人教版新课标B必修4第二章 平面向量2.3 平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义教案

平面向量数量积的物理背景及其含义

教学设计

（一）教学目标

　　1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，

　　并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；

3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

（二）重点难点

本节课的教学重点是平面向量数量积的定义和 性质

教学难点是平面向量数量积性质的探究。

（三）课堂结构设计

本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

创设问题情景                      　抽象概念          应用概念               探究几何意义　应用几何意义          　  探究性质                       应用性质                                例题与练习　　小结提升          检测反馈

课前预习问题导学提纲

看课本P107到P109

1.物理学中的功的定义是怎样的，它是标量还是矢量？

2.两个向量的夹角是如何规定的？范围是什么？

3.向量的数量积是如何定义的？如何表示？

  有哪些性质？

4..向量在向量方向上的正射影与数量应如何理解？

5.两向量的数量积与实数乘法有何异同?

6. 平面向量数量积有哪些应用？

课前：多媒体课件打开展示，学案发给学生。预习学案检查，生生互查。

上课：黑板板书题目（向量数量积的物理背景与定义）

课件打开展示学习目标、学习重点、难点。（1分钟）

1、问题导入：创设情境

问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

课件

（1）力F所做的功W=     。 （2）请同学们分析这个公式的特点：

W（功）是  量，F（力）是   量，S（位移）是   量，α是             。

             （添加到上面的板书）（课件展示此公式）

2、抽象概念、类比推理：（5分钟）

问题 ：从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？（学生讨论热烈）

学生讨论：如果把力和位移抽象地看成两个“向量”，把力与位移的夹角抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它就是从向量得到一个数量（即）的运算，这里是向量的夹角。（类比思想，本节课学习目标的过程与方法之一）

板书：留空（三、向量的数量积：）

（板书）=     老师边写学生边共答（课件展示此公式）

老师强调这是本节课学习重点

老师叙述：引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为：

学生甲回答：已知两个向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即=。θ为两个向量的夹角。 （课件展示上述内容）（学生识记）

1、   夹角问题 （4分钟）

板书：二、夹角 < ,>

课件展示

（老师画，学生动手画图，自己任画两个向量作图找夹角）

学生总结找夹角的步骤：1、平移其中一个向量，使起点相同

                           2、找到它们形成的0°—180°的夹角。

展示课件

强调：特别地，当向量与的夹角分别等于和时，两个向量分别是同向、反向和垂直。向量与垂直，记作。

教师：（打开几何画板课件展示夹角的动态变化，固定，绕o 点旋转）

学生：看了很感兴趣，课堂气氛活跃。学生通过视觉直观感受，加深了夹角范围的认识，加强数形结合的联系，体验到数形结合

师：板书< ,>∈[0,∏]提示，（这是本节课的学习目标之二。）

学生共同叙述范围

课件展示下面一页：

加强练习：课件展示下面练习：（2分钟）

学生：小组合作找夹角，一组代表上黑板展示画出夹角，写出大小，老师学生一块点评。

3、回扣数量积：（3分钟）

强调1、“ · ”不能省略不写，也不能写成“×”

2、两个向量数量积的结果是一个实数，这与向量的加法、减法和数乘运算是不同的。

3注意公式变形，知三求一.

4、规 定                  注意右端是实数0

 师提问：考虑数量积的符号取决于什么？

学生1抢答：由的符号决定。 学生2抢答： 由θ的大小决定

提问学生，教师点拨

（打开几何画板，动态演示夹角变化，数量积的数值由正变负。）

学生看了很感兴趣，议论纷纷，唏嘘惊奇不已。加深数量积是一个实数的认识，使学生通过视觉直观加强数形结合的联系。

同学们填写下表：

3、应用概念、小试牛刀：

学案上

判断下列说法是否正确：

①     向量的数量积可以是任意实数。

②       若，则对任意向量，有。

③       若，则对任意非零向量，有。

④       如果＞0，那么与的夹角为锐角。

⑤       若，，则。

⑥       若，，则。

4、探究几何意义：（板书作图）（5分钟）

让学生画出钝角的情况下的射影图形，体验数形结合的思想

（板书）数量积 a · b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投正射影的数量  |的乘积.

