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2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与一次函综合问题（六）
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这是一份2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与一次函综合问题（六），共13页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图所示，反比例函数 y1=mxx>0 和一次函数 y2=kx+b 的图象都经过点 A1,4 和点 Bn,2．
（1）m= ，n= ；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出 y1（3）若点 P 是反比例函数 y1=mxx>0 的图象上一点，过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，则 △POM 的面积为 ．
2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A1,2，B4,2，以点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将线段 AB 放大得到线段 CD，已知点 B 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上．
（1）求反比例函数的解析式，并画出图象．
（2）判断点 C 是否在此函数图象上．
（3）点 M 为直线 CD 上一动点，过 M 作 x 轴的垂线，与反比例函数的图象交于点 N，若 MN≥AB，直接写出点 M 横坐标 m 的取值范围．
3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=kxx<0 的图象经过点 A−1,6，直线 y=mx−2 与 x 轴交于点 B−1,0．
（1）求 k，m 的值；
（2）过第二象限的点 Pn,−2n 作平行于 x 轴的直线，交直线 y=mx−2 于点 C，交函数 y=kxx<0 的图象于点 D．
①当 n=−1 时，判断线段 PD 与 PC 的数量关系，并说明理由；
②若 PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围．
4. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于 A1,3 和 B−3,n 两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）连接 OA，OB，求 △OAB 的面积．
5. 如图，一次函数 y=kx+2 的图象与反比例函数 y=4x 的图象交于点 A1,m，与 x 轴交于点 B．
（1）求一次函数的解析式和点 B 的坐标．
（2）点 C 在 x 轴上，连接 AC 交反比例函数 y=4x 的图象于点 P，且点 P 恰为线段 AC 的中点．请直接写出点 P 和点 C 的坐标．
6. 如图，直线 y=12x 与双曲线 y=kxk>0,x>0 交于点 A，将直线 y=12x 向上平移 4 个单位长度后，与 y 轴交于点 C，与双曲线 y=kxk>0,x>0 交于点 B．若 xA=3xB，求 k 的值．
7. 如图，双曲线 y1=k1x 与直线 y2=k2x+b 相交于 A1,m+2 ， B4,m−1 ，点 P 是 x 轴上一动点．
（1）当 y1>y2 时，直接写出 x 的取值范围；
（2）求双曲线 y1=k1x 与直线 y2=k2x+b 的解析式；
（3）当 △PAB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标．
8. 如图，直线 y=kx+b 与 x 轴交于点 A4,0，与 y 轴交于点 B0,−2，与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 Cm,1．
（1）求直线和反比例函数的表达式．
（2）结合图象，请直接写出不等式 kx≥ax+b 的解集．
（3）连接 OC，在 x 轴上找一点 P，使 △OPC 是以 OC 为腰的等腰三角形，请求出点 P 的坐标．
