高中数学沪教版高中一年级 第一学期3.1函数的概念学案设计

3.1 映射的概念

教学目标：

1．知识与技能

    了解映射的概念，掌握象、原象等概念及其简单应用。

2．过程与方法

    学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

3．情感、态度与价值观

树立数学应用的观点，培养学习良好的思维品质。

教学重点：映射的概念。

教学难点：映射的概念。

教学过程：

一、复习引入：

1、在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）

①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系

②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应

③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应

2、函数的概念

    本节我们将学习一种特殊的对应—映射。

二、讲解新课：

    看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集

说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应

    映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射   记作：

    象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且，如果元素和元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象

    关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）

    ①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；

    ②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；

    ③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；

    ④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.

    指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一

    思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？

    回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集合B的映射

    思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?

一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射

    辨析：

①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；

②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；

④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；

⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.

映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；

三、例题讲解

例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？

        a       e        a       e        a      e

        b       f        b       f        b      f

        c       g        c       g       c       g

                          d                      d

           (是)             （不是）           （是）

      是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的

例2下列各组映射是否同一映射？

a       e            a       e            d        e

      b        f            b       f           b        f

      c        g            c       g           c        g

例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则

    （2）设，对应法则

          （3），，

（4）设

         （5），

四、练习：

1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）

2．设A=N*，B={0，1}，集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A中没有象））

3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）

4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元素x按照对应法则“f ：a b=(a1)2”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）

5．在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？

（A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个；（B）A中的某一个元素a的象可能不止一个（C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同；

（D）B中的两个不同元素的原象可能相同

6．下面哪一个说法正确？

（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射

（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射

（C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射

（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射

7．集合A=N，B={m|m=,n∈N}，f：x→y=，x∈A，y∈B.请计算在f作用下，象，的原象分别是多少.( 5，6 )