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必修 第二册1 行星的运动导学案
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这是一份必修 第二册1 行星的运动导学案，共14页。学案主要包含了“地心说”和“日心说”，开普勒定律，圆周运动模型等内容，欢迎下载使用。
第七章 万有引力与宇宙航行
1．行星的运动
一、“地心说”和“日心说”
1．地心说：地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。代表人物：托勒密。
2．日心说：太阳是宇宙的中心，是静止不动的，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动。代表人物：哥白尼。
太阳系一共有几个行星？根据到太阳距离从近到远的排列顺序是什么？
提示：八个；水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。
3．局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而与丹麦天文学家第谷的观测数据不符。
二、开普勒定律
1．开普勒第一定律：
(1)内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
(2)图示：
2．开普勒第二定律：
(1)内容：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
(2)图示：
3．开普勒第三定律：
(1)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
(2)表达式：＝k。(用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期)
(3)图示：
三、圆周运动模型
实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段我们可以按圆轨道处理，开普勒定律的内容可以这样说：
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
3．绕同一中心天体运动的所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方跟的比值都向相等，即 eq \f(r3,T2) ＝k。
某同学学习了行星的运动后，总结出以下结论：
①太阳每天东升西落，这一现象说明太阳绕着地球运动。
②开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动。
③同一行星沿椭圆轨道绕太阳运动，靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小。
④行星轨道的半长轴越长，行星的周期越长。
⑤开普勒第三定律中的常量k与行星无关，与太阳也无关。
你的判断：正确的结论有③④。
占星术中经常会出现一种叫作“水逆”的概念，即：水星逆行。在地球上观察，水星大多数时间是从西向东移动，但有时却要停下来，然后向西移动一段时间。
思考：水星为什么会出现如此怪异的现象呢？
提示：水星逆行并非水星的实际运行方向反向，而是以地球为参考系、由于地球自转带来视觉上的轨迹改变。
P45【做一做】
著名的哈雷彗星具有一个非常扁平的轨道，根据课本上椭圆的作图方法，应该怎样才能画出这样的轨道呢？
提示：保持绳长不变，两焦点距离不断增大时，作出的椭圆会越来越扁。
一、开普勒定律的理解(物理观念——相对运动观念)
1．开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题：
行星的轨道都是椭圆。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。开普勒第一定律又叫轨道定律。
2.开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题：
(1)如图所示，在相等的时间间隔内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。开普勒第二定律又叫面积定律。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点。同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3．开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题：
(1)由 eq \f(a3,T2) ＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长。k只与太阳有关，所有行星k值都相同。开普勒第三定律也叫周期定律。
(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关而与卫星无关，也就是说k值大小由中心天体决定。
【典例】(2021·台州高一检测)在2021年春节联欢晚会上，“天问一号”火星探测器系统总设计师孙泽洲现场宣布：“天问一号”成功被火星捕获，成为火星的人造卫星。这也正式拉开了我国探索火星的序幕。结合开普勒行星运动定律，我们可以判断下列对火星的说法正确的是( )
A．太阳位于火星运行轨道的中心
B．火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星和地球公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
【解析】选C。太阳位于火星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A项错误；由于火星沿椭圆轨道绕太阳运行，火星绕太阳运行的速度大小在变化，故B项错误；根据开普勒行星运动定律可知，火星与地球公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方，故C项正确；相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于地球与太阳连线扫过的面积，故D项错误。
关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( )
A．所有的行星都绕太阳做圆周运动
B．对任意一个行星，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积
C．在 eq \f(a3,T2) ＝k中，k是与太阳无关的常量
D．开普勒行星运动定律仅适用于行星绕太阳运动
