2018-2019学年上海市杨浦区八上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年上海市杨浦区八上期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共14小题；共70分）
1. 当 x 时，二次根式 1−2x 无意义．

2. 写出 a+b 的一个有理化因式 ．

3. 方程 x2=12x 的解是 ．

4. 计算：2−72−7= ．

5. 不等式 2−3x<1 的解是 ．

6. 化简：x2yx<0= ．

7. 配方：x2−25x+ =x− 2．

8. 若关于 x 的一元二次方程 a+2x2+x+a2−4=0 的一个根是 0，则 a= ．

9. 在实数范围内因式分解：2x2y2+5xy−1= ．

10. 长方形的面积为 10 平方米，长比宽的 2 倍少 2 米，设长方形的宽为 x 米，那么根据题设可列方程为 ．

11. 将命题“等角对等边”改写成“如果 ⋯，那么 ⋯”的形式： ．

12. 下列命题中，
①等腰三角形两腰上的高相等；
②在空间中，垂直于同一直线的两直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等．
其中真命题的个数有 个．

13. 如图，P 为等边 △ABC 内一点，且 PA=PB，若 ∠PAB=15∘，则 ∠BPC= ∘．

14. 如图，在 △ABC 中，已知点 O 是边 AB，AC 垂直平分线的交点，点 E 是 ∠ABC，∠ACB 角平分线的交点，若 ∠O+∠E=180∘，则 ∠A= 度．

二、选择题（共4小题；共20分）
15. 最简二次根式 x2+4 与 3x+2 是同类二次根式，则 x 的值为
A. 2B. 1C. 1 或 2D. 以上都不对

16. 下列方程一定是一元二次方程的是
A. ax2+bx+c=0B. x−3=5x2−6
C. 5xx+1=5x2−12D. x−13=−x22−1

17. 已知三角形两边长分别是 1 和 2，第三边的长为 2x2−5x+3=0 的根，则这个三角形的周长是
A. 4B. 412C. 4 或 412D. 不存在

18. 如图，Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE 平分 ∠ABC，交 AD 于 E，EF∥AC，下列结论一定成立的是
A. AB=BFB. AE=ED
C. AD=DCD. ∠ABE=∠DFE

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算：105−42−2×52．

20. 先化简，再求值 x−yx−y+x+y+2xyx+y，其中 x=3，y=13．

21. 用配方法解方程：2x2−3x−2=0．

22. 解方程：2x−92−x−62=0．

23. 已知关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+1=0 有实数解，求 k 的非负整数解，并求出 k 取最大整数解时方程的根．

24. 某商场今年二月份的营业额是 1000 万元，三月份由于经营不善，其营业额比二月份下降 10%，后来通过加强管理，五月份的营业额达到了 1296 万元，求三月份到五月份营业额的平均增长率．

25. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC，E 为 AB 上一点，F 为 AC 延长线上一点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 D，求证：DE=DF．

