高中物理人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案设计

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　竖直上抛运动

[学习目标]　1.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动.2.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题.3.知道竖直上抛运动的对称性．

1．竖直上抛运动

将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动．

2．竖直上抛运动的实质

初速度v0≠0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)．

3．竖直上抛运动的规律

速度公式：v＝v0－gt上升时间, t上＝.

位移公式：h＝v0t－gt2t总＝.

速度与位移关系式：v2－v02＝－2ghH＝.

4．竖直上抛运动的特点

(1)对称性

①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO.

②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－vB′，vA＝－vA′.(如图1)

图1

(2)多解性

通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段．

5．竖直上抛运动的处理方法

(多选)关于竖直上抛运动，下列说法正确的是(　　)

A．竖直上抛运动的上升过程是匀减速直线运动

B．匀变速直线运动规律对竖直上抛运动的全过程都适用

C．以初速度的方向为正方向，竖直上抛运动的加速度a＝g

D．竖直上抛运动中，任何相等的时间内物体的速度变化量相等

答案　ABD

在某塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，设塔足够高，则：(g取10 m/s2)

(1)物体抛出的初速度大小为多少？

(2)物体位移大小为10 m时，物体通过的路程可能为多少？

(3)若塔高H＝60 m，求物体从抛出到落到地面的时间和落地速度大小．

答案　(1)20 m/s　(2)10 m　30 m　50 m　(3)6 s　40 m/s

解析　(1)设初速度为v0，竖直向上为正，有－2gh＝0－v02，故v0＝20 m/s.

(2)位移大小为10 m，有三种可能：向上运动时x＝10 m，返回时在出发点上方10 m，返回时在出发点下方10 m，对应的路程分别为s1＝10 m，s2＝(20＋10) m＝30 m，s3＝(40＋10) m＝50 m.

(3)落到地面时的位移x＝－60 m，设从抛出到落到地面用时为t，有x＝v0t－gt2，

解得t＝6 s(t＝－2 s舍去)

落地速度v＝v0－gt＝(20－10×6) m/s＝－40 m/s，则落地速度大小为40 m/s.

气球下挂一重物，以v0＝10 m/s的速度匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地前瞬间的速度多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2)

答案　7 s　60 m/s

解析　解法一　分段法

绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下落．

重物上升阶段，时间t1＝＝1 s，

由v02＝2gh1知，h1＝＝5 m

重物下落阶段，下落距离H＝h1＋175 m＝180 m

设下落时间为t2，则H＝gt22，故t2＝＝6 s

重物落地总时间t＝t1＋t2＝7 s，落地前瞬间的速度v＝gt2＝60 m/s.

解法二　全程法

取初速度方向为正方向

重物全程位移h＝v0t－gt2＝－175 m

可解得t＝7 s(t＝－5 s舍去)

由v＝v0－gt，得v＝－60 m/s，负号表示速度方向竖直向下．

球A从高为2 m的位置自由下落，同时球A正下方的球B由地面以5 m/s的速度向上抛出，求：(g取10 m/s2，不计空气阻力)

(1)两球相遇时B球的速度大小；

(2)若B球以4 m/s的速度抛出，两球会不会在空中相遇．

答案　(1)1 m/s　(2)会

解析　(1)设两球相遇所需时间为t

h＝v0t－gt2＋gt2得t＝0.4 s

vB＝v0－gt得vB＝1 m/s

(2)假设两球会在空中相遇，设相遇时间为t′

由h＝v0′t′－gt′2＋gt′2得t′＝0.5 s

B球在空中运动的时间为tB

tB＝得tB＝0.8 s

A球落地的时间为tA，tA＝≈0.6 s，

由于t′<tA，t′＜tB，故两球能在空中相遇．

1．(2021·徐州市高一期末)将小球竖直向上抛出，忽略空气阻力的影响．小球在空中运动过程中，到达最高点前的最后一秒内和离开最高点后的第一秒内(　　)

A．位移相同   B．加速度相同

C．平均速度相同   D．速度变化量方向相反

答案　B

2.如图1所示，将一小球以10 m/s的初速度在某高台边缘竖直上抛，不计空气阻力，取抛出点为坐标原点，向上为坐标轴正方向，g取10 m/s2，则3 s内小球运动的(　　)

