利用正弦定理可得3sin Bcs C＝sin Acs C＋sin Ccs A＝sin(A＋C)＝sinB．又因为sin B≠0，所以cs C＝eq \f(1,3)，则C为锐角，所以sin C＝eq \f(2\r(2),3).由△ABC的面积为3eq \r(2)，可得eq \f(1,2)absin C＝3eq \r(2)，所以ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcs C，所以(a＋b)2＝eq \f(11,3)ab＝33，所以a＋b＝eq \r(33).
【答案】 9 eq \r(33)
eq \a\vs4\al()
已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．
1．(2020·济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝eq \r(5)，BC＝eq \r(10)，cs A＝eq \f(2\r(5),5)，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(5,2) B．5
C．10 D．eq \f(\r(10),2)
解析：选A.由AC＝eq \r(5)，BC＝eq \r(10)，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcs A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(5),5)，故S△ABC＝eq \f(1,2)×5×eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(5,2).选A.
2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csineq \f(B＋C,2).
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为eq \r(3)，周长为8，求a.
解：(1)由题设得asin C＝ccseq \f(A,2)，
由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccseq \f(A,2)，
所以sin A＝cs eq \f(A,2)，
所以2sineq \f(A,2)cseq \f(A,2)＝cseq \f(A,2)，所以sineq \f(A,2)＝eq \f(1,2)，
所以A＝60°.
(2)由题设得eq \f(1,2)bcsin A＝eq \r(3)，从而bc＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得a2＝(b＋c)2－12.
又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝eq \f(13,4).
三角形面积或周长的最值(范围)问题(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asineq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解】 (1)由题设及正弦定理得sin Asineq \f(A＋C,2)＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sineq \f(A＋C,2)＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sineq \f(A＋C,2)＝cseq \f(B,2)，故cseq \f(B,2)＝2sineq \f(B,2)cseq \f(B,2).
因为cseq \f(B,2)≠0，故sineq \f(B,2)＝eq \f(1,2)，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝eq \f(\r(3),4)a.
由正弦定理得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(sin（120°－C）,sin C)＝eq \f(\r(3),2tan C)＋eq \f(1,2).
由于△ABC为锐角三角形，故0°由(1)知A＋C＝120°，
所以30°因此，△ABC面积的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2))).
eq \a\vs4\al()
求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题
在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．
(一题多解)(2020·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝eq \f(\r(3),2).
(1)求△ABC外接圆的直径；
(2)求a＋c的取值范围．
解：(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，
又因为A＋B＋C＝π，所以B＝eq \f(π,3).
根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(\f(\r(3),2),sin\f(π,3))＝1.
(2)法一：由B＝eq \f(π,3)，知A＋C＝eq \f(2π,3)，可得0＜A＜eq \f(2π,3).
由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝1，
所以a＋c＝sin A＋sin C
＝sin A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin A＋\f(1,2)cs A))
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6))).
因为0＜A＜eq \f(2π,3)，所以eq \f(π,6)＜A＋eq \f(π,6)＜eq \f(5π,6).
所以eq \f(1,2)＜sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))≤1，
从而eq \f(\r(3),2)＜eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))≤eq \r(3)，
所以a＋c的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\r(3))).
法二：由(1)知，B＝eq \f(π,3)，
b2＝a2＋c2－2accs B＝(a＋c)2－3ac
≥(a＋c)2－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，因为b＝eq \f(\r(3),2)，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤eq \r(3)，
又三角形两边之和大于第三边，所以eq \f(\r(3),2)＜a＋c≤eq \r(3)，
所以a＋c的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\r(3))).
解三角形与三角函数的综合应用(师生共研)
(2020·湖南省五市十校联考)已知向量m＝(cs x，sin x)，n＝(cs x，eq \r(3)cs x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋eq \f(1,2).
(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；
(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2eq \r(2)，△ABC的面积为eq \f(1,2)，求a的值．
【解】 (1)由题意知，f(x)＝cs2x＋eq \r(3)sin xcs x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1.
令2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，解得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))，k∈Z.
(2)因为f(A)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＋1＝2，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＝1.
因为0＜A＜π，所以eq \f(π,6)＜2A＋eq \f(π,6)＜eq \f(13π,6)，所以2A＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即A＝eq \f(π,6).