9. 如图，直线 y=ax+b 与 x 轴交于点 A4,0，与 y 轴交于点 B0,−2，与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 Cm,1．
（1）求直线和反比例函数的表达式．
（2）结合图象，请直接写出不等式 kx≥ax+b 的解集
（3）连接 OC，在 x 轴上找一点 P，使 △OPC 是以 C 为腰的等腰三角形，请求出点 P 的坐标．
10. 如图，直线 y=kx+bk≠0 与双曲线 y=mxm≠0 在第一象限交于点 A，B，且该直线与 x 轴正半轴交于点 C，过 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 E，D．已知 A4,1．
（1）求双曲线的表达式
（2）若 CD=4CE．求 k，b 的值；
（3）在（2）的条件下，若点 M 为直线 AB 上的动点，则 OM 长度的最小值为 ．
答案
第一部分
1. （1） 4；2
【解析】∵ 把 A1,4 代入 y1=mxx>0，得 m=1×4=4，
∴y1=4x，
把 Bn,2 代入 y1=4x，得 2=4n，解得 n=2．
（2） 由图象可知 y1 （3） 2
【解析】∵ 点 P 是反比例函数 y1=mxx>0 的图象上一点，且 PM⊥x 轴，
∴S△POM=12∣m∣=12×4=2．
2. （1） ∵ 点 B4,2 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴k=4×2=8，
∴ 反比例函数的解析式为 y=8x，
反比例函数 y=8x 经过 1,8，2,4，4,2，8,1 等点，描点用平滑的曲线连接各点，即可得到函数图象，如图所示：
（2） 以 O 为位似中心，相似比为 2，将线段 AB 放大得到线段 CD，如图所示，
则 C 点坐标为 2,4，
∵2×4=8，
∴ 点 C2,4 在反比例函数 y=8x 的图象上．
（3） 0【解析】∵ 点 C 的坐标为 2,4，
点 D 的坐标为 8,4，
∴ 直线 CD 即为 y=4，
∵ 点 M 在直线 CD 上，
∴ 设 M 点坐标为 m,4，
∵MN⊥x轴，
∴N 点坐标为 m,8m，
∴MN=8m−4，
∵MN≥AB，AB=3，
∴MN≥3，
∴8m−4≥3，
当 8m−4≥3 时，8m≥7，0当 4−8m≥3 时，8m≤1，m≥8，
∴ 点 M 横坐标 m 的取值范围是 03. （1） ∵ 函数 y=kxx<0 的图象经过点 A−1,6，
∴k=−6，
∵ 直线 y=mx−2 与 x 轴交于点 B−1,0，
∴m=−2．
（2） ① PD=2PC．理由如下：
当 n=−1 时，点 P 的坐标为 −1,2，
∴ 点 C 的坐标为 −2,2，点 D 的坐标为 −3,2，
∴PC=1，PD=2，
∴PD=2PC．
② −1≤n<0 或 n≤−3．
【解析】②提示：由题意可知，PC 恒为 1，当 PD=2PC 时，n=−1或−3，
∴ 当 PD≥2PC 时，−1≤n<0 或 n≤−3．
4. （1） ∵ 把 A1,3 代入 y=kx 得：k=3，
∴ 反比例函数的解析式是 y=3x，
∵ 把 B−3,n 代入 y=3x 得：n=3−3=−1，
∴B 的坐标是 −3,−1，
∵ 把 A，B 坐标代入 y=mx+b 得：3=m+b,−1=−3m+b,
解得 m=1,b=2,
∴ 一次函数的解析式为 y=x+2．
（2） 设直线 AB 交 y 轴于 C，
∵ 把 x=0 代入 y=x+2 得：y=2，
∴OC=2，
∴△AOB 的面积 S=S△AOC+S△BOC=12×2×1+12×3×2=4．
5. （1） A1,m 在 y=4x 的图象上，
∴m=41=4．
∴A 点的坐标为 1,4．
∵A 点在一次函数 y=kx+2 的图象上，
∴4=k+2，
∴k=2．
∴y=2x+2．
令 y=0，即 2x+2=0，解得 x=−1．
∴ 点 B 的坐标为 −1,0．
（2） 点 P 的坐标为 2,2；点 C 的坐标为 3,0．
6. ∵ 将直线 y=12x 向上平移 4 个单位长度后，与 y 轴交于点 C，
∴ 平移后直线的函数表达式为 y=12x+4．设 A3x,32x，
∵xA=3xB，点 B 在直线 y=12x+4 上，
∴Bx,12x+4．
∵ 点 A，B 在双曲线 y=kx 上，
∴3x⋅32x=x⋅12x+4，
解得 x=1，
∴k=3×1×32×1=92．
7. （1） 04 ．
（2） 由题意可得 1×m+2=k1,4m−1=k1,
解得 m=2,k1=4.
∴A1,4 ， B4,1 ，
∴k2+b=4,4k2+b=1, 解得 b=5,k2=−1.
