专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

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数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.
二．解题策略
类型一 数列中的恒成立问题
【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由题意得，则，等差数列的公差，
.
由，
得，

则不等式恒成立等价于恒成立，
而，
问题等价于对任意的，恒成立.
设，，
则，即，
解得或.
故选:A.
【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得，借助裂项相消法得到，又，问题等价于对任意的，恒成立.
【举一反三】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
类型二 数列中的最值问题
【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】C
【解析】
令,则,所以，从而，
因为,所以数列单调递增，
设当时, 当时,
所以当时，，，
从而,
因此,
选C.
【指点迷津】本题利用数列的递推公式,确定数列的单调性，令,利用裂项相消法得，再根据范围求正整数的最小值.在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中确定数列单调性是解题的关键
【举一反三】【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．49D．
【答案】B
【解析】
当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故 ，
由于是单调递增数列，，.
故的最小值为，故选B.
类型三 数列性质的综合问题
【例3】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知等差数列的前n项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
在等差数列中，，
∴，
又，
∴．
由得．
∴，即，
∴．
即的取值范围是．
故答案为：．
【指点迷津】1.本题先根据求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果.
2.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.
【举一反三】【广东省汕尾市2019年3月高三检测】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
数列的首项，
则：常数
故数列是以为首项，3为公差的等差数列．
则：首项符合通项．
故：，
，
，
由于数列的前n项和恒成立，
故：，
则：t的最小值为，
故答案为：．
类型四 数列与函数的综合问题
【例4】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，恒成立，若数列满足（）且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
对任意的实数x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，
取x＝y＝0，则f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．
当f（0）＝0时，，得余题意不符，故舍去.
所以f（0）＝1．
取y＝﹣x＜0，则f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），
设x1＜x2，则f（x1﹣x2）＝f（x1）•f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）在R上单调递减．
∵数列{}满足f（an+1）f（）＝1＝f（0）．
∴0，∵a1＝f（0）＝1，
∴，＝﹣2，＝1，，……．
∴＝．
∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．
∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．
∴f（）＞f（）．
而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），
f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），
因此只有：C正确．
故选：C．
【指点迷津】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.
(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.
【举一反三】【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由题，
即
由累加法可得：
即
对于任意的，不等式恒成立
即
令
可得且
即
可得或
故选B
类型五 数列与其他知识综合问题
【例5】将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. B. 不存在，使得
C. 对，且，都有 D. 以上说法都不对
【答案】C
【解析】 由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时， ，
所以当，且时， 是成立的，故选C.
【例6】斐波那契数列满足： .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
,所以B正确；对于C, 时， ；C错误；对于D, ,D正确.故选C.
【指点迷津】这类题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
【举一反三】1.如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则（ ）
A. 220 B. 216 C. 212 D. 208
【答案】B
2.将正整数12分解成两个正整数的乘积有， ， 三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为__________．
【答案】
【解析】当为偶数时， ；当为奇数时， ， ，故答案为.
类型六 数列与基本不等式结合的问题
【例7】【山东省济宁市2019届高三一模】已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因为数列是正项等比数列，，，
所以，，，
所以，，，，，
因为，所以，，
，当且仅当时“=”成立，
所以的最小值为，故选A.
【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是，等比中项，基本不等式有，考查公式的使用，考查化归与转化思想.
【举一反三】【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数，若 ，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题可知：
令
又
于是有
因此
所以
当且仅当时取等号
本题正确选项：
三．强化训练
一、选择题
1．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知正项等比数列满足 ，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【解析】
解：设等比数列的公比为q（q＞0），
∵a9＝a8+2a7，
∴a7q2＝a7q+2a7，
∴q2﹣q﹣2＝0，
∴q＝2或q=-1（舍），
∵存在两项am，an使得，
∴ ，
∴
故选C.
2.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知数列的前项和为，，且满足，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】
由，得，且，
所以数列是以为首项、2为公差的等差数列，
则，
即，
令，得，又，，由，
则的最小值为.
故选：B．
3.【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【解析】
解：∵正项等比数列中，，，
∴.
∵，
解可得，或（舍），
∴，
∵，
∴.
整理可得，，
∴，
经检验满足题意，
故选：C．
4.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
，故
当n为奇数，-a<2+,又2+单调递减，故2+，故- a2，解a
当n为偶数，又2-单调递增，故2-，故，综上a
故选：D
5．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，
时，，
化为：，．
，即，
时，，解得．
数列为等差数列，首项为1，公差为1．
．
.
记，.
.
所以为增数列，,即.
对任意的，恒成立，
，解得
实数的取值范围为．
故选：C．
6．【吉林省吉林市实验中学2019届高三下学期第八次月考】已知等比数列的公比，其前n 项的和为，则与 的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据等比数列的前n项和公式和数列的通项公式得到：两式作差
故选：A．
7．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为
A．16B．9C．5D．4
【答案】A
【解析】
解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，
则21；
则a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；
当且仅当，即=时取到等号，
∴a+9b的最小值为16；
故选：A．
8．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性】设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，
∴正整数的最小值为3.
二、填空题
9.【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】20．已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
因为，
所以当时，；
当时，也满足上式；
当时，，
当时，，
综上，；
因为是中的最大值，
所以有且，解得.
故答案为
10．【2019届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为，，当时，，若 恒成立，则正数的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
由可知，数列是一个公差的等差数列，首项为，所以，所以．故当时，
．显然当时，也满足上式．所以．所以
，所以
，由题意
恒成立，所以，解得．又，所以的取值范围为．
11．【云南省2019年高三第二次检测】已知数列的前项和为，若，则使成立的的最大值是_____．
【答案】5
【解析】
因为可得：
两式相减可得：化简可得：
即
所以数列是以为首项，公比为2的等比数列
当n=1时，求得
所以即
所以即解得
所以成立的的最大值是5
故答案为5
12．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．
【答案】9
【解析】
由题得，
因为数列是正项递增等比数,所以，
所以.
因为，所以，
所以.
所以使得成立的最大正整数为9.
故答案为：9
13.已知数列中， ，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为______.
【答案】80
【解析】在上取点，使得，则在线段上．

，
三点共线，
，即
故答案为：80．
14.已知函数，点O为坐标原点，点，向量，θn是向量与的夹角，则使得 恒成立的实数t的取值范围为 ___________．
【答案】
【解析】根据题意得, 是直线OAn的倾斜角，则：
，据此可得：

结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.
15.【新疆2019届高三一模】已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，若对一切，恒有，则m能取到的最大正整数是______．
【答案】7
【解析】
解：设数列的公差为，由题意得，
，解得，
，且，
，
令，
则，
即
，
则随着的增大而增大，即在处取最小值，
，
对一切，恒有成立，
即可，解得，
故能取到的最大正整数是7．
16. 【北京师大附中2019届高三4月模拟】设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为______．
【答案】63
【解析】
由数列的前n项和为，，又，
故，则的偶数项成等差数列，
则,（n为偶数）
又，，
为等差数列，首项为3，公差为4，
当n为偶数时，设数列的前n项和为，
可得，，
则 +若，无解舍去
当n为奇数时， -(=,又所以解则n的最大值为63，
故答案为：63．