图1

A．路程为25 m

B．位移为15 m

C．速度改变量为30 m/s

D．平均速度为5 m/s

答案　A

解析　由x＝v0t－gt2得位移x＝－15 m，B错误；平均速度＝＝－5 m/s，D错误；小球竖直上抛，由v＝v0－gt得速度的改变量Δv＝－gt＝－30 m/s，C错误；上升阶段通过路程x1＝＝5 m，下降阶段通过的路程x2＝gt22，t2＝t－＝2 s，解得x2＝20 m，所以3 s内小球运动的路程为x1＋x2＝25 m，A正确．

3．离地面高度100 m处有两只气球正在以同样大小的速率5 m/s分别匀速上升和匀速下降．在这两只气球上各同时落下一个物体．问这两个物体落到地面的时间差为(g＝10 m/s2)(　　)

A．0  B．1 s  C．2 s  D．0.5 s

答案　B

4．一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为(重力加速度为g)(　　)

A.g(TA2－TB2)   B.g(TA2－TB2)

C.g(TA2－TB2)   D.g(TA－TB)

答案　A

解析　物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A的时间tA＝，从竖直上抛运动的最高点到点B的时间tB＝，则A、B两点的距离x＝gtA2－gtB2＝g(TA2－TB2)．

5．(多选)若一物体从火星表面竖直向上抛出(不计气体阻力)时的x－t图像如图2所示，则(　　)

图2

A．该火星表面的重力加速度大小为1.6 m/s2

B．该物体上升的时间为10 s

C．该物体被抛出时的初速度大小为8 m/s

D．该物体落到火星表面时的速度大小为16 m/s

答案　AC

解析　由题图可知物体上升的最大高度为20 m，上升时间为5 s，由h＝gt2得g＝1.6 m/s2，A正确，B错误；v＝gt＝8 m/s，C正确；根据速度对称性知，D错误．

6．如图3所示，一同学从一高为H＝10 m的平台上竖直向上抛出一个可以看成质点的小球，小球的抛出点距离平台的高度为h0＝0.8 m，小球抛出后升高了h＝0.45 m到达最高点，最终小球落在地面上．g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：

图3

(1)小球抛出时的初速度大小v0；

(2)小球从抛出到落到地面的过程中经历的时间t.

答案　(1)3 m/s　(2)1.8 s

解析　(1)上升阶段，由0－v02＝－2gh得：

v0＝＝3 m/s.

(2)设上升阶段经历的时间为t1，则：0＝v0－gt1，

自由落体过程经历的时间为t2，则：h0＋h＋H＝gt22，

又t＝t1＋t2，

联立解得：t＝1.8 s.

7．某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动．火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：

(1)燃料恰好用完时火箭的速度大小；

(2)火箭上升离地面的最大高度；

(3)火箭从发射到返回发射点的时间．

答案　(1)20 m/s　(2)60 m　(3)9.46 s

解析　(1)设燃料恰好用完时火箭的速度为v，根据运动学公式有h＝t，

解得v＝20 m/s.

(2)火箭能够继续上升的时间t1＝＝ s＝2 s

火箭能够继续上升的高度h1＝＝ m＝20 m

因此火箭离地面的最大高度H＝h＋h1＝60 m.

(3)火箭由最高点落至地面的时间t2＝＝ s＝2 s，火箭从发射到返回发射点的时间t总＝t＋t1＋t2≈9.46 s.

8．从空中足够高的某点，以相等的速率v0竖直向上和竖直向下各抛出一个物体，试分析这两个物体之间的距离与时间的关系，并讨论若以竖直下抛的物体为参考系时上抛物体的运动性质．

答案　见解析

解析　选取竖直向上为正方向，竖直上抛的物体的位移为：x1＝v0t－gt2.

竖直下抛的物体的位移为：x2＝－v0t－gt2.

两个物体之间的距离为：Δx＝x1－x2＝2v0t.

若以竖直下抛的物体为参考系，则两个物体竖直向下的加速度都是g，所以竖直上抛物体相对于参考系的初速度的大小为2v0，向上做匀速直线运动．