高考第30讲数列高考选择填空压轴题专练

第三十讲 数列高考选择填空压轴题专题练

A组

一、选择题

1．若数列的通项公式分别为， ，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】 可得 ，若 是偶数，不等式等价于 恒成立，可得 ，若 是奇数，不等式等价于 ，即 ，所以 ，综上可得实数 的取值范围是 ，故选D．

2．已知数列满足， ，若，则数列的通项（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】 , , ,

则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列，

，利用叠加法， ，

，则.选B.

3．等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（    ）

A. 3    B. 4    C. 5    D. 6

【答案】C

【解析】由题意可知且,可得,化简为,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当n=1时, .选C.

4．已知数列是各项均不为0的正项数列， 为前项和，且满足， ，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值为

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由得,,整理得,数列是各项均不为0的正项数列, ,

由,令可得， ,不等式即,当为偶数时， ， , ,当为奇数时， ， 单调递增， 取最小， ，综上可得，所以实数的最大值为.

5．各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】 设等差数列的公差为，

则当时， ，

当时， ，

联立方程组得，可得，

所以，

故选A.

6．已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是

A. (1,3)    B.     C. (2,3)    D.

【答案】C

【解析】因为是递增数列,所以,解得,即,故选C.

二、填空题

7．已知数列的首项为，前项和为，且（且），.若，则使数列为等比数列的所有数对为__________．

【答案】

【解析】本题主要考査等比数列的应用.

当时，由，解得.

当时， ,∴，即.

又,∴，即是首项为,公比为的等比数列，∴，

∵，∴.

∴

.

若为等比数列，则有解得

故满足条件的数对是.

8．已知函数，点O为坐标原点，点，向量，θn是向量与的夹角，则使得  恒成立的实数t的取值范围为 ___________．

【答案】

【解析】根据题意得, 是直线OAn的倾斜角，则：

，据此可得：

结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.

9．若数列满足（， 为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．

【答案】100

【解析】因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以， ，所以， ，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100．

10．若满足约束条件，等差数列满足， ，其前项为，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立 ，解得 ， ，所以公差 ， ，设  ，当直线过点 时，有最大值 ，即 最大值为，故答案为.

11．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”. 将数列1，2进行 “扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…. 设第次“扩展”后所得数列为，并记，则数列的通项公式为______.

【答案】

【解析】.

则

且 ,

据此可得数列 是首项为 ，公比为3的等比数列，

则 .

12．已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和__________．

【答案】

【解析】因为，故,取对数可得,故，故是以1为首项，2为公比的等比数列，故,故，则，因为，故两边取倒数可得,故数列的前项和

13．把正整数按一定的规则排成了如下图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为_________.

【答案】107

【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数数列，偶数行为偶数列， ，

所以为第个奇数，又前个奇数行内数的个数的和为，

前个奇数行内数的个数的和为，故在第个奇数行内，所以，

因为第行的第一个数为，

解得，即，所以.

14．已知数列满足，若，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】由题意可得： ，

即： ，整理可得： ，

又 ，则数列 是首项为-10，公比为 的等比数列，

，

则： ,

很明显， 为偶数时可能取得最大值，由 可得： ，

则的最大值为.

15．数列满足，则数列的前100项和为__________．

【答案】

【解析】由于的周期为，

，

，

，于是得到；

同理可求出， ，……

由此，数列的前100项和可以转化为以6为首项，8为公比的等差数列的前25项和，所以前100项和为 .

B组

一、选择题

1．设数列为等差数列， 为其前项和，若， ， ，则的最大值为（   ）

A. 3    B. 4    C.     D.

【答案】B

【解析】∵S4≥10，S5≤15
∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15
∴a5≤5，a3≤3
即：a1+4d≤5，a1+2d≤3
两式相加得：2（a1+3d）≤8
∴a4≤4
故答案是4

2．设等差数列的前项和为，其中且．则数列的前项和的最大值为（　）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由题意可得,可得，又，可得， ， ，

，可知取最大值。选D.

3．已知递增数列对任意均满足，记 ，则数列的前项和等于（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】因为，所以，若，那矛盾，若，那么成立，若，那矛盾，所以 ，当，所以，即，数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以前项和为，故选D.

4．斐波那契数列满足： .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（    ）

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】对于A,由图可知， ，可得 ，A正确；对于B, ,所以B正确；对于C, 时， ；C错误；对于D, ,D正确.故选C.

5．已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水（：单位： ）.现将甲容器中的液体倒人乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精（单位： ），下列关于数列的说法正确的是（   ）

A. 当时，数列有最大值

B. 设，则数列为递减数列

C. 对任意的，始终有

D. 对任意的，都有

【答案】D

【解析】当趋于正无穷时，甲、乙两容器浓度应趋于相等，当时，显然，当 时，甲容器有剩余，显然，故D正确，A，B错误，对于C，可设，则，此时，C错误.

6．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）.令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记，则下列结论错误的是（    ）

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】根据题中的规律可得：

以此类推得： 为正整数），因此 ，且 ， ，所以 ，故选C.

二、       填空题

7．各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则__________．

【答案】50

【解析】由题意：

.

8．已知数列的前项和为且，记，若对恒成立，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】 ,   即

为首项为 ，公差为 的等差数列， ， ， ，由 得 ，因为 或 时， 有最大值 ， ，即 的最小值为，故答案为 .