由△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)，得bc＝2，
又b＋c＝2eq \r(2)，所以a2＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－2bc(1＋cs A)，
解得a＝eq \r(3)－1.
eq \a\vs4\al()
标注条件，合理建模
解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．
△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccs B.
(1)求角C的大小；
(2)求eq \r(3)cs A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．
解：(1)法一：在△ABC中，由正弦定理可知sin B＝2sin A－2sin Ccs B，
又A＋B＋C＝π，
则sin A＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)，于是有sin B＝2sin(B＋C)－2sin Ccs B＝2sin Bcs C＋2cs Bsin C－2sin Ccs B，
整理得sin B＝2sin Bcs C，又sin B≠0，
则cs C＝eq \f(1,2)，
因为0法二：由题可得b＝2a－2c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
整理得a2＋b2－c2＝ab，
即cs C＝eq \f(1,2)，
因为0(2)由(1)知C＝eq \f(π,3)，则B＋eq \f(π,3)＝π－A，
于是eq \r(3)cs A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＝eq \r(3)cs A＋sin(π－A)＝eq \r(3)cs A＋sin A＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))，
因为A＝eq \f(2π,3)－B，所以0所以eq \f(π,3)故当A＝eq \f(π,6)时，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))的最大值为2，此时B＝eq \f(π,2).
[基础题组练]
1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝eq \r(7)，c＝4，cs A＝eq \f(\r(7),4)，则△ABC的面积等于( )
A．3eq \r(7) B.eq \f(3\r(7),2)
C．9 D．eq \f(9,2)
解析：选B.因为cs A＝eq \f(\r(7),4)，则sin A＝eq \f(3,4)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×bcsin A＝eq \f(3\r(7),2)，故选B.
2．在△ABC中，已知C＝eq \f(π,3)，b＝4，△ABC的面积为2eq \r(3)，则c＝( )
A．2eq \r(7) B.eq \r(7)
C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
解析：选D.由S＝eq \f(1,2)absin C＝2a×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝12，故c＝2eq \r(3).
3．(2020·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶eq \r(3)，c＝2cs C＝eq \r(3)，则△ABC的周长为( )
A．3＋3eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．3＋2eq \r(3) D．3＋eq \r(3)
解析：选C.因为sin A∶sin B＝1∶eq \r(3)，所以b＝eq \r(3)a，
由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋（\r(3)a）2－c2,2a×\r(3)a)＝eq \f(\r(3),2)，
又c＝eq \r(3)，所以a＝eq \r(3)，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2eq \r(3)，故选C.
4．(2020·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝eq \r(5)，△ABC的面积S＝eq \f(\r(5),2)cs A，则a＝( )
A．1 B.eq \r(5)
C.eq \r(13) D．eq \r(17)
解析：选A.因为b＝2，c＝eq \r(5)，S＝eq \f(\r(5),2)cs A＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \r(5)sin A，所以sin A＝eq \f(1,2)cs A.
所以sin2A＋cs2A＝eq \f(1,4)cs2A＋cs2A＝eq \f(5,4)cs2A＝1.易得cs A＝eq \f(2\r(5),5).
所以a2＝b2＋c2－2bccs A＝4＋5－2×2×eq \r(5)×eq \f(2\r(5),5)＝9－8＝1，所以a＝1.故选A.
5．(2020·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4eq \r(3)，且2bcs A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为( )
A．10 B．12
C．8＋eq \r(3) D．8＋2eq \r(3)
解析：选B.因为△ABC的面积为4eq \r(3)，所以eq \f(1,2)acsin B＝4eq \r(3).因为2bcs A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcs A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcs A＋sin A＝2sin Acs B＋2cs Asin B，所以sin A＝2cs B·sin A，因为sin A≠0，所以cs B＝eq \f(1,2)，因为0＜B＜π，所以B＝eq \f(π,3)，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.
6．在△ABC中，A＝eq \f(π,4)，b2sin C＝4eq \r(2)sin B，则△ABC的面积为 ．
解析：因为b2sin C＝4eq \r(2)sin B，
所以b2c＝4eq \r(2)b，所以bc＝4eq \r(2)，
S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.
答案：2
7．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，b＝4，a＝2eq \r(3)，则B＝ ，△ABC的面积等于 ．
解析：△ABC中，由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4×sin\f(π,3),2\r(3))＝1.又B为三角形的内角，所以B＝eq \f(π,2)，所以c＝eq \r(b2－a2)＝eq \r(42－（2\r(3)）2)＝2，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).
