专题3.5 解一元一次方程（二）-去括号与去分母（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题3.5  解一元一次方程（二）-去括号与去分母（知识讲解）

【学习目标】

1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.

【要点梳理】

要点一、解一元一次方程的一般步骤

特别说明：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

 (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．

要点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

特别说明：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：

(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.

2.含字母的一元一次方程

  此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：

（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．

【典型例题】

知识点一、解一元二次方程-去括号 

1．解方程：

【答案】

【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后未知数系数化为“1”即可解方程．

解：，

去括号得：，

移项得：，

合并同类项得： ，

未知数系数化为“1”得： ．

【点拨】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】解方程：．

【答案】

【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得方程的解．

 解：去括号，得

移项，得

合并同类项，得

系数化为1，得．

【点拨】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题关键．

【变式2】 解方程：

【答案】．

【分析】 先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把的系数化“”，即可得到答案．

 解：

【点拨】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．

知识点二、解一元二次方程-去分母

2．解方程：

【答案】

【分析】方程两边同乘4去分母，然后去括号、移项、合并同类项，解一元一次方程即可得出答案．

解：去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得．

【点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．

举一反三：

【变式1】解方程：．

【答案】．

【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“”，从而可得答案．

 解：，

去分母得： ，

去括号得：

合并同类项得： ，

系数化1得：．

【点拨】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握去分母，去括号解一元一次方程是解题的关键．

【变式2】 解方程：．

【答案】

【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．

 解：

去分母，得

去括号，合并同类项，得

系数化为1，得

【点拨】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．

知识点三、解一元二次方程-分母中有含有小数

3、解方程：

（1）

（2）

【答案】（1）x=1；（2）

【分析】

（1）先找出几个分母的最小公倍数，然后方程的两边同时乘上这个最小公倍数，再根据乘法分配律进行化简，然后进行移项、合并同类项，以及系数化成1，从而求出未知数的值；

（2）先根据分数的基本性质把分子，分母中的小数化为整数，然后去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．

 解：（1）

去分母得，

去括号得，

移项合并得，-4x=-4

系数化为1，得：x=1；

（2）

方程可化为

去分母，得：

去括号，得：

移项合并得：50x=21

系数化为1，得，．

【点拨】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．

举一反三：

【变式1】解方程：

（1）            （2）

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；

（2）根据化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．

 .解：（1），

去括号得，

移项得，

合并同类项得：，

系数化为1得：；

（2），

化整得：，

去分母得：，

去括号得：，

移项得：，

合并同类项得：，

系数化为1得：．

【点拨】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．

【变式2】 解方程．

（1）．（2            ）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．

 解：（1），

．

（2），

，

．

【点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．

知识点四、解一元一次方程的应用

4、已知方程4x + 2m =3x+1和方程3x+ 2m=6x+1的解相同，求：

（1） m的值；

（2）代数式（m +2）2019·（2m-）2020的值．

【答案】（1）m= ；（2）

【分析】

（1）根据两个方程的解相同求出m即可；

（2）把m代入求解即可；

解：（1）由4x + 2m =3x+1得，

由3x+ 2m=6x+1得，

∵两个方程的解相同，

∴，

整理得：，

解得：；

（2）把代入（m +2）2019·（2m-）2020得：

原式，

，

，

；

【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，准确计算是解题的关键．

举一反三：

【变式1】已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．

（1）求m，n的值；

（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．

【答案】（1） ；（2）．

【分析】

（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值，根据两个方程同解可得n的值；

（2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得a的值．

 解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，

∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，

解得：m＝3，

当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，

解得：x＝﹣n，

，

2（2x+1）﹣10＝5（x+n），

4x+2﹣10＝5x+5n，

4x﹣5x＝5n+8，

﹣x＝5n+8，

解得：x＝﹣5n﹣8，

∴﹣5n﹣8＝﹣n，

∴n＝﹣2；

（2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，

∴y＝，

∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，

∴，

∴a＝﹣4．

【点拨】本题考查一元一次方程、同解方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键

【变式2】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．

（1）求的值．

（2）若，求的值．

【答案】（1）0；（2）21．

【分析】

（1）根据新定义运算的规则进行计算即可得出结果；

（2）根据新定义运算的规则先求得，则可由已知建立关于a的方程，利用解一元一次方程的方法即可求解．

    解：（1）；

（2）根据题意，得：，

∵，

∴，

解得．

【点拨】本题主要考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法并准确理解题目中新定义运算的规则是解题的关键．