9．等比数列的首项为2，公比为3，前项的和为，若的最小值为____．

【答案】

【解析】由题意可得，所以=，即，由=（）（）=，等号成立条件是。填

【点睛】

本题由数列可得，要求的最小值，我们常用的方法是“1的妙用”，即在=（）（），再展开利用均值不等式可解。

10．已知数列满足， ，且，则数列的前项和取最大值时， __________．

【答案】．

【解析】由题知当为奇数时， ，当为偶数时， ．又，可得．当时，有即，当时，有，即，当时，有，即．由可得，由可得，则都是等差数列．

．则当时， 取最大值．故本题填．

11．在数列中， ，若平面向量与平行，则的通项公式为__________．

【答案】

【解析】因为 与平行，所以，整理为： ，两边同时除以 ，可得 ，设 ，那么 ，采用累加法， ，整理为 ，而 ，所以 ，那么 ，故填： .

12．已知数列中， ，数列满足： ，设为数列的前项和，当时有最小值，则的取值范围是____________.

【答案】

【解析】 由题意得，数列满足，

则，所以，

所以数列构成公差为的等差数列，所以，

所以，

因为当时， 取得最小值，所以，

即 ，解得.

13．已知数列的前 项和为 ，且满足，设，若存在正整数，使得成等差数列，则__________．

【答案】

【解析】当时，得；当时，由和，得，即，则， ，若存在正整数，使得成等差数列，则，即，易知是方程的一组解，当时且时， ，即数列为递减数列，所以，即无正整数解，即存在唯一的，使得成等差数列，则.

14．设数列的前向和为，且 为等差数列，则的通项公式__________．

【答案】

【解析】令，由已知条件可知，又为等差数列，则，又，得，当时， ，可得，即，得是以为公比， 为首项的等比数列，可得，则， 也满足．故本题应填

15．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对， 恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由得（），

两式相减得： （），所以（），

两式相减得： （），

所以，数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的

等差数列，

将代入及可得，

将代入（）可得，且，

要使得， 恒成立，只需要即可，

所以，解得： ，即实数的取值范围是．

C组

一、选择题

1．已知正项数列的前项和为，且， ， 现有下列说法：①；

②当为奇数时， ； ③.则上述说法正确的个数为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】因为，故，即；当时， ，故；当时， ，所以，即，又，所以，所以，所以当为奇数时， ； ， 所以；综上所述，①②③都正确.选D.

2．已知函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由题意得 ，所以 ，从而 ，即，选B.

3．设是函数的导数， 是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（   ）

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

【答案】D

【解析】解：由题意可得： ，由 可得： ，

即题中的三次函数关于点 中心对称；

结合数列的通项公式可知：

本题选择D选项.

4．在各项均为正数的等比数列中，若,数列的前项积为，且，则的值为（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】因为，所以，即.

又，由，得. 选.

5．设等差数列的前项和为，已知， ，则下列选项正确的是（    ）

A. ，     B. ，     C. ，     D. ，

【答案】A

【解析】由， 可得： ，构造函数，显然函数是奇函数且为增函数，所以， ，又所以所以，故

6．数列满足，且对任意，数列的前项和为，则 的整数部分是 （   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】解：由数列的递推公式可得： ，

结合递推公式，当 时： ，

且有： ，

故： ，

据此可得： 的整数部分为 .

本题选择B选项.

二、       填空题

7．设， ，…是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则所有可能满足条件的值为__________．

【答案】4

【解析】当时，则从满足题设的数列中删去任意一项后得到的新数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差又成等比数列，故知原数列的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数，当时，删去的必为第二或第三项，若删去第二项，利用成等比中项知，此方程有解，所以可以，同理删去第三项验证亦可，故可以，当时，只能删去第三项，且，此方程组无解，故，不可以，综上应填．

8．已知各项都为整数的数列中， ，且对任意的，满足， ，则__________．

【答案】

【解析】由，得，两式相加得，又 ， ，所以，从而

.

9．在数列及中， ， ， .设，则数列的前项和为__________．

【答案】4034

【解析】由递推关系有： ，

且，据此可知数列是各项均为2的常数列，

数列的前项和为.

10．已知①当时， ,则__________.当时，若有三个不等实数根，且它们成等差数列，则___________.

【答案】  4 

【解析】①，若，则，无实数解；若，则， 或，只有符合，故；

②易知时， 若有两解，方程化为，令，则，解得或，不合题意，从而此时方程只有一根，那么当时， 有两根，即和都是根，根据题意三根成等差数列，则第三个根为，由，得，经检验符合题意，所以．

11．已知为数列的前项和， ，若，则__________．

【答案】

【解析】因为，所以数列为等比数列

所以，

又，则  

.

12．已知定义在上的奇函数满足， 为数列的前项和，且，则__________．

【答案】3

【解析】   ∵，又∵，∴.

∴.

∴是以3为周期的周期函数.

∵数列满足，且，两式相减整理得 是以 为公比的等比数列， ，∴.

∴,故答案为.

13．已知是上可导的增函数， 是上可导的奇函数，对， 都有成立，等差数列的前项和为， 同时满足下列两条件： ， ，则的值为__________．

【答案】

【解析】解：由题意可知：

，

据此可知，函数 是R上的奇函数，

又 ，故： ，

由等差数列前n项和公式有： .

14．已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】已知   

当时，

当时，

所以

经检验， 时，通项公式也成立

所以

故 

所以数列是等比数列

设其的前和为

所以

所以范围为

15．已知定义域为的函数满足，当时， ，设在上的最大值为，且数列的前项和为，则__________．

【答案】

【解析】当时，函数对称轴为，开口向下，故最大值为.由于，即从起，每隔两个单位长度的图像就是前一个区间图像的一半，故最大值是以为首项，公比为的等比数列，其前项和.

16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2 018对应于________．

【答案】(45，19)

【解析】由数阵的排列规律知，数阵中的前行共有 项，当 时，共有990项，又数阵中的偶数2018是数列 的第1009项，
且 ，因此2018是数阵中第45行的第19个数，数阵中的数2018对应于