∴ 双曲线 y=4x ，直线 y=−x+5 ．
（3） 设点 Pa,0 ，则 PA2=a−12+42 ， AB2=18 ， PB2=a−42+12 ．
①当 PA=PB 时， a−12+42=a−42+12 ，
解得 a=0 ，
∴P10,0 ．
②当 PA=AB 时， a−12+42=18 ，
解得 a1=2+1 ， a2=−2+1 ，
∴P22+1,0 ， P3−2+1,0 ．
③当 PA=AB 时， a−42+12=18 ，
解得 a3=17+4 ， a4=−17+4 ，
∴P417+4,0 ， P5−17+4,0 ．
综上述， P10,0 ， P22+1,0 ， P3−2+1,0 ， P417+4,0 ， P5−17+4,0 ．
8. （1） 将 A4,0，B0,−2 代入 y=ax+b，得：
4a+b=0,b=−2, 解得：a=12,b=−2,
∴ 直线 AB 的函数表达式为 y=12x−2．
把 Cm,1，代入 y=12x−2 中，
得 12m−2=1，
m=6，
∴C6,1，
把 C6,1 代入 y=kx 中，得 k=6×1=6，
∴ 反比例函数解析式 y=6x．
（2） 观察图象可知 kx≥ax+b 的解集为 0 （3） 过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为 D 点，
则 OD=6，CD=1，
∴OC=OD2+CD2=37，
∵OC 为腰，
∴ 分两种情况考虑，如图所示：
①当 OP=OC 时，
∵OC=37，
∴OP=37，
∴ 点 P1 的坐标为 37,0，点 P237,0，的坐标为 −37,0，
②当 CO=CP 时，DP=DO=6，
∴OP=2OD=12，
∴ 点 P3 的坐标为 12,0．
综上 P 坐标为 37,0 或 −37,0 或 12,0．
9. （1） 将 A4,0，B0,−2 代入 y=ax+b，
得：4a+b=0,b=−2, 解得：a=12,b=−2,
∴ 直线 AB 的函数表达式为 y=12x−2，
当 y=1 时，12m−2=1，
∴ 点 C 的坐标为 6,1，
将 C6,1 代入 y=kx，得：1=k6，解得：k=6，
∴ 反比例函数的表达式为 y=6x．
（2） 0【解析】观察函数图象，可知：
当 0 ∴ 不等式 kx≥ax+b 的解集为 0 （3） 过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为 D 点，则 OD=6，CD=1，
∴OC=OD2+CD2=37，
∵OC 为腰，
∴ 分两种情况考虑，如图所示：
①当 OP=OC 时，
∵OC=37，
∴OP=37，
∴ 点 P1 的坐标为 37,0，点 P2 的坐标为 −37,0；
②当 CO=CP 时，DP=DO=6，
∴OP=2OD=12，
∴ 点 P3 的坐标为 12,0．
10. （1） 把 A4,1 代入双曲线 y=mx 中，得 m=4，
∴ 双曲线的表达式为 y=4x．
（2） ∵AE⊥x 轴，BD⊥x 轴，
∴AE∥BD，
∴△ACD∽△BCD，
∴AEBD=CECD，
∵CD=4CE，AE=1，
∴BD=4，
把 y=4 代入 y=4x 中得，x=1，
∴B1,4，
把 A4,1 和 B1,4 代入直线 y=kx+bk≠0 中，得 4k+b=1,k+b=4,
解得，k=−1,b=5.
（3） 522
【解析】由（2）知，直线 AB 的解析式是 y=−x+5，
令 x=0，得 y=−x+5=5，
∴F0,5，
∴OF=5，
令 y=0，得 y=−x+5=0，
解得，x=5，
∴C5,0，
∴OC=5，
∴OC=OF，CF=52，
当 OM⊥AB 于点 M 时，OM 的值最小，
此时，CM=FM，
∵∠COF=90∘，
∴OM=12CF=522．
一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图所示，反比例函数 y1=mxx>0 和一次函数 y2=kx+b 的图象都经过点 A1,4 和点 Bn,2．
（1）m= ，n= ；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出 y1
2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A1,2，B4,2，以点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将线段 AB 放大得到线段 CD，已知点 B 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上．
（1）求反比例函数的解析式，并画出图象．
（2）判断点 C 是否在此函数图象上．
（3）点 M 为直线 CD 上一动点，过 M 作 x 轴的垂线，与反比例函数的图象交于点 N，若 MN≥AB，直接写出点 M 横坐标 m 的取值范围．
3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=kxx<0 的图象经过点 A−1,6，直线 y=mx−2 与 x 轴交于点 B−1,0．
（1）求 k，m 的值；
（2）过第二象限的点 Pn,−2n 作平行于 x 轴的直线，交直线 y=mx−2 于点 C，交函数 y=kxx<0 的图象于点 D．
①当 n=−1 时，判断线段 PD 与 PC 的数量关系，并说明理由；
②若 PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围．
4. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于 A1,3 和 B−3,n 两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）连接 OA，OB，求 △OAB 的面积．
