人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何本章综合与测试课后测评

空间向量专题

一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）

1. 如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则异面直线EF与CG所成的角等于
   
    

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与CG所成的角的大小．
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
、F、G分别是，，的中点，
0，，0，，2，，1，，
0，，，
设异面直线EF与CG所成的角为，
则．
，
异面直线EF与CG所成的角等于．
故选：D．
 

2. 如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为 
    

A.
B.
C.
D.



 

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查空间几何体中异面直线所成的角的问题，考查余弦定理的应用，属于中档题．分别取AB，，的中点D，E，F，连接DE，DF，则或其补角即为异面直线和所成的角．在三角形DEF中，根据余弦定理即可求出结果．
【解答】
解：分别取AB，，的中点D，E，F，连接DE，DF，EF．
则，
所以或其补角即为异面直线和所成的角．
不妨设，
则．
所以在三角形DEF中，，
所以异面直线和所成的角的余弦值为．
故选D．
 

3. 如图，在直三棱柱中，，，，D，E分别是AB，的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为

A.
B.
C.
D.
 

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查异面直线所成的角，涉及余弦定理和勾股定理，属于中档题．
取的中点F，连结DF，EF，CF，得到，则就是异面直线BE与CD所成的角或其补角，进行求解即可．
【解答】
解：取的中点F，连结DF，EF，CF．

易知EF是的中位线，所以且1，
又且，所以且．
所以四边形EFDB是平行四边形，
所以，
所以就是异面直线BE与CD所成的角或其补角．
因为，，，D，E，F分别是AB，，的中点，
所以，且．
所以由勾股定理，得，
所以．
由勾股定理，得，
．
在中，由余弦定理得．
故选C．
 

二、解答题（本大题共9小题，共108.0分）

4. 在直三棱柱中，底面是直角三角形，，D为侧棱的中点．
   
   求异面直线，所成角的余弦值；
   求二面角的平面角的余弦值．

【答案】解：由已知得CA，CB，两两垂直，
如图所示，以C为原点，CA，CB，为坐标轴，建立空间直角坐标系，

则0，，0，，2，，0，，
2，，0，．
所以0，，，
所以
，
即异面直线与所成角的余弦值为
因为2，，0，，0，，
所以，，
所以为平面的一个法向量．         
因为，0，，
设平面的一个法向量为，y，．
由，得
令，则，，2，．
所以，．
由图可知二面角的平面角是锐角，
所以二面角的余弦值为．

【解析】本题主要考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题，包括两条异面直线的夹角和两个平面的夹角，属于中档题．
以C为原点，CA，CB，为坐标轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．
先求两个平面的法向量，根据两个法向量所成的角得到结果．
 

5. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，N为AD的中点．
   

求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

点M在线段PC上且满足，直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求实数的值．

【答案】解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，所以两两垂直．
以A为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．

由，N为AD的中点，得，所以，设异面直线PB与CD所成的角的大小为，则．
所以异面直线PB与CD所成角的余弦值为 ；
设平面PBC的法向量，因为，
由得，取，得，所以．
因为，所以，
所以．
依题意，
化简得，
解得或，由于M在线段PC上，所以．

【解析】本题考查利用空间向量方法研究异面直线及直线与平面所成角，属中档题．
依题意，建立空间坐标系，求得的坐标，进而求得结果；
依题意，求出平面PBC的法向量，
求得，根据求解即可．
 

6. 如图，已知多面体，，，均垂直于平面ABC，，，，．
   

Ⅰ证明：平面；

Ⅱ求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】方法一：
Ⅰ证明：由得，
所以，故．

由得，

由得，

由，得，所以，

故，
又，平面，平面，

因此平面；

Ⅱ解：如图，过点作，交直线于点D，连接AD．

由平面得，平面平面，且平面平面，

由得平面，

所以是与平面所成的角．

由得，

所以，又，故．

因此，直线与平面所成的角的正弦值是．
方法二：
Ⅰ如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

由题意知各点坐标如下：
因此
由，得．
由，得．
又，平面，平面，
所以平面．
Ⅱ设直线与平面所成的角为．
由Ⅰ可知
设平面的法向量．
由，即可取．
所以．
因此，直线与平面所成的角的正弦值是．

【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
方法一：
Ⅰ利用勾股定理的逆定理证明，，从而可得平面；
Ⅱ由题意得到是与平面所成的角，求解即可．
方法二：
Ⅰ如图建立空间直角坐标系，得出相关点到坐标，计算，，利用向量才垂直条件可得结论；
Ⅱ设直线与平面所成的角为，，求出平面的法向量，可得即可．
 

7. 如图所示，在直三棱柱中，点M在线段上
   
   若求异面直线AM和所成角的余弦值；
   若直线AM与平面所成角为，试确定点M的位置．

【答案】解：以C为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则0，，0，，0，，4，
因为，所以3，
所以0，，3，
所以，．
所以异面直线AM和所成角的余弦值为．
由0，，4，，0，，
知4，，0，
设平面的法向量为b，，
由，得
令，则，，
所以平面的一个法向量为1，
因为点M在线段上，
所以可设，
所以
因为直线AM与平面所成角为，
所以，．
由，，
得
，   
解得或．
因为点M在线段上，
所以，
即点2，是线段的中点．

