数学必修5第二章 数列综合与测试同步训练题

这是一份数学必修5第二章 数列综合与测试同步训练题，共28页。试卷主要包含了利用常用求和公式求和，错位相减法求和，倒序相加法求和，分组法求和，裂项法求和，合并法求和，利用数列的通项求和等内容，欢迎下载使用。

数列求和
一、利用常用求和公式求和
1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：
[例1] 已知，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得： = ＝＝1－
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ，
∴ ＝＝＝ ∴ 当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：设…②（设制错位）
①－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴
[例4] 求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
…………② ①－②得 ∴
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例6] 求的值
解：设…………. ①
将①式右边反序得：……② 又因为 ，①+②得 ： ＝89 ∴ S＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得（分组）
当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得： Sn＝ ＝
= ＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）
（3） （4）
（5）

[例9] 求数列的前n项和.
解：设，则
＝
[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解： 　 ∵ ∴ 数列{bn}的前n项和：
＝ ＝
[例11] 求证：
解：设
∵ ＝
＝＝＝ ∴　原等式成立
例2. 计算：
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ （找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 （合并求和）
[例13] 数列{an}：，求S2002.
解：设S2002＝，由可得
……
∵
∴　S2002＝=
=＝＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值。
解：设
由等比数列的性质 和对数的运算性质 得：
＝＝＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15] 求之和.解：由于
∴ ＝ ＝＝＝
[例16] 已知数列{an}：的值.
解：∵ ＝＝ ＝ ＝








数列的概念
【知识点精讲】
1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）
2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。
（通项公式不唯一）
3、数列的表示:
(1) 列举法:如1,3,5,7,9……;
(2) 图解法:由(n,an)点构成;
(3) 解析法:用通项公式表示,如an=2n+1
(4) 递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-1
4、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；
有界数列，无界数列
5、任意数列{an}的前n项和的性质
Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an
6、求数列中最大最小项的方法：最大 最小
考虑数列的单调性
【例题选讲】
例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项
（1）-1,7,-13,19,…; (2)7,77,777,777,…; (3)
(4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,…; (5)1,0,1,0,1,0,…;
解：（1）an=(-1)n(6n-5); (2) (3) (4); (5);
[点评]根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。
练习:⑴⑵3,5,9,17,33,……⑶1,2,2,4,3,8,4,16,5,……..
解：

例2、已知数列
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由。
解：设
（1）令n=10,得第10项；
（2）令，此方程无自然数解，所以不是其中的项
（3）证明：

（4）令

[点评]数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解

例3、下面各数列的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式. (1) Sn=2n2-3n (2) Sn= 3n-2
解: (1)当n≥2时,
由于a1也适合此等式,所以
(2)当n≥2时,

[点评]已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.
即
练习:已知数列的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通项公式
解:由题意
例4、有一数列{an}，a1=a，由递推公式an+1=，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写该数列的一个通项公式。
详见优化设计P37典例剖析之例2，解答过程略。
（理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法）
变式：在数列{an}，a1=1，an+1=，求an。
详见优化设计P37典例剖析之例1，解答过程略。
[点评]对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如：迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差（比）数列公式，也很必要。
例5、已知数列{an}的通项公式试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.
解:
当n<9,
当n>9,
当n=9,
故
所以, 数列{an}有最大项, 为第9,10项
[点评] 求数列{an}的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对an的单调性进行讨论
练习:已知则在数列{an}中的前30项中,最大项和最小项分别为什么?
解:最大a10最小a9
【课堂小结】
1、 了解数列的概念、分类与表示法；
2、 重点理解数列的通项公式，会求一些简单数列的通项公式，会根据通项公式和递推公式求数列的项；
3、任意数列{an}的前n项和的性质
Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an
4、求数列中最大最小项的方法：最大 最小
考虑数列的单调性
【作业布置】
高考胜卷






裂项法
（一）
    同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
   （一）阅读思考
    例如 ，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
   
    即
    或
    下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
   【典型例题】
    例1. 计算：
    分析与解答：
   
   
    上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
   
   
    像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
    例2. 计算：
    公式的变式
   
    当 分别取1，2，3，……，100时，就有
   
   
   
