专题3.3 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题3.3  解一元一次方程（一）-合并同类项与移项（知识讲解）

【学习目标】

1．会应用移项、合并同类项法则解一些简单的一元一次方程.

2．通过具体的实例感知、归纳移项法则，进一步探索方程的解法.

3．进一步认识解方程的基本变形，感悟解方程过程中的转化思想.

【要点梳理】

移项的概念：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

特别说明：通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式。

移项、合并同类项解方程步骤：

解方程的步骤及依据分别是：

（1）移项（等式的性质1）

（2）合并（分配律）

（3）系数化为1（等式的性质2）

【典型例题】

知识点一、解方程 

1．解方程：(1)x－3＝31；  (2)4x＝3x－5；(3)－7x＝21；　　　　(4)－x＝.

【答案】（1）x＝34；（2）x＝－5；（3）x＝－3；（4）-1.

【分析】（1）（2）移项合并即可求出解；（3）（4）将x系数化为1，即可求出解．

解：(1) 移项，得x＝31+3，x=34；

(2)移项，得4x－3x＝－5，x＝－5；

(3) 系数化为1，得x＝－3；

(4)方程两边同时乘以，得x＝×＝－1.

故答案为：（1）x＝34；（2）x＝－5；（3）x＝－3；（4）-1.

【点拨】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．

举一反三：

【变式1】 解方程

（1）                （2）

【答案】（1）5；（2）-6

【分析】（1）直接合并同类项，系数化1即可解得方程；

（2）利用移项，合并同类项，系数化1即可解得方程；

 解：（1），

合并同类项得：

，

系数化1得：

x=5；

（2），

移项得：

，

合并同类项得：

，

系数化1得：

【点拨】本题主要考查一元一次方程的解法，解一元一次方程的基本步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，根据方程的特点，灵活运用相应步骤解方程．

【变式2】解方程：

（1）；          （2）；

（3）；     （4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】（1）（2）（3）（4）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可．

解：（1）移项，得．

合并同类项，得．

系数化为1，得．

（2）移项，得．

合并同类项，得．

系数化为1，得．

（3）移项，得．

合并同类项，得．

系数化为1，得．

（4）移项，得．

合并同类项，得．

系数化为1，得．

【点拨】本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．

 知识点二、一元一次方程中“纠错”题

2．解方程：．

佳佳的解题过程如下：

解：移项，得．①

合并同类项，得．②

系数化为1，得．③

请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来．

【答案】有误，从第①步开始出错的．正确的解题过程见解析

【分析】根据一元一次方程的解法步骤判断即可．

解：有误，从第①步开始出错的．

正确的解题过程：移项，得，

合并同类项，得，

系数化为1，得．

【点拨】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．

举一反三：

【变式1】下面是两位同学的作业.请你用曲线把出错误的步骤画出来，并把正确的写在右边.

(1)  解方程: .

解：，

.

(2)解方程：.

解: ，

，

，

.

【分析】根据解一元一次方程的步骤:移项,合并同类项,系数化为1,进行解方程即可求解.

解：⑴  改正： 

(2)   改正： 

【点拨】本题主要考查解一元一次方程的步骤,解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的步骤.

【变式2】 下面是张铭同学今天做的家庭作业：

问题：将等式5x﹣3y=4x﹣3y变形．

解：因为5x﹣3y=4x﹣3y，

所以5x=4x（第一步）

所以5=4（第二步）

上述过程中，第一步是怎么得到的？第二步得出错误的结论，其原因是什么？

【答案】第一步是两边都加3y，第二步错误的原因是x=0时，两边都除以x无意义

【解析】

【分析】根据等式的性质逐步分析即可，等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式.

解：第一步是根据等式的性质1，把等式的两边都加3y，第二步根据等式的性质2可知，错误的原因是x=0时，两边都除以x无意义.

【点拨】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的2条基本性质是解答本题的关键.

【变式3】某同学解方程的过程如下，请你指出他开始出错的一步及错误的原因，并改正.

解：移项，得，①

合并同类项，得，②

方程两边同时除以-3，得.③；

【答案】该同学的移项是错误的，原因见解析.

【分析】根据解一元一次方程的步骤及移项的定义进行分析，即可得到答案.

解：该同学的移项是错误的，原因是-24进行移项后符号没有改变．根据移项的定义可知，正确移项是，合并同类项，得，方程两边同时除以-3，     得.

