五年级数学下期末复习资料（全）

这是一份五年级数学下期末复习资料（全），共16页。学案主要包含了旋转，轴对称，欣赏设计，3的倍数特征，质数和合数，容积和容积单位，体积单位间的进率，整百数等内容，欢迎下载使用。

新人教版五年级数学下册期末复习
（一）、熟记知识。
第一章、图形的变换
一、轴对称。
1、旋转
把一个图形绕着某一点 O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
（一）、熟记知识。
1、轴对称图形。
（1）物体旋转时所绕的点就是旋转点。在叙述物体旋转时，
应说出旋转中心、旋转方向和旋转角度。
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的部分
能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直
线叫做对称轴。
（2）旋转时，与钟表中指针的旋转方向相同的方向称为顺时
针方向；与钟表中指针的旋转方向相反的方向称为逆时针方向。
（3）旋转角度：对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线
（1）、轴对称图形可能有一条对称轴，也可能
的夹角。
有多条对称轴。
2、图形旋转的性质和特征。
（2）、图形重合时，互相重合的点叫做对应点。
互相重合的线段叫做对应线段。
（1）图形旋转后，形状、大小都没有发生变化，只是位置变
化了。
2、轴对称图形的性质和特征。
（2）图形绕某一点旋转一定的度数，图形中的对应点、对应
线段都旋转相同的度数，对应点到旋转点的距离相等地，对应角相
等地。
（1）对应点到对称轴的距离是相等的。连接对
应点的连接线是互相垂直的。
（2）沿对称轴对折，对应点、对应线段都重合。
3、轴对称图形的画法。
3、简单图形旋转90º后的画法。
【例1】画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90º后的图形。
（1）找关键点：找出图形的关键点，分别用字
母表示。
A`
B`
（2）数格：数出这些点到对称轴有几格。
A
（3）、描对称点：在对称轴的另一侧找出对应
点，每组对应点到对称轴的距离相等地。
(4)连线：按顺序连接原图形关键点的对称点，
就画出了所给图形的轴对称图形。
O
B
如：在方格纸上画出下面图形的轴对称图形。
分析：三角形 AOB绕点 O逆时针旋转90º，每条线段都逆时针
旋转90º，分别在点 O的左侧作 OA的垂线和 OB的垂线，使线段 OA
等于线段OA`，线段OB等于线段OB`，再连接A`B`就完成了。
A
三、欣赏设计
B
B`
（一）、熟记知识
1、运用平移设计图案的方法
（1）选好基本图案；
（2）根据所选图案的特点，确定平移的格数（或距离）和平
C
移的方向。
画法：（1）根据对称轴，先找到 B点的对应
点 B`。（对应点在对称轴上时，本身重合，不用再
找，如点 A和点 C）
（3）依据平移的格数（或距离）、方向进行平移。
2、运用旋转设计图案的方法
（2）按顺序连接对应点 A、B`、C，就得到
了原图形的轴对称的图形。
（1）选好基本图案。
（2）根据所选的基本图案确定旋转点和旋转角度。

【例】妈妈买来30个苹果，让小明把苹果放入
（3）依次沿每次旋转后的基本图形的边缘画图。
3、运用对称设计图案的方法
（1）选好基本图案。
篮子。不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每
次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。小明共
有几种拿法？每种拿法各拿几个？
（2）依据基本图案特点定好对称轴线
(3)画出基本图案的对称图形。
第二章、因数与倍数
分析：每次拿的个数相同，最后正好一个不
剩，可以知道每次拿的个数应是30的因数。由于不
能一次拿完，也不能一个一个地拿，应去掉1和它本
身30这两种拿法。
一、因数与倍数。
解：30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30
共8个。8-2=6（种）
（一）、熟记知识。
答：小明共有6种拿法，每种拿法每次分别拿
2个、3个、5个、10个、15个
1、因数、倍数的意义。
在乘法算式中，用乘号边接的两个数，是积
的因数，积叫每个因数的倍数。
二、2的倍数特征
（一）、熟记知识。
1、2的倍数特征
2、找一个数的因数的方法
（1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序
地写出两个整数乘积得此数的所有乘法算式，算式
中的每个因数都是该数因数。
个位上是0，2，4，6，8，的数是2的倍数。
如：10，12，24，36，48，．．．；2的最小倍数是2
本身。
（2）列除法算式找：用此数除以大于等于1
而小于等于它本身整数，看哪些整数作除数时，所
得的商是整数而无余数时，这些除数和商都是该数
的因数。
2、偶数
在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也
是偶数）。偶数就是我们以前说的双数。
3、表示一个数的因数的方法。
3、奇数
（1）列举法：把这个数的因数按从小到大的
顺序排列，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完
用句号结束。
在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。如
1，3，5，7，9，．．．，也就是我们说的单数。
（二）思路与方法
（2）用集合表示：画一个椭圆，把这个数的
因数按从小到大的顺序有规律地写在椭圆里，每两
个因数之间也用逗号隔开，全部写完后，不用加句
号。
1、0是2的倍数，0也是偶数。
2、自然数的个数是无限的，偶数的个数也是
无限的，没有最大的偶数，最小的偶数是0。奇数的
个数也是无限的，没有最大的奇数，最小的奇数是1。
4、找一个数的倍数的方法
（1）列乘法算式找：用这个数，依次与非零
自然数相乘，所乘之积就是这个数的倍数。
3、自然数可以分为奇数和偶数两类。
4、奇数和偶数的运算性质
奇数±奇数=偶数；
（2）列除法算式找：看哪些数，除以这个商
是整数而无余数，这些数都是这个数倍数。
偶数±偶数=偶数；
5、一个数的倍数的表示方法也有两种：列举
法和集合表示法，所不同的是由于一个数的倍数有
无数个，所以在列举出这个数的倍数后，写一个逗
号，其余的倍数用三个点省略号表示。
奇数±偶数=奇数；
奇数×奇数=奇数；
偶数×偶数=偶数；
（二）思路与方法
奇数×偶数=偶数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小因数
是1，最大因数是它本身。一个数的倍数的个数是无
限的，一个的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
三、5的倍数特征

