人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教案及反思

的图象与性质

【学习目标】

1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象；

2．明确函数（、、为常数，）中常数、、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念。

【要点梳理】

要点一：用五点法作函数的图象

用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.

要点诠释：用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.

要点二：函数中有关概念

表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.

要点三：由得图象通过变换得到的图象

1.振幅变换：

(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A，A]，最大值是A，最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.

2.周期变换：

函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.

3.相位变换：

函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).

要点诠释：一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：

(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；

(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；

(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变).

【典型例题】

类型一：三角函数的图象

例1.画出函数y=sin(x+)，x∈R的简图.

【解析】

法一：(五点法)：

列表

描点画图：

法二：(图象变换)

函数y=sin(x+)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.

例2.画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图.

【解析】(五点法)由，得，列表：

描点画图：

这种曲线也可由图象变换得到：

【变式1】已知函数，

（1）用五点法画出函数图象；

（2）指出它的图象与函数的图象间的关系。

【解析】  （1）由，列表如下：

描点画图，如下图所示：

把之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图。

（2）该函数的图象将函数的图象上每一点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变。

【变式2】如何由y=sin x的图象变化到的图象？

【解析】

 解法一：

。

解法二：

。

类型二：三角函数的解析式

例3.如图，它是函数，的图象，由图中条件，写出该函数解析式.

【思路点拨】由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出，再由题意知，点(，5)在此函数的图象上，由此求出.

【解析】 A=5，

由点(，5)在此函数的图象上，则

法一：(单调性法)

∵点在递减的那段曲线上

∴

由得

∴

∵.

法二：(最值点法)

将最高点坐标(，5)代入得

∴

∴取.

法三：(起始点法)

函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角.由图象求得，∴

法四：(平移法)

由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为，即.

【变式1】函数的图象如下图，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析。

【思路点拨】 本题主要考查正弦型函数解析式的求法及识图能力，由图知A=3，，则，可由点或或确定。

【解析】

方法一：（逐一定参法）

由图象知，振幅A=3，又，

∴。由点，令，得。

∴。

方法二：（待定系数法）

由图象知A=3，又图过点和，根据五点作图法原来（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有，解得ω=2，。

∴。

【变式2】（1）已知函数的图象如下图①所示，求解析式：

（2）函数的图象如下图②所示，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析式。

【解析】  （1）∵T=(2+1)×4=12，∴。

∵C点为第四点，∴，∴。

∵，∴。

又∵点在图象上，∴。

∴A=2，∴。

（2）由题图知，振幅A=3，又，

∴。

由点，令，得。

∴。

类型三：函数的性质的综合运用

例4．函数的图象如图所示，试依图推出：

（1）的最小正周期；

（2）时x的取值集合；

（3）使的x的取值集合；

（4）的单调递增区间和递减区间；

（5）使取最小值时的x的取值集合；

（6）图象的对称轴方程；

（7）图象的对称中心；

（8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？

【思路点拨】先由图象得到函数的最小正周期，后面的问题可迎刃而解。

【解析】 （1）。

（2）在一个周期中，使的x是，π，。

故所求的x的取值集合是。

（3）使的x的取值集合是。

（4）的单调递增区间是；

单调递减区间是。

（5）取最小值时x的取值集合是。

（6）对称轴方程是。

（7）对称中心是。

（8）要使成为偶函数，可以把其图象向左平移个单位长度。

【变式1】已知函数，，其中，。若的最小正周期为6π，且当时，取得最大值，则（    ）

A．在区间[―2π，0]上是增函数

B．在区间[―3π，―π]上是增函数

C．在区间[3π，5π]上是减函数

D．在区间[4π，6π]上是减函数

【答案】A

s【变式2】已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是。

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的递增区间。

【解析】（1）依题意得：，周期,

,故，又图象过点，

，解得：，即

。

（2）由

得：

故函数的递增区间为：。