人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时精练

第2课时　空间中直线、平面的垂直

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2020云南楚雄高二检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,=3.若PN⊥BM,则λ=(　　)

A. B. 

C. D.

解析如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则P(λ,0,1),N,0,B(1,0,0),M0,1,,=-λ,,-1,=-1,1,,所以=λ-=0,即λ=.故选C.

答案C

2.(多选题)在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中一定成立的是(　　)

A.=0 

B.=0

C.=0 

D.=0

解析∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.

又AC⊥BD,AC∩PA=A,

∴BD⊥平面PAC,∵PC⊂平面PAC,∴PC⊥BD.

故A,B,D都成立.

答案ABD

3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 (　　)

A.EF至多与A1D,AC之一垂直

B.EF⊥A1D,EF⊥AC

C.EF与BD1相交

D.EF与BD1异面

解析建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则=(1,0,1),=(-1,1,0),E,0,,F,0,=,-,∴=0,=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又=(-1,-1,1),∴=-3,即EF与BD1平行.

答案B

4.已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=-1,y,.若α⊥β,则x-y=　　　　. 

解析因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.

答案-1

5.已知空间四点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则P的坐标为　　　　　. 

解析由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由,得=x-1+z=0,由,得=-2x-z=0,

解得故点P的坐标为(-1,0,2).

答案(-1,0,2)

6.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.

证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,

则E(a,x,0),F(a-x,a,0).

所以=(-x,a,-a),

=(a,x-a,-a).

因为=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,

所以,即A1F⊥C1E.

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.

证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设PA=h,

则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).

易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).

∵=-8+8+0=0,

=0,

∴CD⊥AE,CD⊥AP.

∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.

8.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA.

证明建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).

所以=(,1,-2),=(0,0,2),=(0,2,-1).分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则

即

解得

即

解得不妨取n1=(1,-,0),n2=(,1,2),

因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.

所以平面DEA⊥平面ECA.

关键能力提升练

9.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(　　)

A.,-,4 B.,-,4

C.,-2,4 D.4,,-15

解析∵,∴=0,

即3+5-2z=0,得z=4,

又BP⊥平面ABC,∴,

则解得

答案B

10.(2020天津一中高二月考)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为(　　)

A.8 B.4

C.8 D.

解析以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图.

则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0).

设M(4,a,b)(0≤a≤4,0≤b≤4),

则=(4,a,b-4),=(4,-4,2).∵D1M⊥CP,

∴=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,

∴M(4,a,2a-4),

∴|BM|=

=,

当a=时,|BM|取最小值,

易知|BC|=4,

∴S△BCM的最小值为×4×.故选D.

答案D

11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的有(　　)

A.AP⊥AB

B.AP⊥AD

C.是平面ABCD的一个法向量

D.

解析∵=-2-2+4=0,∴,

∴AP⊥AB,故A正确;

∵=-4+4+0=0,∴,∴AP⊥AD,故B正确;

∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,

∴AP⊥平面ABCD,

∴是平面ABCD的一个法向量,故C正确;

=(2,3,4),设=λ,即方程组无解,故D错误.

故选ABC.

答案ABC

12.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若E,F分别为PB,AD的中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是　　　　　. 

解析以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E,F,0,0,

∴=0,-,-,=(1,1,-1),=(0,-1,1),设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z),

则n·=0,n·=0,

即取y=1,则z=1,x=0,∴n=(0,1,1).

∵=-n,∴∥n,∴EF⊥PBC.

答案垂直

13.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于　　　　　. 

解析以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),

设Q(1,x,0),P(0,0,z),=(1,x,-z),=(-1,a-x,0).

由=0,

得-1+x(a-x)=0,

即x2-ax+1=0.

当Δ=a2-4=0,

即当a=2时,点Q只有一个.

答案2

14.

如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:

(1)BC1⊥AB1;

(2)BC1∥平面CA1D.

证明如图,以点C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设AC=BC=BB1=2,

则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).

(1)因为=(0,-2,-2),

=(-2,2,-2),

所以=0-4+4=0,

因此,故BC1⊥AB1.

(2)由于=(2,0,-2),=(1,1,0),

若设=x+y,

则得解得

即-2,所以是共面向量,因此BC1∥平面CA1D.

15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.

解如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),

E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).

设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),

则

令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).

设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),

则

令y2=1,得x2=-2,z2=-1,

∴n2=(-2,1,-1).

∵平面A1B1P⊥平面C1DE,

∴n1⊥n2,即n1·n2=0.

∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=.

故P.

16.

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.

(1)求证:CD⊥平面PAC.

(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.

解因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.

又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.

∠BAD=90°,

所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).

(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),

可得=0,=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.

又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.

(2)当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.证明如下:设E是侧棱PA的中点,

则E0,0,,=-1,0,.

设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则

因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),

所以

取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).

所以n·=(1,1,2)·-1,0,=0,

所以n⊥.

因为BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD.

综上所述,当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.

学科素养创新练

17.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在B1P上,则下列结论正确的是(　　)

A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD

B.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD

C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD

D.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD

解析以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),则=(1,0,1),=(-1,2,0),.

设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),

则取z=-2,则x=2,y=1,

所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).

假设DQ⊥平面A1BD,

且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),

则.

因为也是平面A1BD的一个法向量,

所以n=(2,1,-2)与共线,

则成立,

所以但此关于λ的方程组无解.

故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD.故选D.

答案D