第03讲 函数的性质选择填空压轴题专练（解析版）

 第03讲函数的性质选择填空压轴题专练

 A组

一、选择题

1．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=（   ）

A．−2                B．−1         C．0           D．2

【答案】D

【解析】当时，为奇函数，且当时，，

所以．而，所以，故选D．

2． 已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是

(A)                (B)             (C)           (D)

【答案】C

【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且，

所以，即，

因为函数在区间单调递增，所以，即，

所以，解得，即a的取值范围是，选C.

3．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（      ）

A．                    B．

C．                D．

【答案】B

【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.

[来源:学+科+网Z+X+X+K]

4．已知函数，且，则当时，的取值范围是（   ）

A．                  B．             

C．             D．

【答案】A

【解析】

由于，所以函数为奇函数，为增函数.由得到，根据函数的单调性，有，即，由于故点表示的是圆心为半径为的圆的上半部分，包括圆内.的几何意义是两点连线的斜率的取值范围，画出图像如下图所示，由图可知，斜率的最小值为，斜率的最大值为，由于，利用二倍角的正切值得.

5．已知满足对，，且时，（为常数），则的值为（    ）

A.4           B.-4         C.6          D.-6

【答案】B

【解析】由题意满足对，，即函数为奇函数，由奇函数的性质可得则当时，，故，选B

6．已知函数，且，则当时，的取值范围是（   ）

A．              B．

C．              D．

【答案】C

【解析】由函数，则，所以函数为奇函数，所以不等式可转化为，又因为

，所以函数为单调递增函数，所以可得

，又，所以表示圆心在，半径为的上半圆．设，则可得

，则在区间上为单调递减函数，则当时，，所以的取值范围是，故选C．

7．设函数且，则实数的取值范围为（   ）

A．            B．

C．            D．

【答案】C

【解析】由函数，令，则，所以，即，即，又函数为单调递增函数，所以，解得，故选C．

8．已知函数 ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A．            B．          

C．              D．

【答案】B

【解析】对于函数 ，当时，；当时，，则函数的最大值为，则要使不等式恒成立，则，解得，故选B．

9．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的都有，若动点满足等式，则的最大值为（   ）

A．       B．         C．            D．

【答案】C

【解析】因为对任意的都有，令，∴，∴．令，∴，∴，该函数为奇函数．∵．∴．∵是定义在上的单调函数．∴，即．整理，得．令，∴

，∴，故选C．

10．已知函数的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则的取值范围是（   ）

A．           B．

C．               D．

【答案】D

【解析】当时,函数,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B不正确．当时,函数,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C也不正确．当时,函数,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A也不正确．故应选D．

11．已知定义在上的函数满足下列三个条件

①对任意的都有；

②对任意的，都有；

③的图象关于轴对称，则的大小关系为（   ）

A．                    B．

C．                    D．

【答案】D

【解析】由题意可知函数是周期为的周期函数,且关于直线对称,因为,且在区间上单调递增,所以,应选D.

12．函数的图象关于轴对称，且对任意都有，若当时，，则（   ）

A．         B．         C.         D．4

【答案】A

【解析】因为函数对任意都有，所以，函数是周期为的函数，，由可得，因为函数的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，，所以，故选A.

13．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：

①；

②函数是偶函数；

③任意一个非零有理数，对任意恒成立；

④存在三个点，， ，使得为等边三角形．

其中真命题的个数是（   ）

A．4   B．3   C．2   D．1

【答案】A

【解析】由是有理数 ，故命题①正确；易得是偶函数，故②正确；易得是偶函数，故③正确；取，可得为等边三角形 ，故④正确，综上真命题的个数有个.

二、填空题

14．（2018北京高考）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】令，则对任意的都成立，但在上不是增函数．

又如，令，则，对任意的都成立，但在上不是增函数．

15．函数，，若对，，，则实数的最小值是         ．

【答案】

【解析】，对称轴，在区间递减，∴，，是增函数，∴，，∴只需即可，解得：，故答案为：．

16．已知函数,则

的值是         ．

【答案】

【解析】因,故,所以,应填.

17．定义在上的函数满足：，当时，有，且．设，则实数m与－1的大小关系是                ．

【答案】

【解析】∵函数满足，令得；令得．

∴在为奇函数，单调减函数且在时，，则在时．又，

∵，

18．已知函数是周期为2的奇函数，当时，，则        .

