青岛版八年级下册10.1 函数的图像学案

第五章  三角函数

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像

1．了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、 余弦函数的图象的方法．

2．正、余弦函数图象的简单应用．

3．正、余弦函数图象的区别与联系．

重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。

难点：理解作余弦函数的图象的方法。

教材整理1　正弦曲线和余弦曲线

1．可以利用单位圆中的______线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．

2．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向____、____平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．

3．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做__________和__________．

教材整理2　正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图

1．“五点法”作图的一般步骤是⇒⇒.

提出问题

下面先研究函数， ∈R 的图象，从画函数，∈［０，２π］的图象开始．在［０，２π］上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值并画出点T（，）？

问题探究

     如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，０）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（，）.

若把x轴上从０到２π这一段分成１２等份，使的值分别为, , ,…2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（，）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）．

事实上，利用信息技术，可使在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（，）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数， ∈［0,2π］的图象.

根据函数， ∈［0,2π］的图象，你能想象函数， ∈R 的图象吗？

由诱导公式一可知，函数， ∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与， ∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数， ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数， ∈R的图象（图5.4.4）．

正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．

思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

观察图5.4.3，在函数， ∈［0,2π］的图象上，以下五个点：

在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数， ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象．

思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

对于函数， 由诱导公式 得，∈R ．

而函数∈R 的图象可以通过正弦函数， ∈R 的图象向左平移个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5 所示．你能说明理由吗？

余弦函数 ， ∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．

   类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4.1，然后画出， ∈［－π，π］的简图

例1、用“五点法”作出下列函数的简图．

(1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]；

(2)y＝-cos x，x∈[0,2π].

【精彩点拨】　在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．

在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．

你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cosx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0,2π] 的图象？

方法与规律

1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点．

2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．

1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　)

A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同

B．关于x轴对称

C．介于直线y＝1和y＝－1之间

D．与y轴仅有一个交点

2．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　)

A．0，，π，，2π　　　B．0，，，，π

C．0，π，2π，3π，4π    D．0，，，，

3．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于(　　)

A．0 B．1C．－1 D．2

4．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象(　　)

A．关于直线x＝1对称               B．关于原点对称

C．关于x轴对称                    D．关于y轴对称

5．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是__________．

6．用“五点法”画出y＝cos，x∈[0,2π]的简图．

1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.

2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.

参考答案：

一、    知识梳理

正弦；左；右；正弦曲线；余弦曲线；列表 ；描点 ；连线

二、    学习过程

例1【解析】　(1)列表：

(2)列表：

描点连线，如图

三、达标检测

1． 【解析】　观察y＝sin x的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B.

【答案】　B

2．【解析】　令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B.

【答案】　B

3．【解析】　由题意－m＝sin ，∴－m＝1，∴m＝－1.

【答案】　C

4． 【解析】　作出函数y＝cos x与函数y＝－cos x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.

【答案】　C

5．【解析】　作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，

由图象，可知原方程有两个实数解．

【答案】　2

6．【解】　由诱导公式得y＝cos＝－sin x，

(1)列表：

(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来．