5. 如图，一次函数 y=kx+2 的图象与反比例函数 y=4x 的图象交于点 A1,m，与 x 轴交于点 B．
（1）求一次函数的解析式和点 B 的坐标．
（2）点 C 在 x 轴上，连接 AC 交反比例函数 y=4x 的图象于点 P，且点 P 恰为线段 AC 的中点．请直接写出点 P 和点 C 的坐标．
6. 如图，直线 y=12x 与双曲线 y=kxk>0,x>0 交于点 A，将直线 y=12x 向上平移 4 个单位长度后，与 y 轴交于点 C，与双曲线 y=kxk>0,x>0 交于点 B．若 xA=3xB，求 k 的值．
7. 如图，双曲线 y1=k1x 与直线 y2=k2x+b 相交于 A1,m+2 ， B4,m−1 ，点 P 是 x 轴上一动点．
（1）当 y1>y2 时，直接写出 x 的取值范围；
（2）求双曲线 y1=k1x 与直线 y2=k2x+b 的解析式；
（3）当 △PAB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标．
8. 如图，直线 y=kx+b 与 x 轴交于点 A4,0，与 y 轴交于点 B0,−2，与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 Cm,1．
（1）求直线和反比例函数的表达式．
（2）结合图象，请直接写出不等式 kx≥ax+b 的解集．
（3）连接 OC，在 x 轴上找一点 P，使 △OPC 是以 OC 为腰的等腰三角形，请求出点 P 的坐标．
9. 如图，直线 y=ax+b 与 x 轴交于点 A4,0，与 y 轴交于点 B0,−2，与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 Cm,1．
（1）求直线和反比例函数的表达式．
（2）结合图象，请直接写出不等式 kx≥ax+b 的解集
（3）连接 OC，在 x 轴上找一点 P，使 △OPC 是以 C 为腰的等腰三角形，请求出点 P 的坐标．
10. 如图，直线 y=kx+bk≠0 与双曲线 y=mxm≠0 在第一象限交于点 A，B，且该直线与 x 轴正半轴交于点 C，过 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 E，D．已知 A4,1．
（1）求双曲线的表达式
（2）若 CD=4CE．求 k，b 的值；
（3）在（2）的条件下，若点 M 为直线 AB 上的动点，则 OM 长度的最小值为 ．
答案
第一部分
1. （1） 4；2
【解析】∵ 把 A1,4 代入 y1=mxx>0，得 m=1×4=4，
∴y1=4x，
把 Bn,2 代入 y1=4x，得 2=4n，解得 n=2．
（2） 由图象可知 y1
【解析】∵ 点 P 是反比例函数 y1=mxx>0 的图象上一点，且 PM⊥x 轴，
∴S△POM=12∣m∣=12×4=2．
2. （1） ∵ 点 B4,2 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴k=4×2=8，
∴ 反比例函数的解析式为 y=8x，
反比例函数 y=8x 经过 1,8，2,4，4,2，8,1 等点，描点用平滑的曲线连接各点，即可得到函数图象，如图所示：
（2） 以 O 为位似中心，相似比为 2，将线段 AB 放大得到线段 CD，如图所示，
则 C 点坐标为 2,4，
∵2×4=8，
∴ 点 C2,4 在反比例函数 y=8x 的图象上．
（3） 0
点 D 的坐标为 8,4，
∴ 直线 CD 即为 y=4，
∵ 点 M 在直线 CD 上，
∴ 设 M 点坐标为 m,4，
∵MN⊥x轴，
∴N 点坐标为 m,8m，
∴MN=8m−4，
∵MN≥AB，AB=3，
∴MN≥3，
∴8m−4≥3，
当 8m−4≥3 时，8m≥7，0
∴ 点 M 横坐标 m 的取值范围是 0
∴k=−6，
∵ 直线 y=mx−2 与 x 轴交于点 B−1,0，
∴m=−2．
（2） ① PD=2PC．理由如下：
当 n=−1 时，点 P 的坐标为 −1,2，
∴ 点 C 的坐标为 −2,2，点 D 的坐标为 −3,2，
∴PC=1，PD=2，
∴PD=2PC．
② −1≤n<0 或 n≤−3．
【解析】②提示：由题意可知，PC 恒为 1，当 PD=2PC 时，n=−1或−3，
∴ 当 PD≥2PC 时，−1≤n<0 或 n≤−3．
4. （1） ∵ 把 A1,3 代入 y=kx 得：k=3，
∴ 反比例函数的解析式是 y=3x，
∵ 把 B−3,n 代入 y=3x 得：n=3−3=−1，
∴B 的坐标是 −3,−1，
∵ 把 A，B 坐标代入 y=mx+b 得：3=m+b,−1=−3m+b,
解得 m=1,b=2,
∴ 一次函数的解析式为 y=x+2．
（2） 设直线 AB 交 y 轴于 C，
∵ 把 x=0 代入 y=x+2 得：y=2，
∴OC=2，
∴△AOB 的面积 S=S△AOC+S△BOC=12×2×1+12×3×2=4．
5. （1） A1,m 在 y=4x 的图象上，
∴m=41=4．
∴A 点的坐标为 1,4．
∵A 点在一次函数 y=kx+2 的图象上，
∴4=k+2，
∴k=2．
∴y=2x+2．
令 y=0，即 2x+2=0，解得 x=−1．
∴ 点 B 的坐标为 −1,0．
（2） 点 P 的坐标为 2,2；点 C 的坐标为 3,0．
6. ∵ 将直线 y=12x 向上平移 4 个单位长度后，与 y 轴交于点 C，
∴ 平移后直线的函数表达式为 y=12x+4．设 A3x,32x，
∵xA=3xB，点 B 在直线 y=12x+4 上，
∴Bx,12x+4．
∵ 点 A，B 在双曲线 y=kx 上，
∴3x⋅32x=x⋅12x+4，
解得 x=1，
∴k=3×1×32×1=92．
7. （1） 0
（2） 由题意可得 1×m+2=k1,4m−1=k1,
解得 m=2,k1=4.
