专题09 一元二次函数的三种表示方式-2022年初高中数学无忧衔接课程

专题09 一元二次函数的三种表示方式

一、知识点精讲

通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，

我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．

当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0． ①

并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x­2)， ＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()

= a[x2－(x1＋x­2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

二、典例精析

【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求该一元二次函数的解析式．

【答案】见解析

【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．

【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．

∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，

∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a＝－．

∴二次函数的解析式为，即y＝－x2＋x+．

【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

【答案】见解析

【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展开得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ，

由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝．

所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．

【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．

又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，

由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．

所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．

【说明】：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

【答案】见解析

【解析】设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，

(2，8)，可得   解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．

所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．

【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

三、对点精练

1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是                    （    ）

  （A）0个        （B）1个         （C）2个       （D）无法确定

【答案】A

【解析】，∴函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数

是0个。故选A

（2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是                           （    ）

（A）(1，2)      （B）(1，－2)     （C）(－1，2)    （D）(－1，－2)

【答案】C

【解析】据二次函数的顶点式方程可得函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是(－1，2)  故选C

2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝                   ．

【答案】

【解析】据二次函数的交点式方程可得该二次函数的解析式可设为 ．

（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为         ．

【答案】4

【解析】设二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点横坐标分别为，则，

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；           

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－，0)和(1＋，0)，并与y轴交于(0，－2)．

【答案】见解析

【解析】

（1）设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(1，－2)，(0，－3)，

(-1，-6)，可得  

所以，所求的二次函数为y＝－x2＋2x－3．

（2）设二次函数为，则，所以，所求的二次函数为．

（3）设二次函数为，则，所以，所求的二次函数为

4.设二次函数的图像的顶点式，与x轴的两个交点间的距离为6，求该二次函数的表达式。

【答案】见解析

【解析】据题意对称轴为，又与x轴的两个交点间的距离为6，∴x轴的两个交点分别为，设二次函数为，则

所以，所求的二次函数为