26. 求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．

27. 已知 △ABC 中，记 ∠BAC=α，∠ACB=β．
（1）如图 1，若 AP 平分 ∠BAC，BP，CP 分别是 △ABC 的外角 ∠CBM 和 ∠BCN 的平分线，BD⊥AP，用含 α 的代数式表示 ∠BPC 的度数，用含 β 的代数式表示 ∠PBD 的度数，并说明理由．
（2）如图 2，若点 P 为 △ABC 的三条内角平分线的交点，BD⊥AP 于点 D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．
∠BPC= ；∠PBD= ．
答案
第一部分
1. >12
【解析】由题意得：1−2x<0，解得：x>12．
2. a+b（答案不唯一）
【解析】a+b 的一个有理化因式 a+b（答案不唯一）．
3. x1=0，x2=12
【解析】∵x2=12x，
∴x2−12x=0，则 xx−12=0，
∴x=0 或 x−12=0，解得：x1=0，x2=12．
4. −2
【解析】∵4<7，
∴2<7，
∴2−7<0，
∴2−72−7=7−2−7=−2．
5. x<2+3
【解析】2−3x<1，解得：x<12−3，x<2+3．
6. −xyy
【解析】x2y=x2yy2=∣x∣y∣y∣=−xyy．
7. 125，15
【解析】因为一次项系数为：−25，
所以常数项为 −152=125，等号右边底数中的减数为 15．
8. 2
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 a+2x2+x+a2−4=0 的一个根是 0，
∴a2−4=0，
∴a=±2，
∵a+2≠0，即 a≠−2，
∴a=2．
9. 2xy−5+334xy−5−334
【解析】设 2x2y2+5xy−1=0，
解得：xy=−5+334 或 xy=−5−334，
∴2x2y2+5xy−1=2xy−5+334xy−5−334．
10. 2x−2x=10
【解析】设长方形的宽为 x 厘米，则长为 2x−2 厘米，由题意得 2x−2x=10．
11. 在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
【解析】因为条件是：有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．
所以改写后为：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
12. 1
【解析】①等腰三角形两腰上的高相等，原命题是真命题；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，原命题是假命题；
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，原命题是假命题．
13. 105
【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC，∠CAB=∠ABC=60∘=∠ACB，
∵PA=PB，∠PAB=15∘，
∴∠PAC=∠PBC=45∘，且 AP=BP，BC=AC，
∴△APC≌△BPCSAS．
∴∠ACP=∠BCP=30∘，
∴∠BPC=180∘−∠PBC−∠PCB=105∘．
14. 36
【解析】如图，连接 OA．
∵ 点 O 是 AB，AC 的垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠ABO=∠OBA+∠OAB+∠OCA+∠OAC=2∠BAC，
∵ 点 E 是 ∠ABC，∠ACB 角平分线的交点，
∴∠E=90∘+12∠BAC，
∵∠BOC+∠E=180∘，
∴2∠BAC+90∘+12∠BAC=180∘，
∴∠BAC=36∘．
第二部分
15. B
【解析】∵ 最简二次根式 x2+4 与 3x+2 是同类二次根式，
∴x2+4=3x+2，解得 x1=1，x2=2（舍）．
16. D【解析】A、 ax2+bx+c=0，a=0 时不是一元二次方程，故选项A不合题意；
B、 x−3=5x2−6 不是一元二次方程，故选项B不合题意；
C、 5xx+1=5x2−12 化简为 5x+12=0，是一元一次方程，故选项C不合题意；
D、 x−13=−x22−1 是一元二次方程，故选项D符合题意；
故选：D．
17. B【解析】2x2−5x+3=0，2x−3x−1=0．
∴x1=1，x2=32．
∵ 三角形两边长分别是 1 和 2，则第三边长不能是 1，只能是 32，
∴ 周长是 412．
18. A【解析】可证 △ABE≌△FBE ．
第三部分
19. 原式=1055−42+22−22+2×52=25−22+2×52=25−25−10=−10.
20. 原式=x−yx+yx−y+x+y2x+y=x+y+x+y=2x+2y.
当 x=3，y=13 时，
原式=23+213=23+233=833.
21.
2x2−3x−2=0.
移项得：
2x2−3x=2.
化二次项系数为 1，得：
x2−32x=1.
配方得：
x2−32x+342=1+342.
即
x−342=2516.
所以
x−34=54或x−34=−54.
所以
x1=2,x2=−12.
22.
∵2x−92−x−62=0.∴2x−9+x−62x−9x−6=0.
即
3x−15x−3=0.
则
3x−15=0或x−3=0.
解得
x1=5,x2=3.
23. 根据题意的：Δ≥0 且 k≠0，
Δ=16−4k≥0，解得：k≤4，
∴k 的非负整数解为：k=1,2,3,4，
当 k=4 时，方程为：4x2−4x+1=0，
2x−12=0，
x1=x2=12．
24. 设三月份到五月份营业额的平均增长率为 x．
根据题意得：
1000×1−10%1+x2=1296.
即：
1+x2=1.44.
解得：
x1=0.2,x2=−2.2∵x2=−2.2<0
合题意，舍去，取 x=0.2=20%．
答：三月份到五月份营业额的平均增长率为 20%．
25. 作 EG∥AC 交 BC 于 G．
∴∠BGE=∠ACB，∠GED=∠F，∠EGD=∠FCD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠BGE，
∴BE=EG．
∵CF=BE，
∴CF=GE．
在 △GED 和 △CFD 中，
∠GED=∠F,GE=CF,∠EGD=∠FCD,
∴△GED≌△CFDASA，
∴DE=DF．
26. 已知：△ABC 和 △AʹBʹCʹ 中，∠A=∠Aʹ，∠B=∠Bʹ，∠B，∠Bʹ 的角平分线 BD=BʹDʹ，求证：△ABC≌△AʹBʹCʹ．
证明：
∵∠B=∠Bʹ 且 ∠B，∠Bʹ 的角平分线分别为 BD 和 BʹDʹ，
∴∠ABD=∠AʹBʹDʹ=12∠B，
∵ 在 △ABD 和 △AʹBʹDʹ 中，
∠A=∠Aʹ,∠ABD=∠AʹBʹDʹ,BD=BʹDʹ,
∴△ABD≌△AʹBʹDʹAAS，
∴AB=AʹBʹ，
在 △ABC 和 △AʹBʹCʹ 中，
∠A=∠Aʹ,AB=AʹBʹ,∠ABC=∠AʹBʹCʹ,
∴△ABC≌△AʹBʹCʹASA．
27. （1） ∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180∘，∠BAC=α，
∴∠CBA+∠ACB=180∘−∠BAC=180∘−α，
∵∠MBC+∠ABC=180∘，∠NCB+∠ACB=180∘，
∴∠MBC+∠NGB=360∘−∠ABC−∠ACB=360∘−180∘−α=180∘+α，
∵BP，CP 分别平分 △ABC 的外角 ∠CBM 和 ∠BCN，
∴∠PBC=12∠MBC，∠PCB=12∠NCB，
∴∠PBC+∠PCB=12∠MBC+12∠NCB=12180∘+α=90∘+12α，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180∘，
∴∠BPC=180∘−∠PBC+∠PCB=180∘−90∘+12α=90∘−12α，
∵∠BAC=α，∠ACB=β，
∵∠MBC 是 △ABC 的外角，
∴∠MBC=α+β，
∵BP 平分 ∠MBC，
∴∠MBP=12∠MBC=12α+β，
∵∠MBP 是 △ABP 的外角，AP 平分 ∠BAC，
∴∠BAP=12α，∠MBP=∠BAP+∠APB，
∴∠PBD=90∘−∠APB=90∘−∠MBP−∠BAP=90∘−∠MBP+∠BAP=90∘−12α+β+12α=90∘−12β.
（2） 如图 2，若点 P 为 △ABC 的三条内角平分线的交点，BD⊥AP 于点 D，
猜想（1）中的两个结论已发生变化．
90∘+12α；12β