【点拨】本题考查解一元一次方程——移项，解题的关键是熟练掌握移项.

知识点三、一元一次方程中同解原理

3、已知与｜n+2｜互为相反数，则求方程m+3n=6的解．

【答案】

【分析】由题意可得，然后根据非负数的性质可求出m、n，代入原方程后再求解方程即可．

解：由题意得：，

所以，解得，

则方程mx+3n=6即为，

移项、合并同类项，得3x=12，

系数化为1，得x=4．

【点拨】本题考查了非负数的性质和一元一次方程的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．

举一反三：

【变式1】已知关于x的方程3x+2a＝x+7，某同学在解这个方程时，不小心把右端的+7抄成了－7，解得的结果为x＝2，求原来方程的解.

【答案】x＝9

【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．

解：将x=2代入3x+2a=x-7，

得6+2a=-5，

解得a=-．

当a=-时，原方程为3x-11=x+7，

移项、合并同类项，得

2x=18，

系数化为1，得

x=9，

原方程的解为x=9．

【点拨】本题考查了一元一次方程的解，将方程的解代入方程得出a的值是解题关键．

【变式2】已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值．

【答案】

【分析】首先解得方程的解，然后根据相反数的定义将方程的解的相反数代入第一个方程来求的值即可．

 解：解方程，得，

∴方程的解是

把代入，得，

解之得：

【点拨】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键．

【变式3】已知关于x的一元一次方程（m-6）x2-2x+n=0与x-（3-x）=1的解相同，求m、n的值.

【答案】m=6，n=4

【分析】先根据等式的性质求出方程x-（3-x）=1的解;根据两个方程的解相同, 将求得的解代入到一元一次方程（m-6）x2-2x+n=0中, 不难求出n的值.

 解: 利用等式的基本性质求解方程，x-（3-x）=1, 可得x=2.

因为方程（m-6）x2-2x+n=0为一元一次方程，得m-6=0,m=6,

因为两方程的解相同,所以x=2也是方程（m-6）x2-2x+n=0的解.

将x=2代入-2x+n=0可得: -4+n=0,解得n=4.

故答案：m=6，n=4.

【点拨】本题是一道关于解方程的问题, 解题的关键是求出第一个方程的解.

知识点四、一元一次方程的创新题

4、一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：，我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为.

（1）若是“相伴数对”，求的值；

（2）若是“相伴数对”，求代数式的值.

【答案】（1）；（2）-2

【解析】(1)、首先根据“相伴数对”的定义列出关于b的一元一次方程，从而求出b的值；(2)、根据“相伴数对”的定义得出关于m和n的代数式，然后进行化简得出9m+4n=0，最后将所求的代数式进行化简，利用整体代入的思想进行求解.

 解 ：（1）是“相伴数对”，

，解得：；

（2）由是“相伴数对”可得：，

则，即，

则原式.

举一反三：

【变式1】数学课上，高老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式．然后翻开纸片②是4x2＋5x＋6，翻开纸片③是－3x2－x－2．

解答下列问题：

（1）求纸片①上的代数式；

（2）若x是方程2x＝－x－9的解，求纸片①上代数式的值．

【答案】（1）；（2）1.

【分析】（1）由①=②+③即可求解；

（2）由方程2x＝－x－9求出x值，再代入纸片①上的代数式求值即可.

解：（1），

所以纸片①上的代数式为；

（2）解2x＝－x－9得，

将代入得，

所以纸片①上代数式的值为1.

【点拨】本题考查了整式的加减运算及代入求值，同时涉及了解一元一次方程，灵活掌握整式的加减运算是解题的关键.

【变式2】下图是一个运算程序:

(1)若，求的值；

(2)若，输出结果的值与输入的值相同，求的值.

【答案】（1）-7；（2）-2

【分析】

(1)根据x、y的值和运算程序得出，代入即可得出答案

(2) 根据运算程序分和两种情况列出关于m的方程，解方程即可得出y的值

解: (1)，

，

.

(2)由己知条件可得，

当时，由，得，符合题意:

当时，由得，不符合题意，舍掉.

.

【点拨】本题考查了代数式求值和一元一次方程的应用，把满足条件的字母的值代入计算得到对应的代数式的值．也考查了观察图表的能力．