2022届高考数学一轮复习第六章不等式6.1不等式的性质一元二次不等式学案理含解析北师大版

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不等式

第一节　不等式的性质、一元二次不等式
命题分析预测
学科核心素养
本节是高考的热点，主要命题点有：(1)不等式的性质及应用，常以不等式为载体与函数相结合考查，注意不等式的等价变形；(2)不等式的解法，常与集合的基本运算相结合考查；(3)一元二次不等式的恒成立问题，常与函数结合考查．一般以选择题和填空题的形式出现，难度不大．
本节通过不等式的性质、解法及应用，考查转化与化归思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养．

授课提示：对应学生用书第119页
知识点一　不等式的性质
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b>0⇔a>b．
(2)a－b＝0⇔a＝b．
(3)a－b<0⇔a 2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
• 温馨提醒 •
若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞(b－m＞0)；＞；＜(b－m＞0)．

1．若a>b>0，c A．－>0　　　　 B．－<0
C．> D．<
解析：因为c 又0ac，
又因为cd>0，所以>，即>．
答案：D
2．若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：－＞0⇒＞⇒a＞b⇒a2＞b2，但由a2－b2＞0⇒/－＞0．
答案：A
3．若0＜a＜b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________．
解析：令a＝，b＝，则2ab＝2××＝，
a2＋b2＝＋＝，故a＜2ab＜＜＝a2＋b2＜b．
答案：a＜2ab＜＜a2＋b2＜b
知识点二　一元二次不等式
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像



一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实数根
x1，x2(x1 有两相等实数根
x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}

R
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1 ∅
∅
• 温馨提醒 •
二级结论
1．ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．
2．ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．
必明易错
1．对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2．当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．

1．(易错题)若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．
D．∪(1，＋∞)
解析：①m＝－1时，不等式为2x－6＜0，即x＜3不合题意．②m≠－1时，则解得m＜－．
答案：C
2．当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为(　　)
A．－2 B．－3
C．－1 D．－
解析：若－≤0，即a≥0时，成立；若a＜0，由Δ＝a2－4≤0，得－2≤a＜0，综上，a≥－2．
答案：A
3．不等式＜1的解集是________．
解析：＜1⇒＜0
⇒＞0⇒x＞1或x＜－1．
答案：{x|x＞1或x＜－1}

授课提示：对应学生用书第120页
题型一　不等式性质及应用　　
1．（2021·大连摸底）若a，b∈R，且a＞|b|，则（　　）
A．a＜－b　　　　　　 B．a＞b
C．a2＜b2 D．＞
解析：∵a＞|b|，|b|≥b，∴a＞b．
答案：B
2．（2021·绵阳第一次诊断）已知p：a＜0，q：a＞a2，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由q：a＞a2，得0＜a＜1，又p：a＜0，所以p是q的既不充分也不必要条件．
答案：D
3．（2021·广州一调）已知实数x，y满足＜，则下列关系式中恒成立的是（　　）
A．tan x＞tan y B．ln（x2＋2）＞ln（y2＋2）
C．＞ D．x3＞y3
解析：法一：因为＜，所以x＞y．由于y1＝tan x在R上不是单调函数，所以选项A不正确；又x2－y2＝（x－y）（x＋y）的正负不确定，所以x2和y2的关系不确定，所以选项B不正确；又－＝的正负不确定，所以和的关系不确定，所以选项C不正确．
法二：因为＜，所以x＞y．由于y2＝x3是R上的单调递增函数，所以x3＞y3．
答案：D
4．已知1 A．m>n B．m C．m＝n D．以上选项都有可能
解析：由m＝ab－1，n＝ba－1，1 得ln m＝（b－1）ln a，ln n＝（a－1）ln b，
所以要比较m，n的大小，即比较，的大小．
设f（x）＝（x>1），
则f′（x）＝＝．
设g（x）＝x－1－xln x，
则g′（x）＝1－ln x－1＝－ln x，
当x>1时，g′（x）<0，所以g（x） 即f′（x）<0，所以f（x）为（1，＋∞）上的减函数．
因为1f（b），
即>，（b－1）ln a>（a－1）ln b，ln m>ln n，从而m>n．
答案：A

不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略
（1）利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
（2）与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
（3）与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
题型二　一元二次不等式的解法　　
1．不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________．
解析：原不等式等价于即
即解得
借助于数轴，如图所示，

所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．
答案：[－2，－1）∪（2，3]
2．已知不等式ax2－bx－1＞0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
解析：由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a＜0，所以
解得
即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2．
答案：{x|x≥3或x≤2}
3．求不等式12x2－ax＞a2（a∈R）的解集．
解析：因为12x2－ax＞a2，
所以12x2－ax－a2＞0，
即（4x＋a）（3x－a）＞0，
令（4x＋a）（3x－a）＝0，
得x1＝－，x2＝．
当a＞0时，－＜，
不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式变形为x2＞0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a＜0时，－＞，
解集为．
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为．

