高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.1.2 数据的数字特征课堂检测

数据的数字特征

(15分钟　30分)

1.某地铁运行过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、极差的和为(　　)

A.120  B.165  C.160  D.150

【解析】选A.这组数据的众数是60,极差为70-10=60,它们的和为120.

2.已知一组数据:12,5,9,5,14,则下列说法不正确的是 (　　)

A.平均数是9   B.中位数是9

C.众数是5   D.极差是5

【解析】选D.数据描述类的题目,主要考查了平均数、中位数、众数、极差的计算,题目数据比较简单,先从简单的众数入手,C是正确的,其次从小到大排列为5,5,9,12,14,B是正确的,再算平均数,所以A也正确.

3.在某次考试中,10名同学的得分如下:84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数、中位数和75%分位数分别为              (　　)

A.84,68,83   B.84,78,83

C.84,81,84   D.78,81,84

【解析】选C.将所给数据按从小到大的顺序排列是68,70,77,78,79,83,84,84,85,95,显然众数为84,而本组数据共10个,中间两位是79,83,它们的平均数为81,即中位数为81.因为10×75%=7.5,所以这一组数据的75%分位数为84.

4.一个样本数据按从小到大的顺序排列为:13,14,19,x,23,27,28,31,中位数为22,则x=________. 

【解析】由题意知=22,则x=21.

答案:21

5.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位:环).

如果甲、乙两人只有1人入选,你认为应如何选择?

【解析】甲的平均数为=(10+8+9+9+9)=9.

乙的平均数为:=(10+10+7+9+9)=9.

甲的方差为=[(10-9)2+(8-9)2]=.乙的方差为=[(10-9)2+(10-9)2+(7-9)2]=.

甲、乙两人平均数相同,但<,说明乙的波动性大,故应让甲入选.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.有一笔统计资料,共有11个数据如下(不完全以大小排列):2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数为6,则这组数据的方差为              (　　)

A.6  B.  C.66  D.6.5

【解析】选A.因为=(2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)=(61+x)=6,

所以x=5.

方差为:s2=

==6.

2.某校为了丰富校园文化,举行初中生书法大赛,决赛设置了6个获奖名额,共有11名选手进入决赛,选手决赛得分均不相同.若知道某位选手的决赛的得分,要判断他是否获奖,只需知道这11名学生决赛得分的              (　　)

A.中位数  B.平均数  C.众数  D.方差

【解析】选A.由中位数的概念,即最中间一个或两个数据的平均数;可知11人成绩的中位数是第6名的得分.根据题意可得:参赛选手要想知道自己是否能进入前6名,只需要了解自己的得分以及全部得分的中位数,比较即可.

3.(2020·张家界高一检测)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,(x,y∈N*),已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为(　　)

A.4  B.3  C.2  D.1

【解析】选A.由这组数据的平均数为10,方差为2可得x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,因为不需要直接求出x,y,只要求出|x-y|,

设x=10+t,y=10-t,

由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4;

所以|x-y|=2|t|=4.

【补偿训练】

已知k1,k2,…,kn的方差为5,则3(k1-4),3(k2-4),…,3(kn-4)的方差为________. 

【解析】设k1,k2,…,kn的平均数为,

则3(k1-4),3(k2-4),…,3(kn-4)的平均数为3(-4),所以s2=[3(ki-4)-3(-4)]2=[3(ki-)]2=9×(ki-)2=9×5=45.

答案:45

4.气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天日平均温度不低于22 ℃”,现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数,单位是℃)

①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;

②乙地:5个数据的中位数为27,平均数为24;

③丙地:5个数据中有一个数据是32,平均数为26,方差为10.2.

则肯定进入夏季的地区有 (　　)

A.0个  B.1个  C.2个  D.3个

【解析】选C.对于①,甲地肯定进入夏季,因为众数为22,所以22至少出现两次,若有一天低于22℃,则中位数不可能为24;

对于②,乙地不一定进入夏季,如13,23,27,28,29;对于③,丙地肯定进入夏季,

根据方差的定义:[(x1-26)2+(x2-26)2+(x3-26)2+(x4-26)2+(32-26)2]=10.2,

即(x1-26)2+(x2-26)2+(x3-26)2+(x4-26)2=15,

显然x1,x2,x3,x4都要大于22,才能成立.故满足题意的有①③.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.下列说法中正确的是 (　　)

A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定

B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定

C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定

D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定

【解析】选ACD.由数据的极差、标准差、方差的定义可知,它们都可以影响样本数据的分布和稳定性,而数据的平均数则与之无关,故B不正确,ACD正确.