学生叙述|a|cosθ的几何意义

5、应用几何意义

课本109页练习B1

6、合作探究性质：

1

2、或；长度公式

3                      垂直条件

 4当与同向时，，特别地

当与反向时，。共线条件

5、    夹角公式

（强调这是本节课的重点学习目标之二）板书以上性质，学生书写一遍。

7、应用性质

例3 已知向量与的夹角为，，分别在下列条件下求：

（1）  ；（2）∥ ；（3）(直接应用) （

课件展示，学案纸上做）（四组代表黑板做，五组代表点评，教师及时作出评价）

做课本练习A 1、

变式：已知，，=3√3，求向量与的夹角

8、知识回顾：（课件展示）

9、小结：

1.理解平面向量的数量积的物理意义，了解几何意义

2.掌握平面向量的数量积的概念 *

3.掌握平面向量的数量积的性质 *

4.理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的运算，注意它们的区别；

5.会用数量积的定义及性质解决向量的夹角、长度、垂直等问题。*

（课件展示，学案纸上做）

课堂检测（5分钟）

10、课后作业：总结归纳：

数量积与数乘向量积的本质区别

作业本：练习B组1、2    非常学案，活页

（四）板书设计

（五）        课件制作，见课件

平面向量数量积的物理背景及其含义

课标分析

《普通高中数学课程标准（实验）》 对本节课的要求有以下三条：

（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的课堂学习目标定为：

知识与技能：

（1）学生能够通过平移找出两个向量的夹角，掌握夹角的范围。

（2）学生了解平面向量数量积的物理背景，理解平面向量数量积的定义及其物理意义，能求出两个向量的数量积。知道夹角的大小决定非零向量数量积的符号，通过用数量积解释物理知识，进一步加深对数量积的定义的理解

（3）体会平面向量的数量积与向量的投影的关系，学生能够学会求一个向量在另一个向量方向上的正射影的数量，运用几何直观理解定义的实质，揭示其几何意义。

（4）学生能够掌握数量积的五条重要性质，学生能通过公式变形得到夹角公式，能运用数量积解决两个向量的夹角问题，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．学会使用数量积求向量的长度。

过程与方法：

通过与向量的线性运算的比较，体会类比的数学思想和方法。

通过向量数量积的几何图形及解释，体会数形结合的思想方法

通过小组合作，讨论交流，比较归纳，提高接受新事物能力。

情感态度价值观：

通过物理中“功”等事例，提高分析事物间相互联系的能力。

根据平面向量数量积物理背景及平面向量数量积的物理意义，培养学科间相互渗透的学习意识。培养观察，抽象概括，互相协作能力，激发学生的兴趣和应用意识。进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

学习目标重点：平面向量数量积的定义及性质

学习目标难点：对平面向量数量积的定义及性质的理解和应用

教材分析

（一）地位与作用

向量是近代数学中非常重要的数学概念之一，它是联系几何、代数与三角函数的一个桥梁，不仅其本身有着丰富的内容，更由于它在数学、物理等学科及其他生产、生活领域中的广泛应用，从而在高中数学中占据着举足轻重的地位。

平面向量数量积是继向量的加、 减法，实数与向量的乘积等线性运算之后又一新的运算。平面向量数量积的物理背景及其含义，包括数量积的定义、 几何意义、 性质及运算律。是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用。在数学、物理等学科中应用十分广泛。

（二）内容分析

本节课的主要学习内容是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

教材在给出向量数量积的概念后，介绍了向量投影的定义，我们探究它的几何意义，为研究性质和运算律提供形的支持。本节教材共安排了2道例题，求正射影的数量和求数量积的例题，我根据学生实际选择了其中的4道和一道变式，并对例3和例4增加了题后反思。例3是数量积的定义的综合应用，例4是性质的应用，教学时，我重点从对定义的分析和定义式、性质的规范书写两个方面加强示范，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

学情分析

1、学习任务分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。

从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。

2、学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，学习过任意角的三角函数和物理学中的力做功知识，应该能解决简单的物理问题。 所以我主要采用从物理知识出发引导学生，激发学生学习的兴趣与热情，让学生自主探究逐步得出数学上的重要结论。

平面向量数量积的物理背景及其含义

课后反思

一、反思教学理念：

新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，应该本着以学生为主体的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计习题上,也是先让学生审题、独立思考、合作探究解法,然后展示，教师在其中只进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,拓展思路,通过训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本设计的主旨思想是把本节的学习过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.

二、反思教学过程

一）引课：因为前面学生已经学习了向量的线性运算，所以今天学习向量的数量积学生不会感到突然，因而开门见山的引课方式是比较好的；

二）平面向量的数量积的概念的探究过程，通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，学生很容易接受。引出向量的夹角也显得顺理成章。在这里设计找夹角的练习，使学生感觉很形象直观。

三) 通过数量积的几何意义的探究，对定义加深形象直观的理解，画抽象为形象。这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量正射影的关系，同时也更符合知识的连贯性，为后面的性质运算律的证明理解提供形象的支撑。

四）数量积的重要性质，通过学生合作探究自己推导得出结论，印象非常深刻，有利于更好的理解定义，把握其实质。我还补充了合作探究、课堂练习、及课后作业，针对性较强。

五）设计检测题从定义与性质方面进行检查，及时查漏补缺，巩固知识，达成目标。

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