数学八年级下册17.1 勾股定理第3课时巩固练习

17.1 勾股定理

第3课时 勾股定理在几何中的应用

基础训练

知识点1 用勾股定理在数轴上表示实数

1.(2016·台州)如图,数轴上的点O,A,B分别表示数0,1,2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交PQ于点C,以原点O为圆心,OC的长为半径画弧,交数轴于点M,则点M表示的数是(　　)

A. B. C. D.

2.如图,点C表示的数是(　　)

A.1 B.  C.1.5  D.

3.如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为(　　)

A.2             B.-1

C.-1          D.

4.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于(　　)

A.-4和-3之间 B.3和4之间

C.-5和-4之间 D.4和5之间

知识点2用勾股定理解几何问题

5.如图,每个小正方形的边长均为1,则△ABC中,长为无理数的边有(　　)

A.0条  B.1条  C.2条 D.3条

6.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为(　　)

A.4 cm B.5 cm

C.6 cm D.10 cm

7.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B'处,点A的对应点为A',且B'C=3,则AM的长是(　　)

A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5

8.(2016·淄博)如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为(　　)

A. B.2 C. D.10-5

9.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”,只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段　　　　条. 

易错点 忽视题目中条件而求不出答案

10.如图,把长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则长方形ABCD的面积为　　　　.

提升训练

考查角度1 利用勾股定理作长度为的线段

11.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.以格点为顶点画三角形.

(1)使三角形的三边长分别为3,2,.

(2)使三角形的周长为++.

考查角度2 利用勾股定理证明线段的平方关系

12.如图,∠C=90°,AM=CM,MP⊥AB于点P.

求证:BP2=BC2+AP2.

探究培优

拔尖角度1 利用勾股定理解决阴影部分面积问题

13.如图,将长方形ABCD沿AC折叠,使△ABC落在△AEC的位置,且CE与AD相交于点F.

(1)求证:EF=DF;

(2)若AB=,BC=3,求折叠后的重叠部分(阴影部分)的面积.

拔尖角度2 利用勾股定理探究动点问题

14.如图,在△ABC中,AB=50 cm,AC=40 cm,∠C=90°,点P从点C开始向点A以4 cm/s的速度移动,同时,另一点Q由点C开始以3 cm/s的速度沿CB边向点B移动,则几秒时,△PCQ的面积等于△ABC面积的?             

参考答案

1.【答案】B

2.【答案】D　

解：由题图可知OA=OB=,

∴在Rt△OAD中,OD===,

∴OC=OD=.

3.【答案】C　

解：∵AC==,

∴AM=AC=,∴点M表示的实数为-1.　

4.【答案】A

5.【答案】C　

解：利用勾股定理求出每条边长,然后根据无理数的定义即可得出答案.根据题意得AC==5,AB==,BC==,所以长为无理数的边有2条.故选C.

6.【答案】B

7.【答案】B　

解：如图,连接MB'.由轴对称的性质和四边形ABCD为正方形可知△MB'A'和△MB'D都是直角三角形,所以有MB'2=MA'2+A'B'2=MD2+B'D2.设AM=x,则A'M=x,MD=9-x.因为B'C=3,正方形的边长为9,所以A'B'=9,B'D=9-3=6,所以(9-x)2+62=x2+92,解得x=2.

8.【答案】B　

解：如图,延长BG交CH于点E,

∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=CD.

又∵AG=CH,BG=DH,

∴△ABG≌△CDH(SSS).

∴∠1=∠5,∠2=∠6.

∵AG=8,BG=6,AB=10,

∴AG2+BG2=AB2.

∴△ABG是直角三角形.

∴△CDH也是直角三角形.

∴∠AGB=∠CHD=90°.

∴∠1+∠2=90°,∠5+∠6=90°.

又∵∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°,

∴∠1=∠3,∠4=∠6=∠2.

又∵AB=BC,

∴△ABG≌△BCE(ASA).

∴BE=AG=8,CE=BG=6,∠BEC=∠AGB=90°.

∴GE=BE-BG=8-6=2.

HE=CH-CE=8-6=2.

在Rt△GHE中,GH===2.故选B.

9.【答案】8

10.【答案】115.2　

解：在Rt△PFH中,FH===10,

∴BC=BF+FH+CH=PF+FH+PH=8+10+6=24.

设△PFH的边FH上的高为h,则h==4.8,

∴S长方形ABCD=24×4.8=115.2.

易错总结:解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等,从而求出BC的长,然后再运用面积法求△PFH中FH边上的高,本题容易因忽视条件而求不出答案.

11.解:(1)如图①中的△ABC为所求的三角形.

 (2)如图②中的△ABC的三边长分别为,,,三角形的周长为++.

方法总结:在网格中画长为的线段的步骤:(1)设法将n表示成两个整数的平方和;(2)构造直角三角形,使直角三角形的两条直角边长等于第一步得出的两个整数的值,斜边即为长为的线段.

12.证明:如图,连接BM.

∵PM⊥AB,

∴△BMP和△AMP均为直角三角形,

∴BP2+PM2=BM2,AP2+PM2=AM2.

同理可得BC2+CM2=BM2.

∴BP2+PM2=BC2+CM2.

又∵CM=AM,

∴CM2=AM2=AP2+PM2.

∴BP2+PM2=BC2+AP2+PM2.

∴BP2=BC2+AP2.

13.(1)证明:∵在长方形ABCD中,AD∥BC,

∴∠ACB=∠DAC,又由折叠可知∠ACB=∠ACE,

∴∠DAC=∠ACE,∴AF=CF.

∵AD=BC=CE,∴AD-AF=CE-CF,∴EF=DF.

(2)解:设AF=CF=x,则DF=3-x,在Rt△FCD中,由勾股定理得:

x2=()2+(3-x)2,

解得x=2,∴重叠部分的面积为×2×=.

14.解:在△ABC中,∵∠C=90°,AB=50 cm,AC=40 cm,

∴BC==30(cm).

设x s时,△PCQ的面积等于△ABC面积的,

则×3x×4x=××30×40,解得x=5(负值已舍去).

答:5 s时,△PCQ的面积等于△ABC面积的.