【解析】选B。所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A项错误；对任意一个行星，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，故B项正确；在 eq \f(a3,T2) ＝k中，k是与太阳有关的常量，故C项错误；开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动，还适用于宇宙中卫星绕行星的运动，故D项错误。
【补偿训练】(多选)16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心体系”宇宙图景，即“日心说”的如下基本论点，这四个基本论点目前看存在缺陷的是( )
A．宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B．地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运动的同时还跟地球一起绕太阳运动
C．天穹不转动，因为地球每天自西向东转一周，造成天体每天东升西落的现象
D．与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多
【解析】选A、B、C。所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆轨道的一个焦点上；行星在椭圆轨道上运动的周期T和轨道半长轴a满足 eq \f(a3,T2) ＝恒量，故所有行星实际并不是在做匀速圆周运动，整个宇宙是在不停运动的，A、B、C符合题意；与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，故D不符合题意。
二、开普勒定律的应用(科学思维——科学推理)
如表所给出的是太阳系中八大行星绕太阳做椭圆运动的平均轨道半径的数值和周期的数值。从表中任意选择三个行星验证开普勒第三定律，并计算常量k＝ eq \f(r3,T2) 的值。
通过计算得出的k值是否相同？
提示：通过计算得出k值近似相等。
1．适用范围：天体的运动可近似看成匀速圆周运动，开普勒第三定律既适用于做匀速圆周运动的天体，也适用于做椭圆运动的天体。
2．用途：
(1)知道了行星到太阳的距离，就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期。反之，知道了行星的周期，也可以计算或比较其到太阳的距离。
(2)知道了彗星的周期，就可以由开普勒第三定律计算彗星轨道的半长轴长度，反之，知道了彗星的半长轴也可以求出彗星的周期。
3．k值：表达式 eq \f(a3,T2) ＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关，如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关。
【典例】1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”。若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为( )
A． R B． eq \r(3.4) R C．R D． eq \r(11.56) R
【解析】选C。根据开普勒第三定律，有 eq \f(R eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(钱)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(钱)) ) ＝ eq \f(R3,T2) ，解得R钱＝R＝R，故C项正确。
应用开普勒第三定律的步骤
(1)判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立。
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系。
(3)根据开普勒第三定律 eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝k，列式求解。
【典例加练】
如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的 eq \f(1,9) ，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约
是( )
A． eq \f(1,9) 天 B． eq \f(1,3) 天 C．1天 D．9天
【解析】选C。由于r卫＝ eq \f(1,9) r月，T月＝27天，由开普勒第三定律 eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(卫)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(卫)) ) ＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(月)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(月)) ) ，可得T卫＝1天，故选项C正确。
1．(教材二次开发·教材P48【练习与应用】T1变式题)木星的公转周期约为12年，若把地球到太阳的距离作为1天文单位，则木星到太阳的距离约为( )
A．2天文单位 B．4天文单位
C．5天文单位 D．12天文单位
【解析】选C。木星、地球都环绕太阳沿椭圆轨道运动，近似计算时可当成圆轨道处理，因此它们到太阳的距离可当成是绕太阳公转的轨道半径，根据开普勒第三定律得 eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(木)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(木)) ) ＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(地)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ) ，r木＝ eq \r(3,\f(T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(木)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) )) ·r地≈5天文单位，C正确。
2．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半径长轴约等于地球轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律(即 eq \f(r3,T2) ＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴)估算。它下次飞近地球是哪一年？