（一）、熟记知识。
3、制作100以内质数表的方法
1、5的倍数特征
（1）根据质数、合数的意义找出100以内的质
数，然而制成表格。
个位上是0或5的数，是5的倍数。
2、同时是2和5倍数的特征
同时是2和5的倍数，也就是10的倍数，这个
（2）用“筛法”找出100以内质数，划支10以
内质数的所有倍数（它的本身除外），找出100以内
的质数，然后制成表格。2、3、5、7、11、13、17、
19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、
67、71、73、79、83、89、97
数的个位只能是0。
3、100以内5的倍数，如下所示：
5，15，25，35，45，55，65，75，85，95，
10，20，30，40，50，60，70，80，90，100
四、3的倍数特征
（二）思路与方法
在质数和合数的问题上容易出现如下错误判断：
1、所有的奇数都是质数。这个说法显然是错误
的。因为象9，15，21等都是奇数，但它们却是合
数，因此所有的奇数都是质数。奇数不一定是质数。
（一）、熟记知识。
1、3的倍数特征
2、所有偶数都是合数。这种说法也不对。因为
2这个数是偶数，但它就不是合数而是质数。
一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个
数就是3的倍数。
3、自然数中除了质数都是合数。这种说法也不
对。因为自然数中，1既不是质数，也不是合数。下
确的说法是：自然数中，除了0、1以外，不是质数
就是合数。
2、同时是2、3和5的倍数特征
（1）同时是2和3的倍数，个位上必须是0，
2，4，6，8，且各个数位上的数字的和是3的倍数。
第三章、长方体和正方体的认识
一、长方体
（2）同时是3和5的倍数，个位上必须是0或
5，且各个数位上的数字的和是3的倍数。
（一）、熟记知识。
1、长方体的认识
顶点
（3）同时是2、3和5的倍数，个位数字是0
且各个数位上的数字的和是3的倍数。
五、质数和合数
（一）、熟记知识。
1、质数
棱
面
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的
数叫做质数（或素数）。例如：2，3，5，7都是质
数。
长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的
面是正方形）围成的立体图形。
2、合数
在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的
棱长度相等。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这
样的数叫做合数。例如：4，6，100，1234都是合
数
2、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长
方体的长、宽、高。
说明：（1）1既不是合数，也不是质数。
质数有两个因数，合数有两个以上因数，1既
不符合质数的意义，也不符合合数的意义，因此 1
既不是质数，也不是合数。
高
宽
（2）质数中只有2是偶数。
长
2是惟一的偶质数。除2以外，其余的质数都是
奇数。
3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长
方体的长ɑ、宽 b、高 h。

长方体的棱长总和=4×（ɑ+b+h）
3、要计量一个物体的体积，就要看它包含多少
个体积单位。
如：在一个长方体中，从一个顶点出发的三条
棱的和是7.5分米，这个长方体的棱长总和是多少？
4×7.5=30（分米）
（二）思路与方法
1、体积和表面积的区别：体积是物体所占空间
的大小，计量体积用体积单位领导表面积是物体表
面的面积，计量表面积用面积单位。两者之间是不
能比较大小的。
二、正方体
（一）、熟记知识。
1、正方体的认识
2、观察生活中的物体，估计它们的体积可以用
棱
顶点
对比的方法。
【例】写出下列物体的体积单位。
面
棱
正方体（也叫做立方体）是由6个完全相同的正
方形围成的立体图形。
（1）一枝铅笔的体积约是10（
）。
2、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方
体。
三、长方体和正方体的表面积
（一）、熟记知识。
（2）收录机的体积约是2（
五、体积的计算
）。
长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面
积。
（一）、熟记知识。
长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
长方体没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
正方体表面积＝棱长×棱长×6（任意一个面积×6）
正方体没盖的表面积＝棱长×棱长×5
四、体积和体积单位
1、长方体和正方体体积的计算方法
（1）长方体体积＝长×宽×高
正方体体积＝棱长×棱长×棱长
V=ɑbh
V=ɑ³
· ·
ɑ³表示3个ɑ相乘，即ɑɑɑ，读作ɑ的立方。
2、体积公式的统一
（一）、熟记知识。
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
1、体积的意义
长方体(或正方体)体积＝底面积×高
V=sh
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、体积的单位
3、在工程上，“1 m³”的土、沙、石等均简称“方”。
（二）思路与方法
计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立
方厘米（cm³），立方分米（dm³）和立方米（m³）。
1、求长方体和正方体的体积时，要看清条件和
问题，注意长、宽和高的单位名称是否统一。如果
单位不统一，要先统一单位才能计算。
（1）棱长是1 cm的正方体，体积是1 cm³，
约为一个手指尖的大小。
【例1】一根长方体木料，长 4m，横截面的面积是
0.08m²，这根木料的体积是多少？
（2）棱长是1 dm的正方体，体积是1 dm³，
约为一个粉笔盒的大小。
V =sh
（3）棱长是1m的正方体，体积是1m³，用3
根一米长的木条做成互相垂直的架子放在墙角所圈
定的空间大小是1m³
=0.08×4
=0.32（m³）

