2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与一次函综合问题（四）

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一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图所示，已知反比例函数 y=k13x 的图象与一次函数 y=k2x+b 的图象交于 A−1,a，B13,−3 两点．
（1）求 a 的值；
（2）直接写出一次函数值大于反比例函数值时 x 的取值范围．

2. 如图 1，对角线长为 22 的正方形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y=kx 在第一象限的图象经过点 D，交 BC 于点 E．
（1）当点 E 的坐标为 a,23 时，求 a 的值和反比例函数的解析式；
（2）如图 2，在（1）的条件下，一次函数 y=mx+n 的图象过 D，E 两点，连接 OD，OE，求 △ODE 的面积，并根据图象直接写出当 x>0 时，不等式 mx+n−kx<0 的解集．

3. 如图，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象与反比例函数 y=mx（m≠0，x>0）的图象在第一象限交于点 A，B，且该一次函数的图象与 y 轴正半轴交于点 C，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 D，E．已知 A1,4，CDCE=14．
（1）求 m 的值和一次函数的解析式；
（2）若点 M 为反比例函数图象在 A，B 之间的动点，作射线 OM 交直线 AB 于点 N，当 MN 长度最大时，直接写出点 M 的坐标．

4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x=3 与直线 y=12x+1 交于点 A，函数 y=kxk>0,x>0 的图象与直线 x=3，直线 y=12x+1 分别交于点 B，C．
（1）求点 A 的坐标．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数 y=kxk>0,x>0 的图象在点 B，C 之间的部分与线段 AB，AC 围成的区域（不含边界）为 W．
①当 k=1 时，结合函数图象，求区域 W 内整点的个数；
②若区域 W 内恰有 1 个整点，直接写出 k 的取值范围．

5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x 与函数 y=mxx>0 的图象交于点 A1,2．
（1）求 m 的值；
（2）过点 A 作 x 轴的平行线 l，直线 y=2x+b 与直线 l 交于点 B，与函数 y=mxx>0 的图象交于点 C，与 x 轴交于点 D．
①当点 C 是线段 BD 的中点时，求 b 的值；
②当 BC>BD 时，直接写出 b 的取值范围．

6. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象与 y 轴交于点 B0,1，与反比例函数 y=mxm≠0 的图象交于点 A3,−2．
（1）求反比例函数的表达式和一次函数的表达式；
（2）若点 C 是 y 轴上一点，且 BC=BA，直接写出点 C 的坐标．

7. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=kx 的图象与一次函数 y=2x−1 的图象交于 A，B 两点，已知 Am,−3．
（1）求 k 及点 B 的坐标；
（2）若点 C 是 y 轴上一点，且 S△ABC=5，直接写出点 C 的坐标．

8. 如图所示，一次函数 y=x+5 的图象与反比例函数 y=kx（k 为常数且 k≠0）的图象相交于 A−1,m，B 两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将一次函数 y=x+5 的图象沿 y 轴向下平移 b 个单位 b>0，使平移后的图象与反比例函数 y=kx 的图象有且只有一个交点，求 b 的值．

9. 如图，直线 AD 与 x 轴交于点 C，与双曲线 y=8x 交于点 A，AB⊥x 轴于点 B4,0，点 D 的坐标为 0,−2．
（1）求直线 AD 的解析式；
（2）若 x 轴上存在点 M（不与点 C 重合），使得 △AOC 和 △AOM 相似，求点 M 的坐标．

10. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于 A3,4，Bn,−1．
（1）m= ，n= ，k= ，b= ．
（2）在 x 轴上存在一点 C，使 △AOC 为等腰三角形，求此时点 C 的坐标．
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围．
答案
第一部分
1. （1） 把 B13,−3 代入 y=k13x 中，得 −3=k13×13，
∴k1=−3，
∴y=−33x=−1x．
当 x=−1 时，y=a=−1−1=1．
（2） x<−1 或 02. （1） ∵ 正方形 ABCD 的对角线长为 22，
∴AB=AD=BC=2，
∵ 点 E 的坐标为 a,23，
∴ 点 D 的坐标为 a−2,2，
∵ 点 D 和点 E 都在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴23a=2a−2，
解得 a=3，
∴D1,2，
∴k=1×2=2，
∴ 反比例函数的解析式为 y=2x．
（2） ∵S△ODE=S△OAD+S四边形ABED−S△OBE，S△OAD=S△OBE=∣k∣2，
∴S△ODE=S四边形ABED=12×23+2×2=83，
当 x>0 时，不等式 mx+n−kx<0 的解集为 03．
3. （1） 将点 A4,1 代入 y=mx，得 m=4．
∴ 反比例函数的解析式为 y=4x．
∵BE⊥y轴，AD⊥y轴，
∴∠CEB=∠CDA=90∘．
∴△CDA∽△CEB．
∴CDCE=ADBE．
∵CDCE=14，
∴BE=4AD．
∵A1,4，
∴AD=1，
∴BE=4，
∴xB=4，
∴yB=4xB=1，
∴B4,1．
将 A1,4，B4,1 代入 y=kx+b，
得 k+b=4,4k+b=1. 解得 k=−1,b=5.
∴ 一次函数的解析式为 y=−x+5．
（2） 点 M 的坐标为 2,2．
【解析】∵ 点 A 与点 B 关于直线 y=x 对称，反比例函数 y=−4x 关于直线 y=x 对称，
∴ 当 OM 所在直线的解析式为 y=x 时，MN 的长度最大，
解方程组 y=4x,y=x, 得 x=2,y=2, 或 x=−2,y=−2,舍去
∴ 此时 M 点的坐标为 2,2．
4. （1） 直线 x=3 与直线 y=12x+1 交于点 A，
∴x=3,y=12x+1, 解得 x=3,y=52.
∴A3,52．
（2） ①如图 1 所示，当 k=1 时，
根据题意 B3,13，C−1+3,3+12，
在 W 区域内有 1 个整点：2,1；
② 1≤k<2 或 16【解析】②若区域 W 内恰有 1 个整点，
当 C 点在直线 x=3 的左边时，如图 1，在 W 区域内有 1 个整点：2,1，
∴1≤k<2；
当 C 点在直线 x=3 的右边时，如图 2，在 W 区域内有 1 个整点：4,4，
∴16综上，当区域 W 内恰有 1 个整点时，1≤k<2 或 165. （1） 把 A1,2 代入函数 y=mxx>0 中，
∴2=m1，
∴m=2．
（2） ①过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 E，交 x 轴于点 F．
当点 C 是线段 BD 的中点时，CE=CF=1，
∴ 点 C 的纵坐标为 1，
把 y=1 代入函数 y=2x 中，得 x=2，
∴ 点 C 的坐标为 2,1，
把 C2,1 代入函数 y=2x+b 中，得 b=−3．
② b>3．
【解析】②提示：当 BC=BD 时，点 C 的纵坐标为 4，
代入函数 y=2x 中，得 x=0.5，
∴ 点 C 的坐标为 0.5,4，
把 C0.5,4 代入函数 y=2x+b 中，得 b=3，
结合图象可知当 b>3 时，BC>BD．
6. （1） ∵ 曲线 y=mxm≠0 过点 A3,−2，
∴ 将 A3,−2 代入 y=mxm≠0，
得 −2=m3，
解得 m=−6．
∴ 所求反比例函数的表达式为 y=−6x．
∵ 点 A3,−2，B0,1 在直线 y=kx+bk≠0 上，
∴−2=3k+b,b=1,
∴k=−1,b=1.
∴ 所求一次函数的表达式为 y=−x+1．
（2） 0,32+1 或 0,1−32．
【解析】以点 B 为圆心，BA 为半径画圆，与 y 轴有两个交点，又 BA=32，
∴ 点 C 的坐标为 0,32+1 或 0,1−32．
7. （1） 把 y=−3 代入 y=2x−1，得 x=−1，
∴A−1,−3，
把 y=kx 的图象经过点 A−1,−3 可得 k=3，
由 y=2x−1,y=3x, 解得 x=−1,y=−3 或 x=32,y=2,
∴B32,2．
（2） 0,3 或 0,−5．
【解析】∵A，B 在一次函数 y=2x−1 的图象上，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=2x−1，
∴ 直线 AB 与 y 轴交于点 0,−1，
设点 C 的纵坐标为 y，
当点 C 在 AB 与 y 轴交点上方时，12y+1×32+1=5，解得 y=3；
当点 C 在 AB 与 y 轴交点下方时，12−1−y×32+1=5，解得 y=−5，
∴ 点 C 的坐标为 0,3 或 0,−5．
8. （1） ∵ 一次函数 y=x+5 的图象与反比例函数 y=kx（k 为常数且 k≠0）的图象相交于点 A−1,m，
∴m=4，
∴k=−1×4=−4，
∴ 反比例函数解析式为 y=−4x．
（2） ∵ 一次函数 y=x+5 的图象沿 y 轴向下平移 b 个单位 b>0，
∴y=x+5−b，
∵ 平移后的图象与反比例函数 y=kx 的图象有且只有一个交点，
∴x+5−b=−4x，
∴x2+5−bx+4=0，
∴Δ=5−b2−16=0，解得 b=9 或 1．
9. （1） 把 x=4 代入 y=8x 得到 y=2，
∴A4,2．
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，
则有 4k+b=2,b=−2, 解得 k=1,b=−2.
∴ 直线 AD 的解析式为 y=x−2．
（2） 对于直线 y=x−2，令 y=0，得到 x=2，
∴C2,0，
∴OC=2，
∵A4,2，
∴OA=42+22=25，
在 △AOC 中，∠ACO 是钝角，
若 M 在 x 轴的负半轴上时，∠AOM>∠ACO，因此两三角形不可能相似，
∴ 点 M 只能在 x 轴的正半轴上，设 OM=m，
∵M 与 C 不重合，
∴△AOC∽△AOM 不合题意舍去，
∴ 当 AOMO=OCOA，即 25m=225 时，△AOC∽△MOA，解得 m=10，
∴ 点 M 的坐标为 10,0．
综上所述，满足条件的 M 的坐标为 10,0．
10. （1） 12；−12；13；3
（2） ∵A3,4，△AOC 为等腰三角形，OA=32+42=5，分三种情况：
①当 OA=OC 时，OC=5，此时点 C 的坐标为 5,0，−5,0；
②当 AO=AC 时，
∵A3,4，点 C 和点 O 关于过点 A 且垂直于 x 轴的直线对称，此时点 C 的坐标为 6,0；
③当 CA=CO 时，点 C 在线段 OA 的垂直平分线上，
过点 A 作 AD⊥x轴，垂足为 D，
由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，
设 OC=x，则 AC=x，
在 △ACD 中，42+x−32=x2，
解得 x=256，此时点 C 的坐标为 256,0；
综上：点 C 的坐标为：6,0，5,0，256,0，−5,0．
（3） 使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围是 −123．