1．解一元二次不等式的四个步骤
一化
把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式
二判
计算对应方程的判别式
三求
求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根
四写
利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集
2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
（1）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
题型三　一元二次不等式恒成立问题　　
　　一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：（1）形如f（x）≥0（f（x）≤0）（x∈R）确定参数范围；（2）形如f（x）≥0（x∈[a，b]）确定参数范围；（3）形如f（x）≥0（参数m∈[a，b]）确定x的范围．
考法（一）　形如f（x）≥0（f（x）≤0）（x∈R）确定
参数范围
[例1]　若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（　　）
A．（－3，0）　　　　　　　 B．[－3，0）
C．[－3，0] D．（－3，0]
[解析]　当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则解得－3＜k＜0．
综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（－3，0]．
[答案]　D

一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
考法（二）　形如f（x）≥0（x∈[a，b]）确定参数范围
[例2]　设函数f（x）＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f（x）＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解析]　要使f（x）＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g（x）＝m＋m－6，x∈[1，3]．
当m＞0时，g（x）在[1，3]上是增函数，
所以g（x）max＝g（3）＝7m－6＜0，
所以m＜，
所以0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g（x）在[1，3]上是减函数，
所以g（x）max＝g（1）＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0．
综上所述，m的取值范围是．
法二：因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m（x2－x＋1）－6＜0，
所以m＜．
因为函数y＝
＝在[1，3]上的最小值为，
所以只需m＜即可．
所以，m的取值范围是．

一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
（1）若f（x）>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f（x）>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）．
（2）转化为函数值域问题，即已知函数f（x）的值域为[m，n]，则f（x）≥a恒成立⇒f（x）min≥a，即m≥a；f（x）≤a恒成立⇒f（x）max≤a，即n≤a．
考法（三）　形如f（x）≥0（参数m∈[a，b]）确定
x的范围
[例3]　对任意m∈[－1，1]，函数f（x）＝x2＋（m－4）x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
[解析]　由f（x）＝x2＋（m－4）x＋4－2m＝（x－2）m＋x2－4x＋4，
令g（m）＝（x－2）m＋x2－4x＋4．
由题意知在m∈[－1，1]上，g（m）的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3．
故当x的取值范围为（－∞，1）∪（3，＋∞）时，对任意的m∈[－1，1]，函数f（x）的值恒大于零．

一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
[对点训练]
　已知函数f（x）＝x2＋ax＋3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[－2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a∈[4，6]时，f（x）≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解析：（1）因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4（3－a）≤0，即a2＋4a－12≤0，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
（2）当x∈[－2，2]时，设g（x）＝x2＋ax＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论（如图所示）：
ⅰ如图①，当g（x）的图像恒在x轴或x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4（3－a）≤0，即－6≤a≤2．
ⅱ如图②，g（x）的图像与x轴有交点，

但当x∈[－2，＋∞）时，g（x）≥0，
即即
可得解得a∈∅．
ⅲ如图③，g（x）的图像与x轴有交点，

但当x∈（－∞，2]时，g（x）≥0．
即即
可得
所以－7≤a≤－6，
综上，实数a的取值范围是[－7，2]．
（3）令h（a）＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h（a）≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋．
所以实数x的取值范围是（－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞）．
　不等式解法中的核心素养
数学运算——不等式解法的创新应用
[例]　（2021·石家庄市高三二检）已知函数f（x）＝若f（－a）＋f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（　　）
A．（－∞，－1]∪[1，＋∞）
B．[－1，0]
C．[0，1]
D．[－1，1]
[解析]　若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝xln（1＋x）＋x2＝f（x），同理可得x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）＝f（0），所以f（x）为偶函数．当x≥0时，易知f（x）＝xln（1＋x）＋x2为增函数，所以不等式f（－a）＋f（a）≤2f（1）等价于2f（a）≤2f（1），即f（a）≤f（1），即f（|a|）≤f（1），则|a|≤1，解得－1≤a≤1．
[答案]　D

本题的关键是利用条件判断f（x）的单调性．从而将抽象不等式进行转化．
[对点训练]
（2021·福州市高三质检）设函数f（x）＝则满足不等式f（x2－2）＞f（x）的x的取值范围是（　　）
A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
B．（－∞，－）∪（，＋∞）
C．（－∞，－）∪（2，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（，＋∞）
解析：法一：当x＞0时，函数f（x）单调递增；当x≤0时，f（x）＝0，故由f（x2－2）＞f（x），得或解得x＞2或x＜－，所以x的取值范围是（－∞，－）∪（2，＋∞）．
法二：取x＝2，则f（22－2）＝f（2），所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1．1，则f（（－1．1）2－2）＝f（－0．79）＝0，f（－1．1）＝0，所以x＝－1．1不满足题意，排除A．
答案：C