答：这根木料的体积是0.32m³。
2、长方体体积公式的应用。
÷1000
（1）已知长方体的长、宽、高，求长方体的体积，
可以直接用公式 V=ɑbh计算。
×1000
1 dm³
1 cm³
（2）已知长方体体积 V、长ɑ、宽 b、高 h四个
量中的任意三个量，都可以求出第四个量。
（二）思路与方法
即：ɑ=V÷ b÷h= V÷（b×h）
b =V÷ɑ÷h= V÷（ɑ×h）
h =V÷ɑ÷b= V÷（ɑ×b）
长度单位、面积单位、体积单位的比较
意义
常用单位
相邻两个单
位间的进率
10
3、当所给的已知条件不能直接应用时，要把已
知条件适当转化。
长度
单位
面积
单位
体积
单位
计量物体
长度的单位
计量面积
m、dm、
cm
【例2】一根长方体木料，把它截成两段后，正
好是两个完全一样的正方体，表面积增加了32 dm²，
这根长方体木料的体积是多少？
m²、dm²、
cm²
100
100
大小的单位
计量物体
分析：木料的体积应该等于两个正方体的体积和。
所以需要知道正方体的棱长，根据表面积增加了
32dm²，可知原木料的的底面积是32÷2=16（dm²），
所以正方体棱长为4dm。
m³、dm³、
cm³、
占据空间的大小
七、容积和容积单位
（一）、熟记知识。
1、容积的概念
解：32÷2=16（dm²）
16÷4=4（dm）
2×4³
箱子、油桶、仓库等能容纳别的物体，它们被
称为容器。箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体
积，通常叫做它们的容积。
=2×4×4×4
=128（dm³）
答：这根长方体木料的体积是128dm³。
六、体积单位间的进率
（一）、熟记知识。
1、相邻体积单位间的进率
相邻体积单位间的进率是1000。
注意：容积和体积都是同一容器的两个方面的
特征，容积的计算方法与体积相同，但尺寸的取法
不同。
2、容积的计量
（1）容积的计量单位一般用体积单位。
（2）计量液体的体积常用容积单位升（L）和
毫升（ml）。1L=1000ml
1dm³=1000 cm³
1 m³ =1000 dm³
2、体积单位间的互化。
（3）容积单位与体积单位的关系。
(1)由低级单位化成高级单位，用低级单位的数
除以进率，或把低级单位的数的小数点向左移动与
进率相应的位数。
1L=1 dm³
1ml=1 cm³
3、规则物体容积的计算
计算规则物体容积的方法与体积的计算方法相
同。注意最后的结果通常用容积单位表示。
（2）由高级单位化成低级单位，用高级单位的
数乘进率，或把高级单位的数的小数点向右移动与
进率相应的位数。
4、不规则物体体积的计算
测量不规则物体的体积可以用排水法。利用有
刻度量杯记录下放入不规则的物体前后水位的刻
度，水面上升的那部分体积就是不规则物体的体积。
即：1 m³
1 dm³

