苏科版七年级下册9.5 多项式的因式分解教学设计及反思

《多项式的因式分解》教案

教学目标

1、使学生能明确因式分解与整式乘法之间的关系，让学生在探索中进行新知识的比较，理解因式分解的过程，发现因式分解的基本方法；

2、使学生明白可以将因式分解的结果现乘出来就能检验因式分解的正确性.

3、激发学生的兴趣，让学生体会到数学的应用价值.

重点难点

重点

掌握提公因式法，公式法进行因式分解；

难点

怎么样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底；

关键：灵活应用因式分解的常用方法，对于每个多项式分解因式分解彻底.

教学设计

一、知识回顾：

运用前两节课的知识填空：

1、              ；

2、               ；

3、                 .

二、探索问题：

请完成以下填空：

1、

2、

3、

通过学生的动手，发现：

运用多项式乘法的逆思维来探索出因式分解的新知识，“探索”与“回忆”正好相反，它是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就是因式分解.

(1)中的多项式中的每一项都含有相同因式，称为公因式，把公因式提出来，多项式就可以分解成两个因式与的积了，这种因式分解的方法，叫做提公因式法；

(2)、(3)，是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法称之为公式法.

师：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？

[生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法

如：m(a+b+c)=ma+mb+mc     (1)

ma+mb+mc=m(a+b+c)      (2)

联系：等式(1)和(2)是同一个多项式的两种不同表现形式．

区别：等式(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．

等式(2)是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解．

即ma+mb+mc=m(a+b+c)．

所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．

练习

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

(1)4a(a+2b)=4a2+8ab；

(2)6ax-3ax2=3ax(2-x)；

(3)a2-4=(a+2)(a-2)；

(4)x2-3x+2=x(x-3)+2．

[生](1)左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；

(2)左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；

(3)和(2)相同，是因式分解；

(4)是因式分解．

[师]大家认可吗？

[生]第(4)题不对，因为虽然x2-3x=x(x-3)，但是等号右边x(x-3)+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以(4)的变形不是因式分解．

[师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？

[生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2．

[师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)=a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2=(a+b)(a-b)是否成立呢？

[生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立．

[师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．

明确目标，互助探究：

1､讨论993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．

[生]993-99能被100整除．

因为993-99

=99×992-99

=99×(992-1)

=99×9800

=99×98×100

其中有一个因数为100，所以993-99能被100整除．

[师]993-99还能被哪些正整数整除？

[生]还能被99，98，980，990，9702等整除．

[师]从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的

形式．

2､议一议

你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．

[师]大家可以观察a3-a与993-99这两个代数式．

[生]a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)

3､做一做

(1)计算下列各式：

①(m+4)(m-4)=__________；

②(y-3)2=__________；

③3x(x-1)=__________；

④m(a+b+c)=__________；

⑤a(a+1)(a-1)=__________．

[生]解：①(m+4)(m-4)=m2-16；

②(y-3)2=y2-6y+9；

③3x(x-1)=3x2-3x；

④m(a+b+c)=ma+mb+mc；

⑤a(a+1)(a-1)=a(a2-1)=a3-a．

(2)根据上面的算式填空：

①3x2-3x=(    )(    )；

②m2-16=(    )(    )；

③ma+mb+mc=(    )(    )；

④y2-6y+9=(    )2．

⑤a3-a=(    )(    )．

[生]把等号左右两边的式子调换一下即可．即：

①3x2-3x=3x(x-1)；

②m2-16=(m+4)(m-4)；

③ma+mb+mc=m(a+b+c)；

④y2-6y+9=(y-3)2；

⑤a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)．

[师]能分析一下两个题中的形式变换吗？

[生]在(1)中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在(2)中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式．

[师]在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法；在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(factorization)．

总结归纳，课堂反馈

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与因式分解的关系是相反方向的变形．

布置作业：课后习题．