初中数学北师大版八年级上册7 用二元一次方程组确定一次函数表达式教学设计

5．7　用二元一次方程组确定一次函数表达式

1．能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．(难点)

一、情境导入

在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似满足一次函数关系．下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：

(1)你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗？

(2)如果蟋蟀1分钟叫了63次，那么该地当时的温度约为多少摄氏度？

二、合作探究

探究点一：利用二元一次方程组确定一次函数的表达式

已知直线l1经过点A(0，3)及点B(3，0)，l2经过点M(1，2)及点N(－2，－3)．求l1、l2的交点坐标．

解析：先用待定系数法确定l1、l2的表达式，再列方程组求解．

解：设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，则解得

故有l1：y＝－x＋3，即x＋y＝3.①

设直线l2的方程为y＝k2x＋b2，则

解得

故有l2：y＝x＋，即5x－3y＋1＝0.②

由①②得方程组解得

故直线l1、l2的交点坐标是(1，2)．

方法总结：先用待定系数法求出两条直线的表达式，再把它们组成二元一次方程组求解．也可以用图象法解题，但代数法要比图象法解题准确．

探究点二：利用二元一次方程组与一次函数解决实际问题

A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行，假设他们都保持匀速行驶，则他们各自与A地的距离s(千米)都是时间t(时)的一次函数，已知1小时后乙距离A地80千米，2小时后甲距离A地30千米．问甲、乙两人出发后多长时间相遇．

解析：甲、乙两人相遇时，他们与A地距离相等，结合函数图象经过点坐标(0，0)，(2，30)，(0，100)，(1，80)分别运用待定系数法确定甲、乙的函数表达式．根据函数表达式，构造方程组求解，可得出交点坐标，即是两人出发的相遇时间．

解：根据题意画图，如图．设乙的函数表达式为s＝kt＋b.把t＝0时，s＝100；t＝1时，s＝80代入s＝kt＋b，联立方程组解得所以s＝－20t＋100.

设甲的函数表达式为s＝mt.

把t＝2时，s＝30代入s＝mt，得m＝15，所以s＝15t.

联立这两个函数表达式，得解得

因此甲、乙两人出发小时后相遇．

方法总结：利用二元一次方程(组)与一次函数图象的联系解决实际问题，如果确定交点坐标，那么常用两个函数表达式构造方程组求解．

探究点三：利用二元一次方程组和一次函数解决几何问题

在平面直角坐标系中，直线l1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l2经过原点，且与直线l1交于点(－2，a)．

(1)试求a的值；

(2)试问(－2，a)可看成是怎样的二元一次方程组的解？

(3)设交点坐标为P，直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看．

解析：(1)利用待定系数法先求出直线l1的关系式，因为点(－2，a)为l1和l2的交点，所以把代入直线l1的关系式，可求出a；

(2)要想知道(－2，a)是怎样的二元一次方程组的解，已知(－2，a)是直线l1和直线l2的交点坐标，故需求出直线l2的关系式；

(3)在直角坐标系内画出直线l1的图象，利用三角形面积计算公式，进一步求出△APO面积．

解：(1)设直线l1对应的函数关系式为y＝k1x＋b.

由题意，得解得故直线l1对应的函数关系式为y＝2x－1.又因为点(－2，a)是直线l1和直线l2的交点，所以把代入y＝2x－1，得a＝2×(－2)－1＝－5.

(2)设直线l2对应的函数关系式为y＝k2x(因为直线l2过原点)．因为(－2，－5)是直线l1和直线l2的交点，故把代入y＝k2x，解得k2＝.

故直线l2对应的函数关系式为y＝x.

故(－2，－5)可看成是二元一次方程组的解．

(3)在平面直角坐标系内画出直线l1，l2的图象如图，可知点A(0，－1)，故S△APO＝×1×2＝1.

方法总结：此题在待定系数法的应用上有所创新，并且把一次函数的图象和三角形面积巧妙地结合起来，既考查了基本知识，又不局限于基本知识．三、板书设计

利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤：

三、板书设计

利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤：

1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：y＝kx＋b(k≠0)；

2．将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；

3．解这个二元一次方程组得k，b的值，进而得到一次函数的表达式．

通过教学，进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化．通过对本节课的探究，培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力．