∴A1,4 ， B4,1 ，
∴k2+b=4,4k2+b=1, 解得 b=5,k2=−1.
∴ 双曲线 y=4x ，直线 y=−x+5 ．
（3） 设点 Pa,0 ，则 PA2=a−12+42 ， AB2=18 ， PB2=a−42+12 ．
①当 PA=PB 时， a−12+42=a−42+12 ，
解得 a=0 ，
∴P10,0 ．
②当 PA=AB 时， a−12+42=18 ，
解得 a1=2+1 ， a2=−2+1 ，
∴P22+1,0 ， P3−2+1,0 ．
③当 PA=AB 时， a−42+12=18 ，
解得 a3=17+4 ， a4=−17+4 ，
∴P417+4,0 ， P5−17+4,0 ．
综上述， P10,0 ， P22+1,0 ， P3−2+1,0 ， P417+4,0 ， P5−17+4,0 ．
8. （1） 将 A4,0，B0,−2 代入 y=ax+b，得：
4a+b=0,b=−2, 解得：a=12,b=−2,
∴ 直线 AB 的函数表达式为 y=12x−2．
把 Cm,1，代入 y=12x−2 中，
得 12m−2=1，
m=6，
∴C6,1，
把 C6,1 代入 y=kx 中，得 k=6×1=6，
∴ 反比例函数解析式 y=6x．
（2） 观察图象可知 kx≥ax+b 的解集为 0
则 OD=6，CD=1，
∴OC=OD2+CD2=37，
∵OC 为腰，
∴ 分两种情况考虑，如图所示：
①当 OP=OC 时，
∵OC=37，
∴OP=37，
∴ 点 P1 的坐标为 37,0，点 P237,0，的坐标为 −37,0，
②当 CO=CP 时，DP=DO=6，
∴OP=2OD=12，
∴ 点 P3 的坐标为 12,0．
综上 P 坐标为 37,0 或 −37,0 或 12,0．
9. （1） 将 A4,0，B0,−2 代入 y=ax+b，
得：4a+b=0,b=−2, 解得：a=12,b=−2,
∴ 直线 AB 的函数表达式为 y=12x−2，
当 y=1 时，12m−2=1，
∴ 点 C 的坐标为 6,1，
将 C6,1 代入 y=kx，得：1=k6，解得：k=6，
∴ 反比例函数的表达式为 y=6x．
（2） 0
当 0
∴OC=OD2+CD2=37，
∵OC 为腰，
∴ 分两种情况考虑，如图所示：
①当 OP=OC 时，
∵OC=37，
∴OP=37，
∴ 点 P1 的坐标为 37,0，点 P2 的坐标为 −37,0；
②当 CO=CP 时，DP=DO=6，
∴OP=2OD=12，
∴ 点 P3 的坐标为 12,0．
10. （1） 把 A4,1 代入双曲线 y=mx 中，得 m=4，
∴ 双曲线的表达式为 y=4x．
（2） ∵AE⊥x 轴，BD⊥x 轴，
∴AE∥BD，
∴△ACD∽△BCD，
∴AEBD=CECD，
∵CD=4CE，AE=1，
∴BD=4，
把 y=4 代入 y=4x 中得，x=1，
∴B1,4，
把 A4,1 和 B1,4 代入直线 y=kx+bk≠0 中，得 4k+b=1,k+b=4,
解得，k=−1,b=5.
（3） 522
【解析】由（2）知，直线 AB 的解析式是 y=−x+5，
令 x=0，得 y=−x+5=5，
∴F0,5，
∴OF=5，
令 y=0，得 y=−x+5=0，
解得，x=5，
∴C5,0，
∴OC=5，
∴OC=OF，CF=52，
当 OM⊥AB 于点 M 时，OM 的值最小，
此时，CM=FM，
∵∠COF=90∘，
∴OM=12CF=522．
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