【解析】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角，利用空间向量求线面角，属于中档题．
以C为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出0，，3，，利用法向量求异面直线所成的角；
求出平面的一个法向量为1，，可设，所以，利用直线AM与平面所成角为，列出方程，求出x即可求解．
 

8. 如图，正四棱柱中，，，点P是棱的中点．

求直线和平面所成角的正弦值；

求点到平面的距离．

【答案】解：以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

，，点P是棱的中点．
0，，0，，1，，1，，
0，，0，，1，，1，，
1，．
，
设平面的法向量为，
则有，令，可得，
故，
则直线和平面所成角的正弦值为．
由可知，直线和平面所成角的正弦值为，
则点到平面的距离．

【解析】本题考查利用空间向量求解线面之间的夹角，求解点到面的距离，属于中档题．
建立空间坐标系，得出各点的空间坐标，求解出平面的法向量，再利用空间向量的数量积公式即可求解；
由可得直线和平面所成角满足，利用直角三角形性质即可求解得点到平面的距离
 

9. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面SAB为正三角形且平面底面ABCD，，E，F分别为SD，SB的中点．

证明：平面SAB；

求EC与平面FCD所成角的正弦值．

【答案】证明：如图，取AD中点M，连接EM，CM，

因为EM为中位线，
所以，
所以，
又，
所以且，
所以四边形ABCM为平行四边形，
所以，
，，
所以平面平面SAB，
因为平面EMC，平面SAB，
所以平面SAB．

不妨设，取AB中点O，过O作，
因为平面底面ABCD，，
所以，，
又因为三角形SAB为正三角形，
所以，，
故如图建立空间直角坐标系，可得，
2，，0，，2，，4，，所以，，，
设平面FCD的一个法向量为，则即可取，
则，．

【解析】本题考查线面平行的判定和直线与平面所成角，属于中等难度；
取AD中点M，连接EM，CM，先证平面平面SAB，
因为平面EMC，平面SAB，平面SAB．
建立空间直角坐标系，可得，设平面FCD的一个法向量为，即可求解；
 

10. 如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，平面平面ABCD，，，．

求证：平面平面AEFC；

若四边形AEFC为直角梯形，且，求二面角的余弦值．

【答案】证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以，
又因为平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，
所以平面AEFC，
因为平面BDE，
所以平面平面AEFC．
解：设，如图，连接FO，

因为，四边形AEFC为直角梯形，且，
所以可得四边形AEFO为矩形，，
因为平面AEFC，平面AEFC，
所以，
因为，BD，平面ABCD，，
所以平面ABCD，
所以平面ABCD，
因为平面ABCD，
所以，
因为O为BD中点，
所以，
又，．
所以≌．
过B作交FC于G，则，
所以为二面角的平面角，
在中，
所以，，
同理，
在中，，
故，
，
，
故，解得，则，
在中，，
所以二面角的余弦值为．

【解析】本题考查面面垂直的判定和求二面角的平面角，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
通过求证平面AEFC即可求证平面平面AEFC；
利用为二面角的平面角即可求解．
 

11. 已知正三棱柱中，，D是BC的中点．
    

Ⅰ求证：平面；

Ⅱ求锐二面角的余弦值．

【答案】Ⅰ证明：连结 ，

设 ，则M是 的中点，
再连结 DM，则 DM是 的中位线，
所以 ，
又因为平面 ，平面 ，
所以平面 ；
Ⅱ解：取AB的中点O， 的中点，连结和OC，易知两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，
所以，，
设平面的一个法向量，
则令，则有，，
所以，
同理可求平面的一个法向量
所以  
又因为二面角是锐二面角，
所以锐二面角的余弦值为．

【解析】本题考查线面平行的判定，二面角，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．
Ⅰ连结 ，设 ，连结 DM，根据题意，证明，由线面平行的判定定理可得；
Ⅱ取AB的中点O， 的中点，连结和OC，易知两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
 

12. 如图所示，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，．

证明：平面；

若，求二面角的正弦值．

【答案】解：因为侧棱平面ABCD，所以平面平面ABCD，
又，平面平面，所以平面，
而平面，所以；
因为侧棱平面ABCD，所以，又，所以，
又，所以平面．
如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则0，，1，，4，，4，．
设平面的法向量为，又，，
则求得令，得．
设平面的法向量为，又，，
则求得令，得．
另解：由可得平面的法向量为，设为，
所以，
故二面角的正弦值为．

【解析】本题考查线面垂直的判定和二面角，属于中档题；
先证；再证，又，所以平面．
以D为坐标原点，分别以AD、DC、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则0，，1，，4，，4，可得平面的法向量为，平面的法向量为利用夹角公式即可求解；