也可以把容器装满水，把不规则的物体放入容
（一）、熟记知识。
器里，水就会溢出。测量溢出水的体积，溢出水的
体积就是不规则物体的体积。
1、分数的产生
实际生活中，在进行测量、分物或计算时，往
往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。
2、单位“1”的含义
一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，
这个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位
“1”也叫做整体“1”。
3、分数的意义
（1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样
3
的一份或者几份的数叫做分数。如：表示把单位
5
“1”平均分成5份，取其中的3份。
（2）把单位“1”平均分成若干份，表示这样
1
5
1
1
15
1
在一量杯中放入200 ml的水，然后把干净
的土豆放入量杯中，观察量杯中水面上升的高
度，水面上升350 ml处。用350 ml减去200 ml，
就是土豆的体积。
的一份的数叫做分数单位。如：、7、、8 …
都是分数单位。
（3）分数都是由若干个分数单位组成的。如：
3
4
1
4
5
8
1
8
49
100
答：土豆的体积是150 ml。
是由3个组成的，是由5 个组成的，
是由
（二）思路与方法
1
100
49个
组成的。
相同体积的水，在不同容器中所占的容积是悄
变的，但是如果容器的底面积不同，那么它们的高
度也是不同的。
【例】把3kɡ糖平均成5份。每份是3kɡ的几分之
几？是1kɡ的几分之几？
【例2】有甲、乙两个水箱，从里面测量,甲水箱
分析：每份是3kɡ的几分之几，是把3kɡ看作单
长12 dm、宽8 dm、高5 dm，乙水箱长8 dm、宽8 dm、位“1”，平均分成5份，表示这样的一份，所以是
高6 dm。甲水箱装满水，乙水箱空着。现将甲水箱
里的一部分水抽到乙水箱中，使两箱水面高度一样。
现在两水箱睥水面高多少分米？
1
1
3
5
3
3kɡ的5；而3kɡ的5是kɡ，又是1kɡ的5。
1
3
5。
答：每份是3kɡ的5，是1kɡ的
分析：现在甲、乙两个水箱中的水的体积是原
甲水箱中水的体积。甲、乙两水箱高度一致，水的
体积就是甲、乙水箱底面积之和乘水高，所以，水
的高度就等于水的体积除以甲、乙两水箱的底面积
之和。
二、分数与除法
（一）、熟记知识。
1、分数与除尘
解：12×8×5÷（12×8+8×8）
=480÷（96+64）
两个数相除不能整除时，它们的商可以用分数
来表示，它们的关系是：
=480÷160
被除数÷除数=
（除数不为0）
=3（dm）
答：现在两个水箱的水面高度是3 dm。
第四章、分数的意义的性质
一、分数的产生和意义
用字母表示就是：ɑ÷b=
(b≠0)
2、分数与除法的联系与区别

相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。
区别在于除法是一种运算，它有运算符号，是算式，
而分数是一个数。
数。如：1、7、8 …
2、带分数的组成及读、写。
3、求一个数是另一个数的几分之几
（1）求一个数是另一个数的几分之几的问题的
解题方法：用一个数÷另一个数 =
（1）带分数的组成：带分数由两个部分组成，
带分数中的整数（不包括0）叫做事分数的整数部分，
带分数中的真分数叫做带分数的分数部分；也就是
说带分数是由整数和真分数合成的数，因此，带分
数大于1。
(2)带分数的读法：带分数读法与以往分数不同，先
读带分数的整数部分，整数部分是几就读几，然后
读分数部分，分数部分按照几分之几的方法去读，
即比较量÷标准量 =
。
得到的商是表示两个数的关系，没有单位名称。
分数部分和整数部分中间加个“又”字。如：1读
（2）具体解决问题时，有两种思考方法，如：
鸡有3只，鸭有5只。鸡的只数是鸭的几分之几？
作 1又三分之二。
（3）带分数的写法：先写整数部分，后写分数部分，
“又”前面的数是整数部分“又”后面的数是分数
从分数线意义入手：把5只看做整体，平均分成
1
5
3
5
5份，每份一只，3只就是3 个，也就是
部分。如:作八又四分之三写作：
3、把假分数化成整数或带分数
。
从倍数的关系入手：可以用除法计算，列式为：
把假分数化成整数或带分数，要用分子除以分母。
3÷5 =
（1 ）能整除的，所得的商就是整数。
三、真分数和假分数
如：
= 12÷4 = 3。
（一）、熟记知识。
1、真分数的意义和特征
用分子除以分母，不能整除的，商就是带分数
的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。
用式子表示为：
（1）意义：分子比分母小的分数叫做真分数。
（2）特征：真分数小于1。
2、假分数的意义和特征
（1）意义：分子比分母大的分数叫做假分数。
（2）特征：真分数大于1或等于1。
3、假分数分为两种情况
5
2
1
2
如： =5÷2=2。
4、把整数或带分数化成假分数
（1）把整数化成假分数，用指定的分母作分母，
5
8
（1）分子恰好是分母的倍数的假分数。如：5；2。
用分母和整数的乘积作分子。如：2=
。
9
8
（2）分子不是分母的倍数的假分数。如：4；3。
6 =
。
四、带分数和假分数
（一）、熟记知识。
（2）把带分数化成假分数，用原来的分母作分
母，用分母和整数的乘积再加上原来的分子用
分子。用式子表示为：
1、带分数的意义。
由整数（不包括 0）和真分数合成的分数叫做带分