    例3. 设符号（    ）、<    >代表不同的自然数，问算式 中这两个符号所代表的数的数的积是多少？
    分析与解：减法是加法的逆运算， 就变成 ，与前面提到的等式 相联系，便可找到一组解，即     另外一种方法
    设 都是自然数，且 ，当 时，利用上面的变加为减的想法，得算式 。
    这里 是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即 。
    又因为 是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即
    上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
    当 时， ，
    当 时， ，
    当 时， ，
    当 时， ，
    当 时， ，
    当 时， ，
    当 时， ，
    当 时， ，
    当 时， ，
    故（    ）和<    >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
   【模拟试题】
    二.尝试体验：
    1. 计算：
   
    2. 计算：
    3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。
   【试题答案】
    1. 计算：
   
   
    2. 计算：         
   
    3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求 。    的值为：75，81，96，121，147，200，361。    因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有     
   
   
   
   
   
（二）
    前一节我们已经讲过，利用等式 ，采用“裂项法”能很快求出 这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式： ，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
   【典型例题】
    例1.
    分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。
    下面我们用 ，现在给 、 一些具体的值，看看有什么结果。
    当 时，有
    当 时，有
    当 时，有
    ……
    当 时，有
    当 时，有
    上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如 ，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。
    因为 ，……， ，
    所以
   
    例2.
    因为
    所以
    同样可得
   
    一般地，因为
   
   
   
    这里 是任意一个自然数。
    利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。
   
   
    例3. 计算：
    分析与解：
   
    而
    即
    连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
   
   
   
   【模拟试题】（答题时间：15分钟）
    二. 尝试体验
    1. 求和：
    2. 求和：
    3. 求和：
   【试题答案】
    1. 求和：    
    2. 求和：    
    3. 求和：    







































数列通项的求法
【知识点精讲】
求数列的通项方法
l 由等差，等比定义，写出通项公式
l 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代
3、一阶递推,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列
4、利用换元思想
5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明
6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题
【例题选讲】
例1、设{an}的首项为1的正项数列，且求它的通项公式。
解：由题意a1=1 , an>0,(n=1,2,3,…..)



变式：已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求an,
解：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…..+（a2-a1）+a1
[点评]根据数列递推公式，利用迭加（an-an-1=f(n)）、迭乘（an/an-1=f(n)）、迭代
例2、已知数列{an}，a1=1,an+1=
解法一：
由(1)-(2)得： 设

法二：设
设，

法三：
………
[点评]注意数列解题中的换元思想,如
对数列递推式,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列
练习:(1):数列{an}中,a1=1,2an=
解方法同上:
(2) 数列{an}中,a1=1,
解:原式化为,利用换元思想。利用上法得
例3、（猜证）已知数列{an}满足a1=1,
（1）求a2,a3 ,a4 (2)证明：
解：（1）a2＝4　　　a3＝13 a4=40
（2）a1 ,a2,a3 ,a4由前可知，成立
假设n=k时也成立，即
n=k+1时, 也成立
综上，
练习：设正数数列{an}前n项和Sn，存在正数t，使得对所有自然数n，有则通过归纳猜想得到Sn并证明？
解：n=1时，得a1=t，n=2时，得a2=3t，n=3时，得a2=5t,猜测an=(2n-1)t
证明：n=1,2,3时,已经成立
假设n=k时也成立，即ak=(2k-1)t,则Sk＝k2t
n=k+1时，
也成立
综上，an=(2n-1)t , Sn= n2t

[点评]用数学归纳法，由n=k证明n=k+1成立时，从递推式入手
例4、设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，满足关系

（1） 求证：数列{an}是等比数列；
（2） 设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn},使b1=1,bn= (n=2,3,4,…..) 求{bn}的通项公式
解L(1)由
又
得证
(2)

[点评]对an与Sn进行熟练转化解题
练习:设数列{an}为正项数列,若对任意正整数n, an与2得 等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项, 求{an}的通项公式
解:


备用补充：求下列数列（1）（2）（3）
答案
【课堂小结】
求数列的通项方法
1.由等差，等比定义，写出通项公式
2.利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代
3.一阶递推,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列.
4.利用换元思想
5.先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明
6.对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题
【作业布置】
高考胜卷




