专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一．方法综述

      数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.

二．解题策略

类型一  数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题

【例1】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．

【答案】12

【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第数列组成的数列，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.

2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标进行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.

【举一反三】

1.【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（   ）

4,

4,43

4,43,4

4,43,4 , 4

…

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由图可知，第n行是4为首项，以3为公比的等比数列的前n项，

和为，

设满足的最小正整数为，

项在图中排在第行第列（且），

所以有

，则，，

即图中从第行第列开始，和大于.

因为前行共有项，

所以最小正整数的值为，

故选C.

2.【2019年3月3日《每日一题》】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上用小石子排成多边形，从而研究“多边形数”．如图甲的三角形数1，3，6，10，15，…，第个三角形数为．又如图乙的四边形数1，4，9，16，25，…，第个四边形数为．以此类推，图丙的五边形数中，第个五边形数为________________．

【答案】

【解析】

由图可知，从第个三角形数为，第个四边形数为发现规律，归纳出第n个五边形数为1+4+7+…+（3n﹣2）＝．

故答案为：．

类型二  点列问题中涉及到的数列通项公式问题

【例2】已知点顺次为直线上的点，点顺次为轴上的点，其中.对于任意，点构成以为顶点的等腰三角形.则数列的通项公式为____________.

【答案】

【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列的通项公式，求点列的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.

【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列，，，…，，…，其中是正整数.连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，…，连接的直线与轴交于点，….则数列的通项公式为___________.

【答案】

【解析】直线的斜率为，

所以，.

类型三  函数问题中涉及到的数列通项公式问题

【例3】【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=____.

【答案】

【解析】

易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.

当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，

所以.

当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，

；

当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，

所以；

当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，

所以.

由此类推：.

故 .

【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

2.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.

【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知是上的奇函数， ，则数列的通项公式为（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】∵是奇函数，∴，令， ，

令， ，∴，∴，学科&网

令，∴，令，∴，

∵，∴，同理可得，

，∴，

故选

类型四  由复杂递推公式求解数列通项公式问题

【例4】我们把满足的数列叫做牛顿数列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求得 即数列{an}是以2为公比的等比数列，又a1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．

【举一反三】定义运算：，若数列满足且()，则数列的通项公式＝________.

【答案】4n－2

【解析】

由题意可得，，

以，，

所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，

所以.

类型五  两边夹问题中的数列通项公式问题

【例5】设数列满足，且对任意的，满足， ,则_________

【答案】

【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即，然后经过恰当的变形，将求的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.

【举一反三】已知各项都为整数的数列中， ，且对任意的，满足 ， ，则__________．

【答案】

类型六  下标为形式的数列通项公式问题

【例6】已知等差数列，等比数列的公比为，设， 的前项和分别为，．若，则__________．

【答案】

【解析】， ，

因为，所以，这是关于的恒等式，所以，解得，所以．

【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系，这是一个关于正整数的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前项用基本量表示，并化已知等式为的恒等式，利用恒等式的知识求解．

【举一反三】

一、选择题

1.【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（   ）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

【答案】C

【解析】

令,则,所以，从而，

因为,所以数列单调递增，

设当时, 当时,

所以当时，，，

从而,

因此,

选C.

2.等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，.则的通项公式____________.

【答案】

三．强化训练

1．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数，都有，若数列的前项和为，且满足，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为，可得，

又因为函数是定义在上的单调函数，

所以，故，两式作差得，

当时，求得，故，

即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，从而．

故选：A．

2．【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义：若数列对任意的正整数，都有为常数，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：依题意，要使其前2019项的和的最小值只需每一项的值都取最小值即可，

∵＝2，绝对公和d＝3，

∴＝﹣1或＝1（舍），

∴＝﹣2或＝2（舍），

∴＝﹣1或＝1（舍），

…

∴满足条件的数列{}的通项公式，

∴所求值为+（+）+（+）+…+（+）

＝2+（﹣1﹣2）

＝﹣3025，

故选：C．

3.【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由题意得，则，等差数列的公差，

.

由，

得，

则不等式恒成立等价于恒成立，

而，

问题等价于对任意的，恒成立.

设，，

则，即，

解得或.

故选:A.