如：
45
【例2】把48的分子减去30。如果改变分数大小，
五、分数的基本性质
（一）、熟记知识。
1、分数的基本性质
分母应减去多少？
分析:根据分数的基本性质，找出分子乘或除以
的数，再让分母乘或除以相等的数。
分数的分子和分母同乘或除以相同的数（ 0除
外），分数的大小不变。
解：分子45-30=15
即分子45除以3
分母48除以3
如：
分母48÷3=16
48-16=32
分母应减去32
答：分母应减去32。
六、最大公因数
（一）、熟记知识。
1、公因数
2、在分数的基本性质中，“0除外”的原因
如果分数的分子、分母都乘0，则分数的分母为
0，而分母不能为0的，因而分数的分子、分母都
不能为0，所以分数的分子、分母都不能同时乘0；
又因为在除法里0不能作除数，所以分数的分子、分
母也不能同时除以0。
（1）意义：几个数公有的因数叫做这几个数的
3、“分数的基本性质”与“商不变的规律”之间
公因数。
的联系与区别
（2）公因数的表示方法
联系：回顾分数与除法的关系：分数的分子相
当于除法中的被除数，分数的分母相当于除法中除
数。在除法中被除数与除数都乘或除以相同的数（0
除外），商不变。所以，在分数中，分数的分子和分
母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
如：找出15和18的公因数。
15的因数
18的因数
5、15
1、3
2、6、918
区别：“商不变的规律”是一种运算，它有运算
过程，是一个算式运算过程中的变化规律，而“分
数的基本性质”是对一个分数本身的变化规律的描
述。
公因数
15和18的公因数是1、3
2、最大公因数
（二）思路与方法
几个数的公因数中最大的一个叫最大公因数。
如：15和18的最大公因数是3。
运用分数的性质，把一个分数化成指定分母（或
分子）而大小不变的分数，必须是分数的分子和分
母都乘（除以）相同的数（0除外），而不能只乘（除
以）分母或只乘（除以）分子。
3、找两个数的公因数和最大公因数的一般方法。
先分别找出两个的因数，再从中找出它们的公
因数。除了以上方法，也可以先找出其中一个数的
因数，再判断这些数中哪些因数也是另一个数的因
数，那些数就是这两个的公因数。再从中找出最大
1 5
【例1】把4和6化成分母是12的分数。

公因数。
母和分子同时除以分子，约分后就是几分之一。
（二）思路与方法
（2）当分数的分母的和分子都是整十、整百数
时，约分时可以划去分子、分母末尾同样多的0后再
约分，这样更简便。
1、两个数的公因数可能有1个或多个，但两个
数的最大公因数只有1个。
（3）当分数的分子和分母都是偶数时，可以先
用2去除。
2、当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个
的最大公因数。如：3和9的最大公因数是3。
（4）公因数只有1的两个数组成的分数一定是
七、约分
5 7
最简分数。如：7，5。
（一）、熟记知识。
1、最简分数
2、当分数的分子和分母同时加或同时减一个数
时，应抓住分子和分母差不变的这个“不变量”进
行分析，再转化并解答。
一个分数的分子分母只有公因数1，就是最简分
数。
（1）分子和分母是两个相邻的自然数（0除外）
5
【例2】分数13的分子、分母同时加上一个数约
一定是最简分数。
（2）分子和分母是两个不同的质数的分数一定
是最简分数。
1
分后得2，同时加上的这个数是多少？
（3）分子是1的分数一定是最简分数。
2、约分的意义
5
1
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比
较小的分数，叫做约分。
分析：13的分母比分子多8，2的分母比分子
多1，因为同时加上一个数，分子和分母的差就应是
3、约分的方法
1
（1）逐步约分法：用分数的分子和分母的公因
数（1除外）逐次去除分子和分母，直到得出一个最
简分数。
不变的，从1到8应扩大8倍，也就是应将2的分子和
1
分母同时扩大到原来的8倍，分子的差才是8。2的
（2）一次约分法：用分数的分子、分母的最大
公因数去除分子和分母就得到最简分数。
8
分子、分母同时扩大8倍是16，用8减去5或16减去
30
【例1】把48化成最简分数
13就得到分子、分母同时相加的数。
解：（13-5）÷（2-1）=8
逐步约分法： 5
一次约分法：5
30 5
15
48 =8
30 5
48 =8
8
8-5=3（或16-13=3）。
八、最小公倍数
（一）、熟记知识
1、公倍数
24
8
（二）思路与方法
1、约分技巧
（1）意义：几个数公有的倍数，叫做这几个数
的公倍数。
（1）当分数的分母是分子的倍数时，约分时分
（2）公倍数的表示方法也有两种：列举法和集