数列疑难解析

1．怎样理解“数列是一类特殊的函数”？
数列这类特殊的函数，其特殊性表现为如下两个方面：
(1) 数列这类函数的定义域只能是正整数集合*或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝．即定义域中的元素的取值既有着特殊性，又有着从小到大依次取值的有序性；
(2) 数列这类函数的函数值也是有序的，它是按自变量从小到大依次取值时所分别对应的函数值先后出现的次序“摆放”的一列函数值的“队”．例如对于定义在实数集上的函数g（x），当我们把函数值列
g（0），g（－1），g（），g（）， ①
视为一个数列，实际上确实是一个数列时，那么数列①的定义域是｛1，2，3，4｝，按自变量从小到大依次取值时所分别对应的函数值先后出现的次序依次是：a1=f (1)= g (0)，
a2=f (2)= g（－1），a3=f (3)= g ()，a4=f (4)= g ()．由此“摆放”出的一列函数值的队是：f (1)， f (2)， f (3)， f (4)．
2．怎样理解等差数列定义中“从第2项起”以及“差等于同一个常数”这两个要点？
要求“从第2项起”是为了确保每一项的前一项差的存在性，而只有使“差等于同一个常数”，才与“等差”名副其实，体现了等差数列的基本特征．

3．等差数列的通项公式可以写成an=dn＋c（其中c=（a1－d））的形式，当d≠0时，可以说an是n定义在上的一次函数．

4．对于等差数列，当d≠0时，为什么不能说前n项和Sn是常数项为零的n的二次函数？
对于等差数列，其前n项和Sn可表示为Sn=an2＋bn（其中，）． 当d≠0时，当然有a≠0．但仍不能说Sn是n的二次函数．这是因为二次函数是有严格定义的，其定义域是实数集R，图像是一条抛物线．而由等差数列前n项和的公式Sn=an2+bn 确定的函数值S1，S2，…，Sn，…，只是二次函数中当x=1，2，3，…时的一系列孤立的函数值，Sn=an2+bn的图像只是二次函数的图像（抛物线）上的一群孤立的点．

5．在等差数列通项公式的一般形式an= am＋（n－m）d中，n必须大于m吗？
在通项公式an=am＋（n－m）d ①中，不必规定n＞ m．事实上，当n= m时，左、右两边显然相等.当n＜ m时，由于am= an＋（m－n）d成立，由此得：
an=am－（m－n）d=am＋（n－m）d
成立．综上可知，不论n＞ m，或n≤ m，①式都成立．
（对于等比数列相应问题的疑惑，可仿照等差数列的问题加以解释）．

6．如何从函数的角度去认识数列？
数列是一类特殊的函数，分析数列的有关问题，可以用函数的方法去认识．
例如．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1 (n≥2)，x1=a，x2=b．记Sn=x1+x2+x3+……＋xn，求x100与S100．
由x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，x9=b－a，x10=－a，x11=－b，x12=a－b，x13=a，x14=b，……．
可以发现数列{xn}是一个周期数列，具有xn+6=xn，即周期为6．
由100=16×6+4，故x100=x4=－a，S100=S4=2b－a．

7．数列{an}的前n项和Sn组成的数列{Sn}与{an}是一对相关数列，研究两者之间的关系是数列中常见问题．

8．关于等差数列前n项和的最大值和最小值的求法
(1) 在等差数列{an}中，如果公差d>0，则数列{an}前n项和有最小值．
当a1>0时，Sn的最小值就是S1=a1；
当a1<0时，数列{an}中一定存在am≤0，而am+1>0，Sn的最小值就是Sm．
(2) 在等差数列{an}中，如果公差d<0，则数列{an}前n项和有最大值．
当a1<0时，Sn的最大值就是S1= a1；
当a1>0时，数列{an}中一定存在am≥0，而am+1<0，Sn的最大值就是Sm．
(3) 在d≠0时，Sn是n的二次函数，求数列{an}的最值问题可借助求二次函数的最值的方法来求．

9．数列的求和
(1) 通项公式an是项数n的一次、二次、三次多项式的求和问题．
此类问题通常转化为自然数列，自然数的平方数列、立方数列进行求和，需利用下列公式：
，
，
．
(2) 利用裂项法，进行数列的求和．
(3) 转化为等差数列，等比数列进行求和．