【解析】由 eq \f(r3,T2) ＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴，k是对太阳系中的任何行星都适用的常量。可以根据已知条件列方程求解。将地球的公转轨道近似成圆形轨道，其周期为T1，半径为r1；哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为r2，则根据开普勒第三定律有： eq \f(T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ) ，因为r2＝18r1，地球公转周期为1年，所以可知哈雷彗星的周期为T2＝ eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) )) ×T1＝76.4年。所以它下次飞近地球是在2 062年。
答案：2 062年
【拓展例题】考查内容：微元法在开普勒第二定律中的应用
【典例】某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )
A．vb＝ eq \f(b,a) va B．vb＝ eq \r(\f(a,b)) va
C．vb＝ eq \f(a,b) va D．vb＝ eq \r(\f(b,a)) va
【解析】选C。如题图所示，A、B分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律可知，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，取足够短的时间Δt，则有 eq \f(1,2) avaΔt＝ eq \f(1,2) bvbΔt，所以vb＝ eq \f(a,b) va，故C项正确。
神奇的节气
中国古代是一个农业社会，农作物的耕种需要严格了解太阳运行情况，农事完全根据太阳进行。为了指导农事，古人在历法中又加入单独反映太阳运行周期的“二十四节气”。二十四个时节和气候，是中华民族劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶。
这24个节气中包括：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满 、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒。其中，在二十四节气中，春分、秋分是日夜平分的日子，夏至、冬至分别是白天最长和最短的日子，各节气地球与太阳的位置关系如图所示。观察数据并分析，每个季节的天数一样吗？为什么会出现这种现象呢？
提示：由题图中的数据可知，四季的天数是不一样的，春分到夏至约为92天，夏至到秋分约为94天，秋分到冬至约为90天，冬至到春分约为89天。冬季比夏季天数要短。因为冬季地球到太阳的距离近，地球公转速度更快。
1．(水平1)关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
【解析】选A。由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A项正确，B项错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，故C、D项错误。
2．(水平1)(2021·嘉兴高一检测)行星绕恒星的运动轨道如果是圆形，那么它轨道半径r的三次方与运行周期T的平方的比为常量，设 eq \f(r3,T2) ＝k，则常量k的大小( )
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关
C．只与行星的质量有关
D．与恒星的质量及行星的速度有关
【解析】选A。 eq \f(r3,T2) ＝k，比值k是一个与行星无关的常量，只由恒星自身决定，A正确。
3．(水平2)如图所示，海王星绕太阳做椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于 eq \f(T0,4)
B．从Q到N所用时间等于 eq \f(T0,4)
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N所用时间等于 eq \f(T0,2)
【解析】选C。由开普勒第二定律知，从P至Q速率在减小，故C项正确，由对称性知，P→M→Q与Q→N→P所用的时间为 eq \f(T0,2) ，故从P到M所用时间小于 eq \f(T0,4) ，从Q→N所用时间大于 eq \f(T0,4) ，从M→N所用时间大于 eq \f(T0,2) ，故A、B、D项错误。
4．(水平2)已知两颗行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )
A． eq \f(a1,a2) ＝ eq \f(1,2) B． eq \f(a1,a2) ＝ eq \f(2,1)
C． eq \f(a1,a2) ＝ D． eq \f(a1,a2) ＝
【解析】选C。由 eq \f(a3,T2) ＝k知， eq \f(a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ) ＝ eq \f(T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ，则 eq \f(a1,a2) ＝，与行星质量无关，故C项正确。
【补偿训练】
行星的运动可看作匀速圆周运动，则行星绕太阳运动的轨道半径R的三次方与周期T的平方的比值为常量，即 eq \f(R3,T2) ＝k，下列说法正确的是( )
A．公式 eq \f(R3,T2) ＝k只适用于围绕太阳运行的行星
B．围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等
C．k值与被环绕星球的质量和行星或卫星的质量都有关系
D．k值仅由被环绕星球的质量决定
【解析】选D。公式 eq \f(R3,T2) ＝k适用于所有环绕天体围绕中心天体的运动，故A项错误；围绕同一星球运行的行星或卫星，k值相等；围绕不同星球运行的行星或卫星，k值不相等，故B项错误；常数k是由中心天体的质量决定的，即仅由被环绕星球的质量决定，故C项错误，D项正确。
行星
平均轨道半径/m
周期/s
水星
5.79×1010
7.60×106
金星
1.08×1011
1.94×107
地球
1.49×1011
3.16×107
火星
2.28×1011
5.94×107
木星
7.78×1011
3.74×108
土星
1.43×1012
9.30×108
天王星
