第23讲 平面向量选择填空压轴题专练

第23讲  平面向量选择填空压轴题专练

A组

一、选择题

1．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，

． 若点为边上的动点，则的最小值为

A．      B．     C．       D．

【答案】A

【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系，

因为在平面四边形中，，，

所以，，，设,，

所以，，

因为，所以，

即，解得，即，

因为在上，所以，由，得，即，

因为，，

所以

，令，．

因为函数在 上单调递减，在上单调递增，所以．所以的最小值为，故选A．

2．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ）

A.                   B.                  C.                      D.

【答案】B

【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则，，，设，所以，，

所以，

当时，所求的最小值为，故选B。

3．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则
 

A．I１<I２<I３ B．I１<I３<I２   C．I３<I１<I２   D．I２<I１<I３

【答案】C

【解析】因为，所以，选C.

4．在中，，，，的交点为，过作动直线分别交线段，于，两点，若，，（，），则的最小值为（   ）

A．          B．              C．              D．

【答案】D

【解析】由，，三点共线可得存在实数使得，同理由，，三点共线可得存在实数使得，∴，解得，∴，设，则，即，即，故，即的最小值为，故选：D．

5．已知点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，则的值为（   ）

A．              B．                 C．                    D．

【答案】D

【解析】如图，点为内一点，，过作垂直于点，点为线段的中点，∴，则

.中，利用余弦定理可得,因为可得，所以，∴，故选：D.

6．设向量，，且，，则的值等于（   ）

A．1               B．                 C．                     D．0

【答案】C

【解析】因为,，所以，即，所以，， ，，故选C.

7．如图，点,点在线段的延长线上，分别为的边上的点.若与共线，与共线，则的值为（   ）

A．-1              B．0                   C. 1                      D．2

【答案】B

【解析】设,以所在直线为轴,建立直角坐标系,可得,直线的方程为,由于与共线,在的角平分线上,可得所在直线方程是,设与共线得的纵坐标为,将代入直线方程,得,可得直线的方程为,再令得,可得点坐标为,故选B.

8．在正四棱锥中，为正方形的中心，，且平面与直线交于，则（   ）

A．    B．       C．         D．

【答案】A

【解析】因为为正方形的中心,所以为的中点,又,所以在线段上,平面与交于,即的延长线与交于,在平面中,取的中点,连接,则,所以相似于,相似比为,因此,又,,所以,,故选A.

9．由点向圆：引两条切线，切点为，，则的最小值是（   ）

A．          B．            C．              D．

【答案】A

【解析】设，则，，，，所以的最小值是.

10．在△中，，，是边上的一点，且，则的值为（   ）

A．0                B．4                   C．8                     D．

【答案】B

【解析】，

,故选B.

11．在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值是（    ）

A．              B．               C.              D．

【答案】B

【解析】甴已知易得．以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则．设由已知，得，又，所以，所以，它表示圆上的点与点的距离的平方的，所以，故选B．

二、填空题

12.（2019天津卷理）在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则            .

【答案】

解析 因为，，，所以在等腰三角形中，，
又，所以，所以.
因为，所以.又，
所以

.

13． ，则             

【答案】

【解析】 ,则

14．已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______.

【答案】4，

【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，

，则：，

令，则，

据此可得：，

即的最小值是4，最大值是.

15．已知点，，若圆:上存在一点，使得，则正实数的最小值为       ．

【答案】．

【解析】由题意可知，问题等价于以为直径的圆与圆有交点，故以为直径的圆：，而圆化为标准方程：，圆心距为，

∴，即实数的最小值是，故填：．

16．分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则__________．

【答案】

【解析】依题意有，故.

17.已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________，最大值是_______.

【答案】最小值为0，最大值为．

解析：正方形ABCD的边长为1，可得，，，

,

由于2，3，4，5，取遍，可得，，

可取，可得所求最小值为0；
由，，

可取可得所求最大值为．

B组

一、选择题

1．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为（     ）

A．3    B．2    C．    D．2

【答案】A

【解析】如图，建立平面直角坐标系

设

根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是

，若满足

即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.

2．.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则的值为（     ）

A．2                  B．                 C．3                     D．

【答案】A

【解析】由题意得：，所以，.设点，

所以由可得：，即. 由双曲

线的第二定义可得：，所以，所以，所以

，故应选.

3．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则

A．               B．                  C．                    D．

【答案】D

【解析】设，由，解得，，

由，得，，点在圆上，因此

，解得．故选D．

4．如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（   ）

A．2                  B．                   C．            D．

【答案】C

【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，，所以，化简得，解得题目所给图像可知.由基本不等式得

，即.当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.

5．在矩形中，点为的中点，，，则（   ）

A．           B．              C．            D．

【答案】C

.

6．如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（    ）

A．             B．              C．             D．

【答案】C

【解析】分三种情况讨论：①当在线段上时，设，则．由于，所以，，故；②当在线段上时，设，则．由于，所以，，故；③当在阴影部分内（含边界），则，故选C．

7．在△ABC中，BC=7，.若动点P满足，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为（   ）

A．               B．               C．                 D．

【答案】．

【解析】设,因为

所以三点共线，所以点的轨迹为直线,如图：

在中，,,,由正弦定理,解得,

,

,,所以,故选B.

二、填空题

8．已知是的中线，，，则的最小值是          .

【答案】

【解析】，，．

9．如图，在菱形中，，，为的中点，则的值是          ．

【答案】

【解析】由已知，.

C组

一、选择题

1．如图，在梯形中，，，，，，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A．          B．        C．             D．

【答案】D

【解析】

以CD中点为坐标原点，CD所在直线为x轴建立直角坐标系，则，当P在CD边上时，设，则；当P在AB边上时，设，则；当P在BC边上时，设，则；当P在AD边上时，设，则；因此实数的取值范围是，选D.

2．已知是内一点，且满足,记,的面积依次为，则等于（   ）

A. 1:2:3               B. 1:4:9            C. 6:1:2                 D. 3:1:2   

【答案】D

【解析】取AC、BC中点D、E，连接PA、PB、PC、PD、PE，

由，得，∴， 即；

同理得，∴，；

∴，；∴P到BC的距离等于A到BC距离的，

设的面积为S，则；∴P到AC的距离等于B到AC距离的，

∴，，∴.故选D.

3．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（   ）

A．             B．            C．                   D．

【答案】B

【解析】设,因,且,故，所以，

,故应选B.

4．设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点，为的最小值，则的最大值为

A．            B．            C．                      D．

【答案】．A

【解析】

由题意， f（x）=（0，-5）•（x，y）=-5y，当y取最大值时，f（x）取最小值f（m），

所表示的平面区域如图所示

由，可得y=，所以f(m)=-5×=-5(1-)=-5+，

由于m≥2，所以当m=2时，f(m)max=，故选A．

5．设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为(     )

A.1               B.2                  C.3                       D.4

【答案】．C 

【解析】试题分析：由条件，∵是的重心，则有，即，而.

6．如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（    ）

A.           B.               C.                      D.4

【答案】A

【解析】如图令，由于故,,

如图，AB=1，故，,故，同理可求得，所以，

所以的最大值为2.

二、填空题

7．在直角梯形分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是__________．

【答案】．

【解析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，依题意得，，设，依题意，即，，两式相减得，，.

8．在中，，，设交于点，且，，则的值为         ．

【答案】．

【解析】由题设可得,即,

也即,所以,解之得,故,应填