人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式学案及答案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.3 倍角公式学案及答案，共7页。学案主要包含了教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
前面我们已经学习了三角函数的和差公式，你能根据前面学过的内容，写出由α的三角函数值求出sin2α，cs2α，tan2α的一般公式吗？
二、新知探究
1．利用二倍角公式化简求值
【例1】化简求值。
（1）cs4 eq \f(α,2)－sin4 eq \f(α,2)；
（2）sin eq \f(π,24)·cs eq \f(π,24)·cs eq \f(π,12)；
（3）1－2sin2 750°；
（4）tan 150°＋eq \f(1－3tan2 150°,2tan 150°)。
思路探究：灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得。
解：（1）cs4 eq \f(α,2)－sin4 eq \f(α,2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)－sin2 \f(α,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2 \f(α,2)＋sin2 \f(α,2)))
＝cs α。
（2）原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,24)cs \f(π,24)))cseq \f(π,12)
＝eq \f(1,2)sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,12)cs \f(π,12)))
＝eq \f(1,4)sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,8)，
∴原式＝eq \f(1,8)。
（3）原式＝cs（2×750°）＝cs 1500°
＝cs（4×360°＋60°）＝cs 60°＝eq \f(1,2)，
∴原式＝eq \f(1,2)。
（4）原式＝eq \f(2tan2150°＋1－3tan2 150°,2tan 150°)
＝eq \f(1－tan2 150°,2tan 150°)＝eq \f(1,tan2×150°)
＝eq \f(1,tan 300°)＝eq \f(1,tan360°－60°)
＝－eq \f(1,tan 60°)＝－eq \f(\r(3),3)，
∴原式＝－eq \f(\r(3),3)。
[教师小结]二倍角公式的灵活运用：
（1）公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现。主要形式有：
2sin αcs α＝sin 2α，sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，
cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α)，cs2 α－sin2 α＝cs 2α，eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝tan 2α。
（2）公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式。主要形式有：
1±sin 2α＝sin2 α＋cs2 α±2sin αcs α＝（sin α±cs α）2，1＋cs 2α＝2cs2 α，cs2 α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2 α＝eq \f(1－cs 2α,2)。
2．利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】（1）已知sin α＝3cs α，那么tan 2α的值为（ ）。
A．2B．－2
C．eq \f(3,4)D．－eq \f(3,4)
（2）已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于（ ）。
A．eq \f(7,9)B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(7,9)D．－eq \f(1,3)
（3）已知cs α＝－eq \f(3,4)，sin β＝eq \f(2,3)，α是第三象限角，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))。
①求sin 2α的值；②求cs（2α＋β）的值。
思路探究：（1）可先求tan α，再求tan 2α；
（2）可利用eq \f(2,3)π－2α＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))求值；
（3）可先求sin 2α，cs 2α，cs β，再利用两角和的余弦公式求cs（2α＋β）。
答案：（1）D；（2）C
[（1）因为sin α＝3cs α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4)。
（2）因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up8(2)－1＝－eq \f(7,9)。]
（3）解：①因为α是第三象限角，cs α＝－eq \f(3,4)，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2 α)＝－eq \f(\r(7),4)，
所以sin 2α＝2sin αcs α
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝eq \f(3\r(7),8)。
②因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin β＝eq \f(2,3)，
所以cs β＝－eq \r(1－sin2 β)＝－eq \f(\r(5),3)，
cs 2α＝2cs2 α－1＝2×eq \f(9,16)－1＝eq \f(1,8)，
所以cs（2α＋β）＝cs 2αcs β－sin 2αsin β＝eq \f(1,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),3)))－eq \f(3\r(7),8)×eq \f(2,3)＝－eq \f(\r(5)＋6\r(7),24)。
[教师小结]
直接应用二倍角公式求值的三种类型：
（1）sin α（或cs α）eq \(――――――――――→,\s\up16(同角三角函数的关系))cs α（或sin α）eq \(――――――→,\s\up16(二倍角公式))sin 2α（或cs 2α）。
（2）sin α（或cs α）eq \(――――――→,\s\up16(二倍角公式))cs 2α＝1－2sin2 α（或2cs2 α－1）。
（3）sin α（或cs α） eq \(――――――――――→,\s\up16(同角三角函数的关系))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α或sin α，，tan α\（――――――→,\s\up16（二倍角公式))tan 2α.))