6.奥运会体操比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,去掉一个最低分,再计算剩下分数的平均值,以下针对这一做法说法错误的是(　　)

A.减少计算量　　　　　B.避免故障

C.剔除异常值    D.活跃赛场气氛

【解析】选ABD.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.一组数据从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中x≠5,已知该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的标准差是________. 

【解析】由题意得该组数据的中位数为,众数为2.所以=2×,

所以x=4.

所以该组数据的平均数为

=×(1+2+2+4+5+10)=4,

所以该组数据的方差为s2=×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9,

所以该组数据的标准差为3.

答案:3

8.某市2020年4月30天的空气质量指数如下:

35　54　80　86　72　85　58　125　111　53

10　66　46　36　18　25　23　40　 60　89

88　54　79　14　16　40　59　67　111　62

计算第75,85百分位数分别是________、________. 

【解析】把这30个数据按从小到大排序,可得

10　14　16　18　23　25　35　36　40　40　46　

53　54　54　58　59　60　62　66　67　72　79　

80　85　86　88　89　111　111　125

由75%×30=22.5,85%×30=25.5,可知样本数据的第75,85百分位数为第23,26项数据,分别为80,88.

答案:80　88

【补偿训练】

某学习小组10名同学在一次数学测试中的得分分别为85,78,66,91,67,78,67,87,96,88,则这10名同学成绩的60%分位数为__________. 

【解析】这组数据按照从小到大排列后为66,67,67,78,78,85,87,88,91,96,

10×60%=6,所以这10名同学成绩的60%分位数为==86.

答案:86

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.某班共有45名同学,在某次满分为100分的测验中,得分前15名同学的平均分为90分,标准差为,后30名同学的平均分为72分,标准差为.(得分均为整数)

(1)求全班同学成绩的平均分;

(2)求全班同学成绩的方差;

【解析】(1)该班45人分成两组,这两组的平均分分别是90,72,设这两组的方差分别为s1,s2;

所以全班同学成绩的平均分是×(90×15+72×30)=78.

(2)s2=(xi-)2=-n,s1=,

所以=×[(++…+)-15×902]=3,

所以++…+=45+15×8 100=121 545;

因为s2=,

所以=×[(++…+)-30×722]=6,

所以++…+=180+30×722=155 700;

所以全班的方差是s2=×[(++…+)-45×782]

=×[(121 545+155 700)-273 780]=77.

10.在一次高一年级统一考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高一学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900.

(1)若采用随机数表法抽样,并按照以下随机数表,以方框内的数字5为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的75%分位数.

05269　37060　22358　51513　92035　15977　59567　80683　52910　57074

07971　08823　09984　29964　61716　29915

06512　91693　58057　70951

51268　78585　54876　64754　73320　81112　44959　26316　29562　42948

26996　16553　58377　88070　42105　06742　32175　58574　94446　71694

14655　26875　87593　62241　26786　30655　13082　70150　15293　93943

(2)若采用分层抽样,按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4;样本中B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.

【解析】(1)根据题意读出的编号依次是:

512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重复),687,858,554,876,647,547,332,将有效编号从小到大排列,得:332,512,547,554,647,687,770,805,858,876,

因为10×75%=7.5,所以样本编号的75%分位数为x8=805.

(2)记样本中8个A题目成绩分别为x1,x2,…,x8,2个B题目成绩分别为y1,y2,

由题意知xi=8×7=56,

=8×4=32,

yi=16,=2×1=2,

所以样本平均数为:==7.2,

样本方差为:=

=(x1-7)2-0.4(xi-7)+8×0.22+

(yi-0.8)2+1.6(yi-8)+2×0.82

==3.56,

所以用样本估计900名考生选做题得分的平均数为7.2,方差为3.56.

1.一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,,那么这组数据的方差s2可能的最大值是________. 

【解析】设这组数据的最后2个分别是:10+x,y,

则9+10+11+(10+x)+y=50,

得:x+y=10,故y=10-x,

故s2=[1+0+1+x2+(-x)2]=+x2,

显然x最大取9时,s2最大是.

答案:

2.全国文明城市,简称文明城市,是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识,争创全国文明城市,某市组织了文明城市知识竞赛,现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(单位:分)如表:

根据表中的数据,分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差,并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好.

【解析】=(87+88+91+91+93)=90,

=(85+89+91+92+93)=90,

=[(87-90)2+(88-90)2+(91-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=,

=[(85-90)2+(89-90)2+(91-90)2+(92-90)2+(93-90)2]=8.

显然=<,可知,甲单位的成绩比乙单位稳定,即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好.