4．【福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟】已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，

由d2r2，且，

得22+Sn＝2an+2，∴4+Sn＝2（Sn﹣Sn﹣1）+2，

即Sn+2＝2（Sn﹣1+2）且n≥2；

∴{Sn+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．

由22+Sn＝2an+2，取n＝1，解得＝2，

∴Sn+2＝（+2）•2n﹣1，则Sn＝2n+1﹣2；

∴（n≥2）．

＝2适合上式，

∴．

设 ，，

所以 .

所以，若对任意恒成立，

即对任意恒成立，即对任意恒成立.

设，因为，所以，故的最大值为

因为，所以.

故选:B

5．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，，恒成立，若数列满足（）且，则下列结论成立的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

对任意的实数x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，

取x＝y＝0，则f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．

当f（0）＝0时，，得余题意不符，故舍去.

所以f（0）＝1．

取y＝﹣x＜0，则f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），

设x1＜x2，则f（x1﹣x2）＝f（x1）•f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）在R上单调递减．

∵数列{}满足f（an+1）f（）＝1＝f（0）．

∴0，∵a1＝f（0）＝1，

∴，＝﹣2，＝1，，……．

∴＝．

∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．

∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．

∴f（）＞f（）．

而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），

f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），

因此只有：C正确．

故选：C．

6.【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为 （  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，所以，

相减得，

因为，所以，

又，所以, 因为，所以,

因此，,

从而,即的最小值为，选B.

7．【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合】记为数列的前项和，已知和（为常数）均为等比数列，则的值可能为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

当时，令（其中为非零常数），

整理得：，要使得它对任意的恒成立，

则：，解得：，这与为等比数列矛盾.

所以，

令（其中为非零常数），则，整理得：

，要使得它对任意的恒成立，

则，整理得：，

令，则，解得：，这与为等比数列矛盾.

令，则，整理得：，此方程无解.

令，则，整理得：，记，

，，所以在上必有一零点.即至少有一个实根.

令，则，整理得：，解得：，这与为等比数列矛盾.

故选：C.

8.【浙江省杭州第十四中学2019届高三9月月考】已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由题，

即

由累加法可得：

即

对于任意的，不等式恒成立

即

令

可得且

即

可得或

故选B

二、填空题

9.艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.

如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．

【答案】

10.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知一族双曲线（，且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，.记的面积为，则__________.

【答案】

【解析】

设，

双曲线的渐近线为，互相垂直.

点在两条渐近线上的射影为，则

易知为直角三角形，

即为等差数列，其前2019项的和为

11.已知数列的前项和为，，且，则数列的通项公式为_____________.

【答案】

【解析】

数列的前项和为，且当n≥2时，，①

则有，②

②-①得： ，整理得（n≥2），

则当n≥3时有，

解得（n≥3）,

检验：当n=2时，满足上式，

当n=1时，不满足上式，

则，

故答案为：

12．【湖南省衡阳市2019届高三联考（二)】已知数列，，为数列的前项的和，且对任意，都有，则的通项公式为_____．

【答案】

【解析】

当时，由 .

又，∴是以为首项，为公差的等差数列.

∴，∴，当时，∴，

所以.

故答案为：

13.【山东省济宁市2019届高三一模】将数列3，6，9，……按照如下规律排列，

记第行的第个数为，如，若，则_______．

【答案】44

【解析】

由题意可知，数列是一个首项为3、公差为3的等差数列，

令数列为数列，则有，2019是数列的第673项，

再由图可知：

前1列共有1个数；

前2列共有个数；

前3列共有个数；

前4列共有个数；

；

前36列共有个数；

前37列共有个数；

所以2019是第37列第7个数，故.

14.【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．

【答案】

【解析】

由题意知，则，，故，，故 ，.

故答案为

15．【广东省揭阳市2019届高三一模】如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为,则__________.

【答案】

【解析】

因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为，所以，

因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为，所以，因此.

16．【安徽省宣城市2019届高三八校联考】已知数列的各项都是正数，其前项和满足，，则数列的通项公式为_______．

【答案】

【解析】

因为数列的各项都是正数，其前项和满足，，所以

当时，，；

当时，，即，即，所以数列是等差数列，又，因此，，因此,又也满足，所以，.

故答案为