【答案】

【解析】因为函数是周期为2的奇函数，所以，即应填.

三、解答题

19．已知函数，

（1）求不等式的解集；

（2）若对一切，均有成立，求实数m的取值范围．

【解析】（1），     ∴（2x＋4）（x－4）<0，∴－2<x<4，[来源:Zxxk.Com][来源:学|科|网Z|X|X|K]

∴不等式g（x）<0的解集为{x|－2<x<4}．

（2）∵f（x）＝x2－2x－8．      当x>2时，f（x）≥（m＋2）x－m－15恒成立，

∴x2－2x－8≥（m＋2）x－m－15，       即x2－4x＋7≥m（x－1）．

∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．

而＝（x－1）＋－2≥2－2＝2（当x＝3时等号成立）．

∴实数m的取值范围是（－∞，2].

B组

一、选择题

1．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】

【解析】不等式为(*)，

当时，(*)式即为，，[来源:Zxxk.Com]

又（时取等号），

（时取等号），所以，

当时，(*)式为，，

又（当时取等号），（当时取等号），

所以，

综上．故选A．

2．已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（   ）

A．0    B．m    C．2m     D．4m

【答案】B

【解析】由得，可知关于对称，

而也关于对称，∴对于每一组对称点 ，

∴，故选B．

3．若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围（   ）

A．    B．    C．   D．

【答案】C

【解析】因为 所以，，要对任意实数，都成立，

只需 ，即，故选C .

4．已知函数，则关于的不等式的解集为（   ）

A．               B．                 C．              D．

【答案】A

【解析】，设，，所以为奇函数，图像关于原点对称，要，只需.

5．已知函数，若不等式<0对任意均成立，则的取值范围为（    ）

A.       B.  

C.  D.

【答案】A

【解析】因为，且单调递增，所以函数为R上单调递增的奇函数，从而

又，当且仅当时取等号，所以的取值范围为，选A.

6．已知, 下列结论正确的是（   ）

A．                             B．

C．                             D．

【答案】B

【解析】因函数,故函数是奇函数,且在单调递增,由于,所以 ,故应选B.

7．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（   ）

A．            B．           

C．                 D．

【答案】C

【解析】由于“函数的图象关于点对称”，故图象关于原点对称，为奇函数，不妨设.根据，得，作图象如下图所示，故最大值为.当时，过，由图象可知还不是最小值，不合题意，故选C.

8．定义区间的长度为（），函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为（   ）

A．                B．-3               C．1               D．3

【答案】D

【解析】设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增，则，故是方程的同号的相异实数根，即的同号的相异实数根，∵，∴同号，只需，

∴或，，取最大值为．此时，故选：D．

9．已知函数满足，若函数与图像的交点为 则

（A）0       （B）m         （C）2m         （D）4m

【答案】B

【解析】由于，不妨设，其图像与函数的图像的交点为，故，故选B.

10．定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．     D．

【答案】B

【解析】，，由题意方程即在上有两个不等实根．

所以，解得．故选B．

11．已知定义在上的函数满足: 的图像关于点对称，且当时恒有，当时，，则（   ）

A．       B．       C．       D．

【答案】A

【解析】的图象关于点对称，则关于原点对称，．当时恒有，则函数周期为.所以.

12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为（    ）

A.－1        B.0         C.1         D.2

【答案】B

【解析】由f(x+2)=－f(x)可知函数具有周期性，周期

二、填空题

13．已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：

①；

②为函数图象的一条对称轴；

③在单调递增；

④若方程在上的两根为、，则．

以上命题中所有正确命题的序号为          ．

【答案】①②④

【解析】①依题意，,令,则,∴ ；②,∴函数周期为,偶函数的对称轴是,∴是的对称轴；③在上递减,又函数周期为，∴函数在上递减；④在上递增，且为偶函数,∴ 在上递减,∴在上递减,图象关于对称,∴ 两个根的和为,故正确的有①②④.

14．函数对任意都有，则称为在区间上的可控函数，区间称为函数的“可控”区间，写出函数的一个“可控”区间是________.

【答案】的子集都可以

【解析】因为,由可控函数的定义可得,即

,所以区间应为的一个子区间.