2.87×1012
2.66×109
海王星
4.50×1012
5.20×109
第七章 万有引力与宇宙航行
1．行星的运动
一、“地心说”和“日心说”
1．地心说：地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。代表人物：托勒密。
2．日心说：太阳是宇宙的中心，是静止不动的，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动。代表人物：哥白尼。
太阳系一共有几个行星？根据到太阳距离从近到远的排列顺序是什么？
提示：八个；水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。
3．局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而与丹麦天文学家第谷的观测数据不符。
二、开普勒定律
1．开普勒第一定律：
(1)内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
(2)图示：
2．开普勒第二定律：
(1)内容：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
(2)图示：
3．开普勒第三定律：
(1)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
(2)表达式：＝k。(用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期)
(3)图示：
三、圆周运动模型
实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段我们可以按圆轨道处理，开普勒定律的内容可以这样说：
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
3．绕同一中心天体运动的所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方跟的比值都向相等，即 eq \f(r3,T2) ＝k。
某同学学习了行星的运动后，总结出以下结论：
①太阳每天东升西落，这一现象说明太阳绕着地球运动。
②开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动。
③同一行星沿椭圆轨道绕太阳运动，靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小。
④行星轨道的半长轴越长，行星的周期越长。
⑤开普勒第三定律中的常量k与行星无关，与太阳也无关。
你的判断：正确的结论有③④。
占星术中经常会出现一种叫作“水逆”的概念，即：水星逆行。在地球上观察，水星大多数时间是从西向东移动，但有时却要停下来，然后向西移动一段时间。
思考：水星为什么会出现如此怪异的现象呢？
提示：水星逆行并非水星的实际运行方向反向，而是以地球为参考系、由于地球自转带来视觉上的轨迹改变。
P45【做一做】
著名的哈雷彗星具有一个非常扁平的轨道，根据课本上椭圆的作图方法，应该怎样才能画出这样的轨道呢？
提示：保持绳长不变，两焦点距离不断增大时，作出的椭圆会越来越扁。
一、开普勒定律的理解(物理观念——相对运动观念)
1．开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题：
行星的轨道都是椭圆。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。开普勒第一定律又叫轨道定律。
2.开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题：
(1)如图所示，在相等的时间间隔内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。开普勒第二定律又叫面积定律。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点。同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3．开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题：
(1)由 eq \f(a3,T2) ＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长。k只与太阳有关，所有行星k值都相同。开普勒第三定律也叫周期定律。
(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关而与卫星无关，也就是说k值大小由中心天体决定。
【典例】(2021·台州高一检测)在2021年春节联欢晚会上，“天问一号”火星探测器系统总设计师孙泽洲现场宣布：“天问一号”成功被火星捕获，成为火星的人造卫星。这也正式拉开了我国探索火星的序幕。结合开普勒行星运动定律，我们可以判断下列对火星的说法正确的是( )
A．太阳位于火星运行轨道的中心
B．火星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星和地球公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
【解析】选C。太阳位于火星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A项错误；由于火星沿椭圆轨道绕太阳运行，火星绕太阳运行的速度大小在变化，故B项错误；根据开普勒行星运动定律可知，火星与地球公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方，故C项正确；相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于地球与太阳连线扫过的面积，故D项错误。
关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( )
A．所有的行星都绕太阳做圆周运动
B．对任意一个行星，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积
C．在 eq \f(a3,T2) ＝k中，k是与太阳无关的常量
D．开普勒行星运动定律仅适用于行星绕太阳运动
【解析】选B。所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A项错误；对任意一个行星，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，故B项正确；在 eq \f(a3,T2) ＝k中，k是与太阳有关的常量，故C项错误；开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动，还适用于宇宙中卫星绕行星的运动，故D项错误。