答案：eq \f(π,2) 2eq \r(3)
8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(5c,2b)，sin B＝eq \f(\r(7),4)，S△ABC＝eq \f(5\r(7),4)，则b的值为 ．
解析：由eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(5c,2b)⇒eq \f(a,b)＝eq \f(5c,2b)⇒a＝eq \f(5,2)c，①
由S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(5\r(7),4)且sin B＝eq \f(\r(7),4)得eq \f(1,2)ac＝5，②
联立①，②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝eq \f(\r(7),4)且B为锐角知cs B＝eq \f(3,4)，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×eq \f(3,4)＝14，b＝eq \r(14).
答案：eq \r(14)
9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝eq \f(3,7)a.
(1)求sin C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积．
解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝eq \f(3,7)a，
所以由正弦定理得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(3,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14).
(2)因为a＝7，所以c＝eq \f(3,7)×7＝3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A得72＝b2＋32－2b×3×eq \f(1,2)，
解得b＝8或b＝－5(舍)．
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×8×3×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3).
10．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq \r(3)acs C＝(2b－eq \r(3)c)cs A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，eq \r(3)sin Acs C＝2sin Bcs A－eq \r(3)sin Ccs A，
从而eq \r(3)sin(A＋C)＝2sin Bcs A，
即eq \r(3)sin B＝2sin Bcs A.
又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cs A＝eq \f(\r(3),2)，
又A为三角形的内角，所以A＝eq \f(π,6).
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得4＝b2＋c2－2bc×eq \f(\r(3),2)≥2bc－eq \r(3)bc，
所以bc≤4(2＋eq \r(3))，所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A≤2＋eq \r(3)，故△ABC面积的最大值为2＋eq \r(3).
[综合题组练]
1．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6)
C.eq \r(7) D．2eq \r(2)
解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs∠BAC＝7，所以BC＝eq \r(7).故选C.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，eq \f(asin A＋bsin B－csin C,sin Bsin C)＝eq \f(2\r(3),3)a，a＝2eq \r(3).若b∈[1，3]，则c的最小值为 ．
解析：由eq \f(asin A＋bsin B－csin C,sin Bsin C)＝eq \f(2\r(3),3)a，得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),3)sin C．由余弦定理可知cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，即3cs C＝eq \r(3)sin C，所以tan C＝eq \r(3)，故cs C＝eq \f(1,2)，所以c2＝b2－2eq \r(3)b＋12＝(b－eq \r(3))2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝eq \r(3)时，c取最小值3.
答案：3
3．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)accs B，且sin A＝3sin C.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
解：(1)因为S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),2)accs B，
所以tan B＝eq \r(3).
又0＜B＜π，所以B＝eq \f(π,3).
(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cs 60°＝28，所以b＝2eq \r(7).
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(（2\r(7)）2＋22－62,2×2×2\r(7))＝－eq \f(\r(7),14).
因为D是AC的中点，所以AD＝eq \r(7).
所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcs A＝22＋(eq \r(7))2－2×2×eq \r(7)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),14)))＝13.
所以BD＝eq \r(13).
4．(2020·原创题)在△ABC中，sin A∶cs B∶tan A＝12∶16∶15.
(1)求sin C；
(2)若AB＝8，点D为△ABC外接圆上的动点，求eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值．
解：(1)由sin A∶tan A＝12∶15，得cs A＝eq \f(4,5)，故sin A＝eq \f(3,5)，所以由sin A∶cs B＝12∶16，得cs B＝eq \f(4,5)，故sin B＝eq \f(3,5)，于是sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(24,25).
(2)在△ABC中，由eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)，解得AC＝5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，可知∠ADC＝∠ABC时eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))取得最大值，
设DA＝m，DC＝n，在△DAC中，由余弦定理的推论得cs∠ADC＝eq \f(m2＋n2－52,2mn)＝eq \f(4,5)，
故eq \f(8,5)mn＝m2＋n2－25≥2mn－25，
解得mn≤eq \f(125,2)，
故eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)mn≤eq \f(4,5)×eq \f(125,2)＝50，
当且仅当m＝n＝eq \f(5\r(10),2)时，等号成立，
故eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为50.