合法。
2、通分的意义
2、最小公倍数的意义
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分
母分数叫做通分。通分时要运用分数的基本性质。
几个数的公倍数中最小的一个，叫做这几个数
的最小公倍数。
3、先求出原来几个分母的最小公倍数，然后利
用分数的基本性质把各分数分别化成这个最小公倍
数作分母的分数。
3、求最小公倍数的方法
（1）列举法：分别写出两个数各自的倍数，再
从中找出公倍数和最小公倍数。
4、分数大小的比较方法
（1）分母相同：分母相同，分子不同的两个分
（2）先写出两数中较大数的倍数，然后从这组
数中按从小到大的顺序圈出较小数的倍数，第一个
圈的数就是它们的最小公倍数。
数，分子大的分数大。
（2）分子相同：分子相同分母不同的两个分数，
分母小的分数大。
（3）如果两数成倍数关系，较大数就是它们的
最小公倍数。
（3）分子、分母不相同时分数通分后按（1）方
法比较。
（4）如果两个数是互质数，那么这两个数的积
就是它们的最小公倍数。
（二）思路与方法
（二）思路与方法
1、约分与通分的相同点和不同点
1、一个数的倍数是无限的，几个数公倍数也是
相同点：依据都是分数线的基本性质，且都要保
持分数大小不变。
无限的，但几个数最小公倍数只有一个。
2、分解质因数法求两个数的最小公倍数：分别
把两个分解质因数，相同的质因数对齐写，独有的
质因数单独写，然后相同的质因数取1个，独有质因
数都取出，把它们乘起来，积就是最小的公倍数。
不同点：①约分只对一个分数进行，而通分至少
对两个分数进行；②约分是分子和分母同除以一个
不等于零的数，而通分则分子、分母同时乘一个不
等于零的数；③约分的结果是最简分数，通分的结
果是同分母分数。
如：4=2×2
2、带分数的方法
6=2×3
带分数进行通分时，整数部分不变，只要把分数
部分通分，但不能丢掉整数部分。
4和6的最小公倍数是2×2×3=13。
【例】一群小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人
余下2人，第二次分组每组5人也余下2人，部最少有
多少个小朋友做游戏？
如：
和
通分。
分析：根据题意，要求最少有多少名小朋友做
游戏，就是在求4和5这两数的最小公倍数后，再加
上2。
解：4和5的最小公倍数是20
20+2=22（人）
5 6
比较8和13的大小
答：最少有22个小朋友做游戏。
九、通分
【例】
分析：比较分数大小的方法很多，可以把这两个
分数化成分子相同的分数进行比较。也可以找中间
（一）、熟记知识
1、公分母
1
5
量2进行比较，8的中间数是8份中的4份，5份大于
把异分母分数化成同分母分数，这个相同的分母
叫做它们的公分母，最小的一个数叫做最小公分
母。
6
4份，所以
；13的中数应是13份中的6.5份，

2
40
5 6
，因此能比较出8和13的大小。
所以
1
7
解：方法一：
，
，因为
，
75
3
875
7
0.75 = 100 = 4
0.875 = 1000 = 8
所以
。
4
8
2、把混小数化成分数时，先把小数部分按照小
数化成分数的方法化成分数，再加上整数部分。
方法二：因为
，
，所以
【例2】把2.65化成分数。
十、小数化分数
（一）、熟记知识
1、小数化成分数
解：
根据小数的意义，有限小数可以直接写成分母
是10、100、1000，．．．的分数。原来有几位小数，
就在1后面写几个0作分母，把原来的小数去掉小数
点作分子，能约分的要约分，一般都化成最简分数。
=
=
2、常用小数的分数值
为了提高计算速度，应记住一些常用小数的分数
值。如：
十一、分数化小数
（一）、熟记知识
分数化成小数的方法
1、分母是10、100、1000，．．．的分数化成小
数，可以直接去掉分母，看分母1后面有几个零，就
在分子中从后面一位起向左数出几位，点上小数。
2、分母不是10、100、1000，．．．的分数化成
小数，用分子除以分母，除不尽时按“四舍五入”
法保留几位小数。
3、把带分数化成小数，可以先把带分数化成假
分数，再用分数与除法的关系把假分数化成小数。
还可以先把分数部分化成小数，再加上整数部分。
（二）思路与方法
1、掌握小数化成分数的基本方法。
（二）思路与方法
【例1】把0.5、0.025、0.75、0.875化成纸浆分
一个最简分数，如果分母中只含有质因数2和
5，这个分数就能化为有限小数；如果分母中除了2
和5以外，还含有其他的质因数，这个分数就不能化
为有限小数。
数。
分析：把小数化成分数时，先看原来小数点后面
有几位小数，就在1后面写几个0作分母，去掉原来
的小数点作分子，化成分数后，能约分的要化成最
简分数。
7 43
、
【例1】把10 100、1
化成小数。
解：
1
1
分析：根据分数与除法的关系用分子除以分母，把
分母是 10、100、1000、．．．的分数化成小数时，可
以直接去掉分母，看分母中 1后面有几个 0，就从
5 1
0.5 = 10 =2
25 1
0.025 = 1000 =40