15．给出下列命题：

（1）设与是定义在上的两个函数，若恒成立，且为奇函数，则也是奇函数；

（2）若，都有成立，且函数在上递增，则在上也递增；

（3）已知，函数，若函数在上的最大值比最小值多，则实数的取值集合为；

（4）存在不同的实数，使得关于的方程的根的个数为2个、4个、5个、8个．

则所有正确命题的序号为________．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）为真，令即可；（2）为真，不妨设，则即即．（3）为假，作图后如果定势思维很容易漏掉，加大可得正确答案（4）为真，方程与函数图象结合，关于的方程若一正一负，正大于，此时有根；若一零一，此时有根；若判别式，此时有根；若两个均为正，则有个根．

三、解答题

16．已知函数.

（1）求的值；

（2）当（其中，且a是常数）时，若恒成立，求m的取值范围.

【解析】（1）由

又，为奇函数.=0    

（2）设，则，

，

，即

恒成立，即恒成立

令，则在定义域上是减函数，

则．

17．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．

（1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意∈[0,1]，总存在∈[0,1]，使得=成立，求实数的值．

【解析】（1），

设 则  则，．

由已知性质得，当，即时，单调递减；所以减区间为；

当，即时，单调递增；所以增区间为；

由，得的值域为． 为减函数，

故．

由题意，的值域是的值域的子集，         

C组

一、选择题

1．是定义在上的奇函数，且，当时，，则当时，不等式的解集是（   ）

A．    B．      C．   D．

【答案】D

【解析】当时，不等式即为，所以；当时，，所以

，当时，，由可得，不等式可转化为即，所以，综上所述：不等式的解集是，故选D.

2．已知函数，，，若图象上存在，两个不同的点与图象上，两点关于轴对称，则的取值范围为（    ）

A．    B．   C．     D．

【答案】D.

【解析】设函数图象上任一点，其关于轴的对称点为，

∴由题意可知方程在上有两个不等实根，∴，即实数的取值范围是，故选D．

3．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（  ）

A．           B．      C．        D．

【答案】D

【解析】设，则．由，知，即，所以函数为减函数．因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以，所以，即．因为，而在条件下，易求得，所以，所以，所以，即，故选D．

4．设和是定义在同一个区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围是（    ）

A．    B．      C．   D．

【答案】A

【解析】由题意，方程在上有两不等实根，设，则，解得．故选A．

5．已知函数，则（   ）

A．1007       B．1008          C．2014       D．2015

【答案】A

【解析】函数，则

，所以

，

6．设函数，若,则实数的取值范围是（    ）

A．         B．        C．       D．

【答案】D

【解析】由题若即当时，此时即为结合即，可知此时；当时，此时即为结合即，取交集即为，综上 实数的取值范围是

7．已知，在上任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形，则m的取值范围为（     ）

A．   B．   C．   D．

【答案】A

【解析】设，在上的最大值为，最小值为，则题意等价于，又，所以，又，成立，在上单调递增，，由得，得，故选A．

8．已知函数的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则的取值范围是（    ）

A．         B．        C.         D．

【答案】D

【解析】由题意，问题转化为函数与的图象恰有三个公共点，显然时，不满足条件，当时，画出草图如图，

方程，即有两个小于的实数根.

结合图形，有，∴.选D。

9．设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ）

A．-1        B．1       C．2        D．4

【答案】C

【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以， 所以，故选C．

10．已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可知在上有根，等价于，令，则，若则，若，则，所以在单调增，在单调减，又，，，所以的取值范围是，故选A．

二、填空题

11．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【解析】∵函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，而函数y=kx-1关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-1，∴的图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，

作函数的图象与y=-kx-1的图象如下，

易知直线y=-kx-1恒过点A（0，-1），设直线AC与y=xlnx-2x相切于点C（x，xlnx-2x），y′=lnx-1，

故，解得，x=1；故kAC=-1；设直线AB与相切于点B，

y′=2x+，故，解得，x=-1；故；故-1＜-k＜-，故＜k＜1；

12．已知函数满足，若函数与图像的交点为 则     .

【答案】

【解析】所以的图象关于点对称，也关于点对称，

三、解答题

13．已知函数的图象过点，且对任意实数都成立，函数与的图象关于原点对称．

（1）求与的解析式；

（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．

【解析】（1）的图象过点，∴，

又对任意实数都成立，∴，，，∴，

又函数与的图象关于原点对称，

∴，．

（2）∵，

∴在上是增函数，

当，即时，符合题意；

当，且，即符合题意；

当，且，即符合题意．[来源:学科网]

综上可知．