3．利用二倍角公式证明
【例3】求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan \f(α,2))－tan \f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α。
思路探究：可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边。
证明：法一：
左边＝eq \f(cs2α,\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))－\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))
＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2)))
＝eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))
＝eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs α)
＝sin eq \f(α,2)·cs eq \f(α,2)·cs α＝eq \f(1,2)sin α·cs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边。
∴原式成立。
法二：左边＝eq \f(cs2αtan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边。
[教师小结]
证明问题的原则及一般步骤：
（1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想。
（2）证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的。
4．倍角公式的灵活运用
[探究问题]
（1）在化简eq \f(1＋sin α－cs α,1＋sin α＋cs α)＋eq \f(1＋cs α＋sin α,1－cs α＋sin α)时，如何灵活使用倍角公式？
提示：在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成eq \f(α,2)的倍角，可能会有另一种思路，
原式＝eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))),2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))))＋eq \f(2cs \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)＋sin \f(α,2))),2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2))))＝eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))＋eq \f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))＝eq \f(1,sin \f(α,2)cs \f(α,2))＝eq \f(2,sin α)。
（2）如何求函数f（x）＝2cs2x－1－2eq \r(3)sin x·cs x（x∈R）的最小正周期？
提示：求函数f（x）的最小正周期，可由f（x）＝（2cs2x－1）－eq \r(3)（2sin x·cs x）＝cs 2x－eq \r(3)sin 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))，知其最小正周期为π。
【例4】求函数f（x）＝5eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)sin2x－4sin x·cs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,24)))的最小值，并求其单调减区间。
思路探究：eq \x(化简fx的解析式)→eq \x(fx＝Asinωx＋φ＋B)→eq \x(ωx＋φ的范围)
→eq \x(求最小值，单调减区间)
解：f（x）＝5eq \r(3)·eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \r(3)eq \f(1－cs 2x,2)－2sin 2x
＝3eq \r(3)＋2eq \r(3)cs 2x－2sin 2x
＝3eq \r(3)＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x－\f(1,2)sin 2x))
＝3eq \r(3)＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)cs 2x－cs \f(π,3)sin 2x))
＝3eq \r(3)＋4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝3eq \r(3)－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
∵eq \f(π,4)≤x≤eq \f(7π,24)，∴eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,4)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，
所以当2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，即x＝eq \f(7π,24)时，
f（x）取最小值为3eq \r(3)－2eq \r(2)。
因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,24)))上单调递增，
所以f（x）在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(7π,24)))上单调递减。
[教师小结]本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质。解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝A·sinωx＋φ的形式，再利用函数的图像解决问题。
三、课堂总结
1．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sinα·csα。
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α。
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)。
2．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2α,2n＋1)（n ∈ N*）。
3．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛。常用形式：
①1＋cs 2α＝2cs2 α；②cs2 α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；③1－cs 2α＝2sin2 α；④sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)。
四、课堂检测
1．（2019·全国卷Ⅱ）已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝（ ）。
A．eq \f(1,5)
B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(3),3)
D．eq \f(2\r(5),5)
答案：B。[由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin α·cs α＝2cs2α。
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2sin α＝cs α。又∵sin2 α＋cs2 α＝1，
∴sin2 α＝eq \f(1,5)。又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin α＝eq \f(\r(5),5)。
故选B。]
2．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)－sin \f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)＋sin \f(π,12)))的值为（ ）。
A．－eq \f(\r(3),2)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(\r(3),2)
答案：D。[原式＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)。]
3．已知tan α＝－eq \f(1,3)，则eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝________。
答案：－eq \f(5,6)。[eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,1＋2cs2α－1)
＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)＝tan α－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,6)。]
4．求下列各式的值：
（1）cs eq \f(π,5)·cs eq \f(2π,5)；
（2）eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)。
解：（1）原式＝eq \f(2sin \f(π,5)cs \f(π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))＝eq \f(sin \f(2π,5)cs \f(2π,5),2sin \f(π,5))＝eq \f(sin \f(4π,5),4sin \f(π,5))＝eq \f(sin \f(π,5),4sin \f(π,5))＝eq \f(1,4)。
（2）原式＝eq \f(1－2cs2\f(π,8),2)＝－eq \f(2cs2\f(π,8)－1,2)＝－eq \f(1,2)cs eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),4)。教学目标
核心素养
1．理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系。（重点）
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。（难点）
1．通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养。
2．借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养。