分子中最后一位起向左数几位，点上小数点。
正解
7
解： = 0.7
43
= 0.43 1
= 1.009
10
100
+ = = 1
4 7 3 8
、、
【例2】把5、15 8 25、1
10
化成小数。
、
21
【例2】计算：
（除不尽的保留三位小数）
分析：把分数化成小数，用分子除以分母，除
不尽的按“四舍五入”保留三位小数。
4
5
7
= 4÷5=0.8
=7÷15≈0.467
8
=8÷25=0.32
15
3
8
错因
数。
分析
=3÷8=0.375
25
2
计算结果8没有化成最简分数，应化成最简分
10
21
1 = 27÷20=1.35
= 10÷21≈0.476
正解
第五章、分数的加法和减法
一、同分母分数加、减法
（一）、熟记知识
1、分数加、减法的意义
（1）分数加法的意义：分数加法的意义与整数
加法的意义相同，是把两数合并成一个数的运算。
（2）分数减法的意义：分数减法的意义与整数
减法的意义相同，是已知两个加数的和与其中一个
加数，求另一个加数的运算。
二、同分母分数连加与连减
（一）、熟记知识
1、同分母分数连加的计算
2、同分母分数加、减的计算法则
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相
加减。计算结果，能约分的要化成最简分数。
（二）思路与方法
同分母分数连加，可以按照整数连加的方法从左向右计算，也
可以直接把每个加数的分子连加起来，分母不变。
2、同分母分数连减的计算
同分母分数连减，可以按照整数连减的方法从左向右计算，也
可以直接用被减数的分子连续减去减数的分子，分母不变。
1、计算同分母分数加法时，应避免用分子与分
子相加、分母与分母相加的错误计算方法，牢记法
则中的分母不变的道理。
3、在计算过程中如果出现“1”，“1”可以化成任意一个计算时
需要的分子和分母相同的分数。最后结果都要化成最简分数。
2、计算的结果，能约分的在约分成最简分数 j
假分数的，一般在化成带分数或整数。
（二）思路与方法
3、分子是0的分数等于0。
【例1】计算：
根据计算能力的不同，在计算同分母分数连加、连减运算时可
以采用不同的计算方法。
【例1 】计算
解：方法一：
=
=
=
错因
分析
计算方法错误。同分母分数相加，分母不变，
分子相加。

分数，然后按照同分母分数加、减法的法则进行计
=1
算。如：
方法二：
=
= =1
2、异分母分数加、减法的应用
应用异分母分数加、减法解决问题，要根据加、减
法的意义来列式解答。
【例2】计算
3、分子是“1”的异分母分数加、减法的计算。
（1）分子是“1”的两个异分母分数相加，可以
用分母的积作新分母，分母的和作新分子，即：
解：方法一：
=
（2）分子是“1”的两个异分母分数相减，可以
用分母的积作新分母，分母的差作新分子，即：
四、分数加减混合运算
（一）、熟记知识
1、分数加减混合运算的顺序
分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合
运算的顺序相同。没有括号的按照从左至右的顺序
进行计算；有括号的先算括号里面的，然后算括号
解：方法二：
外面的。如：
=
=
=
2、分数加减混合运算的计算方法
三、异分母分数加、减法
异分母分数加减的混合运算，计算过程中，如
果没有括号，几个分数可以一次性通分进行计算；
也可以分步通分，分步计算。
（一）熟记知识
1、异分母分数加、减法的计算法则
异分母分数相加、减，要先通分，化成怀分母
（二）思路与方法

1、进行分数加减混合运算时，应按照运算顺序和运算
性质进行计算，不应随便改变运算顺序，致使结果错误。
（1）
（2）
2、分数加减混合运算通常都是用一次通分、一
次计算的方法进行计算。通分时，要用几个分母的
最小公倍数做分母，计算时要看清运算符号。有括
号的加减法，一般先将括号里的分数通分，不要一
次通分。
【例】计算。
=1+1
（1）
（2）
=2
=
=
=
=
=
=
（二）思路与方法
计算分数加减混合运算时，要注意观察分数的
分子、分母有什么特点，考虑能不能进行简便计算。
如分母相同的先计算，可以凑整的先计算等等。
【例2】计算
分析：题中的两个加数的分母相同，两个减数的分
母也相同。可以进行简便运算。
五、分数加减简便运算
解：
（一）熟记知识
1、整数加法的交换律、结合律对分数的加法同
样适用范围；整数加减混合运算的性质对分数加减
混合运算也同样适用。应用运算定律和运算性质，
可以使运算简便。
=26 – 9
=7
加法交换律：ɑ+b=b+ɑ
加法结合律：（ɑ+b）+c=ɑ+(b+c)
减法性质：ɑ-b-c=ɑ-(b+c)
2、去括号法则
练习：解方程
X-
=
（1）一个数加上两个数的差，等于先与括号里
的被减数相加，再减去括号里的减数。
即：ɑ+(b+c)=ɑ+b-c
（2）、一个数减去两个数的和，等于用这个数
依次减去括号里的两个数。
第六章统计
一、众数
即：ɑ-（b+c）=ɑ-b-c
（一）熟记知识
3、加减混合运算中，改变各部分运算顺序，结
果不变。
1、众数
即：ɑ+b-c=ɑ-c+b
ɑ-b-c=ɑ-c-b
在一组数据中，出现次数最多的数，是这组数据的众
数。
【例1】用简便方法计算下面各题
2、众数的特征