【补偿训练】(多选)16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心体系”宇宙图景，即“日心说”的如下基本论点，这四个基本论点目前看存在缺陷的是( )
A．宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B．地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运动的同时还跟地球一起绕太阳运动
C．天穹不转动，因为地球每天自西向东转一周，造成天体每天东升西落的现象
D．与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多
【解析】选A、B、C。所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆轨道的一个焦点上；行星在椭圆轨道上运动的周期T和轨道半长轴a满足 eq \f(a3,T2) ＝恒量，故所有行星实际并不是在做匀速圆周运动，整个宇宙是在不停运动的，A、B、C符合题意；与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，故D不符合题意。
二、开普勒定律的应用(科学思维——科学推理)
如表所给出的是太阳系中八大行星绕太阳做椭圆运动的平均轨道半径的数值和周期的数值。从表中任意选择三个行星验证开普勒第三定律，并计算常量k＝ eq \f(r3,T2) 的值。
通过计算得出的k值是否相同？
提示：通过计算得出k值近似相等。
1．适用范围：天体的运动可近似看成匀速圆周运动，开普勒第三定律既适用于做匀速圆周运动的天体，也适用于做椭圆运动的天体。
2．用途：
(1)知道了行星到太阳的距离，就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期。反之，知道了行星的周期，也可以计算或比较其到太阳的距离。
(2)知道了彗星的周期，就可以由开普勒第三定律计算彗星轨道的半长轴长度，反之，知道了彗星的半长轴也可以求出彗星的周期。
3．k值：表达式 eq \f(a3,T2) ＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关，如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关。
【典例】1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”。若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为( )
A． R B． eq \r(3.4) R C．R D． eq \r(11.56) R
【解析】选C。根据开普勒第三定律，有 eq \f(R eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(钱)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(钱)) ) ＝ eq \f(R3,T2) ，解得R钱＝R＝R，故C项正确。
应用开普勒第三定律的步骤
(1)判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立。
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系。
(3)根据开普勒第三定律 eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝k，列式求解。
【典例加练】
如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的 eq \f(1,9) ，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约
是( )
A． eq \f(1,9) 天 B． eq \f(1,3) 天 C．1天 D．9天
【解析】选C。由于r卫＝ eq \f(1,9) r月，T月＝27天，由开普勒第三定律 eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(卫)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(卫)) ) ＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(月)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(月)) ) ，可得T卫＝1天，故选项C正确。
1．(教材二次开发·教材P48【练习与应用】T1变式题)木星的公转周期约为12年，若把地球到太阳的距离作为1天文单位，则木星到太阳的距离约为( )
A．2天文单位 B．4天文单位
C．5天文单位 D．12天文单位
【解析】选C。木星、地球都环绕太阳沿椭圆轨道运动，近似计算时可当成圆轨道处理，因此它们到太阳的距离可当成是绕太阳公转的轨道半径，根据开普勒第三定律得 eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(木)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(木)) ) ＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(地)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ) ，r木＝ eq \r(3,\f(T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(木)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) )) ·r地≈5天文单位，C正确。
2．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半径长轴约等于地球轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律(即 eq \f(r3,T2) ＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴)估算。它下次飞近地球是哪一年？
