专题08 一元二次函数的图像和性质-2022年初高中数学无忧衔接课程

专题08 一元二次函数的图像和性质

一、知识点精讲

【问题1】  函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．

先列表：

从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

【问题2】  函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．

（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．

 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系表

二、典例精析

【典例1】求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

【答案】见解析

【解析】∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，

∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

【说明】：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

【典例2】某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

【答案】见解析

【分析】：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

【解析】由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋b

将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有

解得  k＝－1，b＝200．

∴  y＝－x＋200．

设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000

＝－(x－160)2＋1600，

∴当x＝160时，z取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

【典例3】把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．

【答案】见解析

【解析】

解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以，

      解得b＝－8，c＝14．

解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像．

由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．

【说明】：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反映了两种不同的思维方法：

解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．

【典例4】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

【答案】见解析

【分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。

【解析】（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

【说明】：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

三、对点精练

1. 选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是                   （   ）

（A）y＝2x2                      （B）y＝2x2－4x＋2

（C）y＝2x2－1                   （D）y＝-2x2－4x-2

【答案】C

【解析】顶点在坐标轴上，需有，故选C.

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2                     （   ）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的                   

（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的   

（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的  

（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

【答案】D

【解析】函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得到，故选D

2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝__________，

n＝______________．

【答案】4,0

【解析】

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝________时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝___________时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝__________时，函数图象经过原点．

【答案】2，-2,0

【解析】顶点坐标，∴当m=2时函数图象的顶点在y轴上，当m=-2时函数图象的顶点在x轴上，当m=0时函数图象经过原点.

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向___________，对称轴为_________，顶点坐标为___________；当x＝___________时，函数取最________值y＝__________；当_______时，y随着x的增大而减小．

【答案】下，x=-2, ,-2,大，5，x> -2

【解析】:函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为；当x＝-2时，函数取最大值y＝5；当x>-2时，y随着x的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．

（1）y＝x2－2x－3；         

（2）y＝1＋4x－x2．

【答案】见解析

【解析】（1）y＝x2－2x－3的图象的开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为；当x＝1时，函数取最小值y＝-4；当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小。

（2）y＝1＋4x－x2的图象的开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为；当x＝2时，函数取最大值y＝5；当x<2时，y随着x的增大而增大，当x>2时，y随着x的增大而减小。

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；                      （2）x≤2；

（3）－2≤x≤1；                   （4）0≤x≤3．

【答案】见解析

【解析】如图：

(1)当x≤－2时，y随着x的增大而增大，当x=-2时最大值为3

（2）当x≤2时，当x=-1时有最大值为4

（3）当－2≤x≤1时，当x=-1时有最大值为4，当x=1时有最小值为0

（4）当0≤x≤3时，当x=0时有最大值为3，当x=3时有最小值为-12.