众数能够反映一组数的集中情况。
解：平均数
3、统计量的选择
选择统计量来表示数据的特征，要根据所给数据的具
体情况和中位数、众数、平均数的特征，来做出恰当的选
择。
4、在一组数据中，众数可能不只一个，也可能没有
众数。如：88、87、85、88、87、86、90、94、87、88、 =2292（元）
90、94、87、88、94、95、92、91、96，在这组数据中
众数为1800。
87和88出次数都是4次，那么87和88都是这组数据的众数。
又如：8.2，8.3，8.4，8.5，8.6，8.7这组数据中没有一个
（2）用众数代表这个公司员工工资的一般水平比较
合适。
数重复出现，这组数据就没有众数。
（二）思路与方法
二、复式折线统计图
平均数、中位数、众数的相同点和不同点
（一）熟记知识
1、相同点：它们都是描述一组数据集中情况的统计
1、复式折线统计图
量。
在统计过程中存在两组数据，又需要在一个统
计图中表示这两组数据，就要用两种不同羊肠顔色
（或其他形式）的折线来表示不同数量的变化情况
的折线统计图，这就是复式统计图。
2、不同点：描述的角度和适用范围不同。
（1）平均数：应用范围最广泛，用它作为一组数据
的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中每一个数据都
有关系，能够最充分地反映这组数据所包含的信息，在进
行统计推断时有重要的作用，但容易受到极端数据的影响。
2、复式统计图的特点。
复式统计图不但能表示出两组数据各自数量
的多少，数量增减的变化情况，而且还可以对两组
数据进行比较。
（2）中位数：在一组数据的数值排序中处于中间的
位置，在统计学分析中扮演着“分水岭“的角色，由中位
数可以对事物的大体情况进行判断和掌控。
3、读懂复式统计图
（3）众数：着眼于对各数据出现的次数的考察，其
大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不
少数据多次重复出现时，它的众数往往是人们关心的一种
统计量。
（1）观察方法：①横向观察，观察横向轴线
数据所表达的含义；②纵向观察，观察纵向轴线数
据所表达的含义；③比较观察：可以单向对比一条
折线图前后的变化，还可以双向比较两条折线图，
进行数量间的对比，找出差异。
【例】南方电子公司全体员工工资情况统计如下表：
（2）变化趋势分析：观察拆线图的走势，折
线图起始点数据低而终端数据较高，则数量呈上升
趋势；如果起始数据、中间数据、终端数据变化不
大，则数据平稳地；起始数据高，终端数据较低，
则数据呈下降趋势。
员工
总经
理
副总经
理
部门经理
普通员工
人数
1
2
5
42
月工资/元
9000
5500
3800
1800
（二）思路与方法
（1）这组数据的平均数、众数各是多少？
（2）你认为哪个数据代表这个公司员工工资的一般
制作复式统计图的方法
1、写出统计图的标题，标题写在图的正上方，
在标题右下方标明制作图日期（也有不写日期的）。
水平比较合适？
分析：（1）这组数据中出现次数最多的数是1800，所
以众数是1800；平均数可以通过计算求出。
2、根据两组数据的多少和图纸的大小，画出
两条互相垂直的射线。
（2）用众数代表这个公司员工工资的一般水平比较
3、用横轴（水平射线）表示项目。
合适，因为它反映的是大多数人的工资水平。
4、、在纵轴（即与水平射线垂直的射线）上用
一定的单位长度表示一定的数量。

5、用两种不同的图例表示两种不同的量。
也至少称3次一定能找出次品。
6、按照数据大小，分别描出两组数据的各点，
（3）把它们平均分成3堆，至少称2次一定能
再根据图例连接各点。
000000000000000000000000000000000000
找出次品。
说明：用天平找次品最重要的是分类，将零件
平均分成份是最好的分法，所称的次数也最少。
【例】下面是两支篮球队四场对抗赛比赛的结
果。
（二）思路与方法
1、在找次品时，称量过程中，通过天平平衡
或不平衡，有时一次就能找到次品，但这是偶然情
况，不全面的。
第一场第二场地第三场地第四场地
球队1
球队2
73
90
80
97
92
94
96
87
2、有些问题条件较复杂时，可以画图解决，
在图形中把各类数量关系表示出来，这样就可以很
容易看出要求的问题。
根据统计数据制作统计图。
【例1】长江仪器厂生产10个产品，其中有一
个产品不合格，它比其他合格产品轻一些。你用一
个天平最少称几次可以保证找出次品？
分析：先把10个产品分成3个、3个、4个共3
堆，把3个、3个分别放到天平的两边，如果天平不
平衡，次品就在翘起的那端，如果天平平衡，次品
就在4个中，依次类推，就可以找到次品。
答：3次。
【2】1号、2号、3号、4号、5号这五位同学进
行乒乓球单循环比赛，已知前四位同学已赛这的场
次依次序为4、3、2、1场，此时5号同学赛了几场？
分析：单循环赛是每位选手与其他选手赛一
场。可画图表示比赛情况：潮湿五个点表示五位同
学，两点之间有线相连时表示此两人已赛过，如图：
1号 A
2号 B
E 5号
第七章、数学广角
（一）熟记知识
3号 C
D 4号
从 A点出发有4条线段式从；B点出发有3条
线段，但不能连 D，D已有一条 AD，所以只能连
BE、BC；从 C点出发有2条线段，已有：从 D点出
发有一条线段，也已有。这样可以看出5号赛了2场
地，和2号和1号赛完。
找次品问题解决方法
同一问题有多种解决方案，在解决问题时我们
可以寻求最优解决策略。
如：9个零件中有一个是次品（次品重一些）
用天平称，至少称几次就一定找出次品来？
答：5号同学赛了2场。
解决这类问题有多种方案：
（1）把它们分成4个、4个、1个共3堆，至少
称3次一定能找出次品。
（2）把它们分成2个、2个、2个、3个共4堆，