【解析】由 eq \f(r3,T2) ＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴，k是对太阳系中的任何行星都适用的常量。可以根据已知条件列方程求解。将地球的公转轨道近似成圆形轨道，其周期为T1，半径为r1；哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为r2，则根据开普勒第三定律有： eq \f(T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ) ，因为r2＝18r1，地球公转周期为1年，所以可知哈雷彗星的周期为T2＝ eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) )) ×T1＝76.4年。所以它下次飞近地球是在2 062年。
答案：2 062年
【拓展例题】考查内容：微元法在开普勒第二定律中的应用
【典例】某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )
A．vb＝ eq \f(b,a) va B．vb＝ eq \r(\f(a,b)) va
C．vb＝ eq \f(a,b) va D．vb＝ eq \r(\f(b,a)) va
【解析】选C。如题图所示，A、B分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律可知，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，取足够短的时间Δt，则有 eq \f(1,2) avaΔt＝ eq \f(1,2) bvbΔt，所以vb＝ eq \f(a,b) va，故C项正确。
神奇的节气
中国古代是一个农业社会，农作物的耕种需要严格了解太阳运行情况，农事完全根据太阳进行。为了指导农事，古人在历法中又加入单独反映太阳运行周期的“二十四节气”。二十四个时节和气候，是中华民族劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶。
这24个节气中包括：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满 、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒。其中，在二十四节气中，春分、秋分是日夜平分的日子，夏至、冬至分别是白天最长和最短的日子，各节气地球与太阳的位置关系如图所示。观察数据并分析，每个季节的天数一样吗？为什么会出现这种现象呢？
提示：由题图中的数据可知，四季的天数是不一样的，春分到夏至约为92天，夏至到秋分约为94天，秋分到冬至约为90天，冬至到春分约为89天。冬季比夏季天数要短。因为冬季地球到太阳的距离近，地球公转速度更快。
1．(水平1)关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
【解析】选A。由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A项正确，B项错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，故C、D项错误。
2．(水平1)(2021·嘉兴高一检测)行星绕恒星的运动轨道如果是圆形，那么它轨道半径r的三次方与运行周期T的平方的比为常量，设 eq \f(r3,T2) ＝k，则常量k的大小( )
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关
C．只与行星的质量有关
D．与恒星的质量及行星的速度有关
【解析】选A。 eq \f(r3,T2) ＝k，比值k是一个与行星无关的常量，只由恒星自身决定，A正确。
3．(水平2)如图所示，海王星绕太阳做椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于 eq \f(T0,4)
B．从Q到N所用时间等于 eq \f(T0,4)
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N所用时间等于 eq \f(T0,2)
【解析】选C。由开普勒第二定律知，从P至Q速率在减小，故C项正确，由对称性知，P→M→Q与Q→N→P所用的时间为 eq \f(T0,2) ，故从P到M所用时间小于 eq \f(T0,4) ，从Q→N所用时间大于 eq \f(T0,4) ，从M→N所用时间大于 eq \f(T0,2) ，故A、B、D项错误。
4．(水平2)已知两颗行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )
A． eq \f(a1,a2) ＝ eq \f(1,2) B． eq \f(a1,a2) ＝ eq \f(2,1)
C． eq \f(a1,a2) ＝ D． eq \f(a1,a2) ＝
【解析】选C。由 eq \f(a3,T2) ＝k知， eq \f(a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ) ＝ eq \f(T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,T eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ，则 eq \f(a1,a2) ＝，与行星质量无关，故C项正确。
【补偿训练】
行星的运动可看作匀速圆周运动，则行星绕太阳运动的轨道半径R的三次方与周期T的平方的比值为常量，即 eq \f(R3,T2) ＝k，下列说法正确的是( )
A．公式 eq \f(R3,T2) ＝k只适用于围绕太阳运行的行星
B．围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等
C．k值与被环绕星球的质量和行星或卫星的质量都有关系
D．k值仅由被环绕星球的质量决定
【解析】选D。公式 eq \f(R3,T2) ＝k适用于所有环绕天体围绕中心天体的运动，故A项错误；围绕同一星球运行的行星或卫星，k值相等；围绕不同星球运行的行星或卫星，k值不相等，故B项错误；常数k是由中心天体的质量决定的，即仅由被环绕星球的质量决定，故C项错误，D项正确。
行星
平均轨道半径/m
周期/s
水星
5.79×1010
7.60×106
金星
1.08×1011
1.94×107
地球
1.49×1011
3.16×107
火星
2.28×1011
5.94×107
木星
7.78×1011
3.74×108
土星
1.43×1012
9.30×108
天王星
2.87×1012
2.66×109
海王星
4.50×1012
5.20×109
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