2022届高考数学一轮复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和学案理含解析北师大版

第三节　等比数列及其前n项和

授课提示：对应学生用书第109页

知识点一　等比数列的概念及通项

1．等比数列的概念

（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示．数学语言表达式：＝q（n≥2，q为非零常数），或＝q（n∈N＋，q为非零常数）．

（2）如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±Ｗ．

2．等比数列的通项公式及前n项和公式

（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m．

（2）等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝．

• 温馨提醒 •

1．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．

2．等比数列{an}中任何一项an≠0．

1．已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝－1，则{an}的公比q为（　　）

A．2　　　　　　　 B．－

C．－2  D．

解析：由＝q3＝－8得q＝－2．

答案：C

2．（易错题）已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________．

解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，所以（2x＋2）2＝x（3x＋3），

即x2＋5x＋4＝0，

解得x＝－1或x＝－4．

当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，

不是等比数列，舍去．

答案：－4

3．（易错题）设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________．

解析：当q≠1时，由题意，＝3a1q2，

即1－q3＝3q2－3q3，

整理得2q3－3q2＋1＝0，

解得q＝－．

当q＝1时，S3＝3a3，显然成立．

故q＝－或1．

答案：－或1

知识点二　等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．

（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＋），则有ak·al＝am·an．

（2）等比数列{an}的单调性：

当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；

当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；

当q＝1时，数列{an}是常数列．

• 温馨提醒 •

1．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm．

2．若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

3．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．

1．等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（　　）

A．12  B．10

C．8  D．2＋log35

解析：∵数列{an}为等比数列，

∴a5a6＋a4a7＝2a1a10＝18，a1a10＝9，

∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10

＝log3（a1a2…a10）＝log3（a1a10）5

＝5log39＝10．

答案：B

2．在3与192中间插入两个数使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．

解析：设该数列的公比为q，由题意知，

192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4．

所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48．

答案：12，48

3．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________．

解析：因为＝，所以＝－，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－，q＝－，则an＝－1×＝－．

答案：－

授课提示：对应学生用书第110页

题型一　等比数列的基本问题　　

1．（2021·菏泽模拟）在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为（　　）

A．2  B．－

C．  D．－或

解析：设等比数列{an}的公比为q，由a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，可得a2a16＝2，即aq16＝2，即a＝2，则＝a9＝±．

答案：D

2．（2021·郑州模拟）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4（a4－1），则a2＝（　　）

A．2  B．1 

C．  D．

解析：法一：因为a3a5＝a，a3a5＝4（a4－1），

所以a＝4（a4－1），

所以a－4a4＋4＝0，

所以a4＝2．又因为q3＝＝＝8，

所以q＝2，所以a2＝a1q＝×2＝．

法二：因为a3a5＝4（a4－1），

所以a1q2·a1q4＝4（a1q3－1），

将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，

解得q＝2，所以a2＝a1q＝．

答案：C

3．（2021·贵阳第一学期检测）设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N＋，kan，Sn，－1都成等差数列，求实数k的值．

解析：（1）∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6，

∴

∵q＞0，∴q＝3，a1＝1．

∴an＝1×3n－1＝3n－1，

故数列{an}的通项公式为an＝3n－1．

（2）由（1）知an＝3n－1，Sn＝＝，

∵kan，Sn，－1成等差数列，

∴2Sn＝kan－1，即2×＝k×3n－1－1，

解得k＝3．

1．解决等比数列有关问题的常用思想方法

（1）方程思想

等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a1和q，问题可迎刃而解．

（2）分类讨论思想

等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝．

2．在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N＋），则有aman＝apaq”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．

题型二　等比数列的判定及应用　　

[例]　已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝（n∈N＋）．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．

[解析]　（1）证明：因为an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝，又a1＝1，所以－＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

（2）由（1）知－＝·＝，即＝＋，所以bn＝＝＋，设Tn＝＋＋＋…＋　①，则Tn＝＋＋…＋＋　②，由①－②得，Tn＝＋＋…＋－＝－＝1－－，所以Tn＝2－－，又×（1＋2＋3＋…＋n）＝，所以数列{bn}的前n项和Sn＝2－＋．

掌握等比数列的四种常用判定方法

[对点训练]

（2021·六安高三联考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＞0，S＝a－λSn＋1，其中λ为常数．

（1）证明：Sn＋1＝2Sn＋λ；

（2）是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

解析：（1）证明：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，

S＝a－λSn＋1，所以S＝（Sn＋1－Sn）2－λSn＋1，所以Sn＋1（Sn＋1－2Sn－λ）＝0，因为an＞0，所以Sn＋1＞0，所以Sn＋1－2Sn－λ＝0，所以Sn＋1＝2Sn＋λ．

（2）存在．因为Sn＋1＝2Sn＋λ，所以Sn＝2Sn－1＋λ（n≥2），相减得an＋1＝2an（n≥2），所以{an}从第二项起成等比数列，因为S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ，所以a2＝1＋λ＞0，得λ＞－1，所以an＝若使{an}是等比数列，则a1a3＝a，所以2（λ＋1）＝（λ＋1）2，所以λ＝1，经检验，符合题意．故存在实数λ，使得数列{an}为等比数列，λ的值为1．

题型三　等差数列、等比数列的综合问题　　

[例]　已知数列{an}为公差不为零的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a7成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn＝2an，求数列{an＋bn}的前n项和Tn．

[解析]　（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a7成等比数列，

所以a＝a1a7，

即（a1＋2d）2＝a1（a1＋6d），

又a1＝2，所以d＝1或d＝0（舍），

所以an＝n＋1．

（2）数列{an}的前n项和＝＝n2＋n．

又bn＝2an＝2n＋1，所以数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列，

所以数列{bn}的前n项和＝＝2n＋2－4．

所以数列{an＋bn}的前n项和Tn＝n2＋n＋2n＋2－4．

数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．

[对点训练]

各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：对任意的正整数n，都有an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列．

（1）求证：数列{}是等差数列；

（2）若a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an，bn．

解析：（1）证明：∵bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且an＞0，bn＞0，∴a＝bnbn＋1，

∴an＋1＝．

∵an，bn，an＋1成等差数列，∴2bn＝an＋an＋1，

2bn＋1＝an＋1＋an＋2＝＋．

∴2＝＋．∴{}是等差数列．

（2）∵a1＝1，b1＝2，a2＝3，∴b2＝，＝，

∴－＝，

∴＝（n＋1），∴bn＝（n＋1）2，an＋1＝（n＋1）（n＋2），

则an＝n（n＋1），显然a1＝1也满足上式，

故an＝n（n＋1），bn＝（n＋1）2．

　等比数列应用中的核心素养

数学建模——等比数列的实际应用

[例]　（2021·衡阳模拟）中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟（单位：升）为（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

[解析]　5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝，所以马主人应偿还粟的量为a2＝2a1＝．

[答案]　D

以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等．

[对点训练]

 “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）

A．f　　 B．f　　　

C．f　　 D．f

解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝f．

答案：D