专题7.2 创新型问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

【方法综述】

创新型问题主要包括：

（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）.

 （Ⅱ）创新性问题

①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.

②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.

③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.

【解题策略】

类型一  实际应用问题

【例1】【北京市西城区2019届高三4月一模】团体购买公园门票，票价如下表：

现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.

【答案】70    40   

【解析】

∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，

（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①

 由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②

解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．

（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得 a+b＝110  ③

由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，

得11a+13b＝1290    ④，

解③④得：a＝70人，b＝40人，

故答案为：70，40．

【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．

【举一反三】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：

①  ②  ③   ④

其中正确的式子的序号是（    ）

A． ②③    B． ①④    C． ①③    D． ②④

【答案】B

类型二  创新性问题

【例2】【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（   ）

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

【答案】B

【解析】

对于①，可得，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即 ，此时当k=100时，不存在，故①错误；

对于②，若是在上的“追逐函数”，此时，解得

，当时，，在是递增函数，若是“追逐函数”

则，即，

设函数

即，则存在，所以②正确；

对于③，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即 ，当k=4时，就不存在，故③错误；

对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：

，在是递增函数，，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，

即此时

取

即，故存在存在，所以④正确；

故选B

【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．

【例3】【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为，定义的“优值”为 ，现已知的“优值”，则_________.

【答案】

【解析】

解：由＝2n，

得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，①

n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②

①﹣②得2n﹣1an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即an＝n+1，

对n＝1时，a1＝2也成立，

所以 .

【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

【举一反三】【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】若数列满足：对任意的且，总存在，使得 ，则称数列是“数列”．现有以下四个数列：①；②；③；④．其中是“数列”的有(   )

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】

令，则，所以数列是“数列”；

令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；

令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；

令，则 ，所以数列是“数列”．

综上，“数列”的个数为．

本题选择C选项.

2.【江西师范大学附属中学2019高三上期末】 已知表示不超过实数的最大整数()，如：，，．定义，给出如下命题：

①使成立的的取值范围是；

②函数的定义域为，值域为；

③．

其中正确的命题有(   )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】

①由，，所以；x<2或时.

②当x为整数时，当时，[x]=n，

所以的值域为[0,1).

③因为

=

所以n为偶数时

=

n为奇数时

=

所以

==1010

综上，只有命题①正确，故选B.

【强化训练】

一、选择题

1．【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合，若对于 ， ，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：

；　　   ；

；       ．

其中是“互垂点集”的集合为

A．, B．, C． ,  D．,

【答案】D

【解析】

设，为上任意一点

：当时，需存在使得：，即，此时无解，可知不是“互垂点集”，可排除和选项；

：当时，需存在使得：，即，无意义，可知不是“互垂点集”，可排除选项；

本题正确选项：

2．【安徽省江南十校2019届高三3月检测】计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即，则该数的所有数字之和为（   ）

A．1973 B．1974 C．1975 D．1976

【答案】C

【解析】

将数字从左只有以为分界进行分组

第一组为，数字和为；

第二组为，数字之和为；

第三组为，数字之和为；以此类推

数字共位，则，前组共有位

则前位数字之和为：

剩余数位为：

则所有数字之和为：

本题正确选项：

3．【北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二)】若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．

其中为“柯西函数”的个数为 （   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，

当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，

结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.

①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；

②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；

③；④．显然都是柯西函数.

故选：B

4．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第一次模拟】正方形的边长为1，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为(  )

A．4 B．3 C．8 D．6

【答案】D

【解析】

根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，

在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，

G在DA上，且DG，

第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH，

第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM，

第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN，

第六次回到E点，AE．

故需要碰撞6次即可．

故选：D．

5．【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次诊断】设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”现给出下列函数：；；；是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有其中是“倍约束函数”的序号是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

对于①，是任意正数时都有，是倍约束函数，故①正确；

对于②，，，即，不存在这样的对一切实数均成立，故②错误；

对于③，要使成立，即，当时，可取任意正数；当时，只须，因为，所以故③正确．

对于④，是定义在实数集上的奇函数，故是偶函数，因而由得到，成立，存在，使对一切实数均成立，符合题意，故正确．

本题正确选项：

6．【湖南省岳阳市2019届高三二模】已知，若存在，使，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意可知，且在上单调递减，

所以函数只有一个零点.

即，得.

函数在区间上存在零点，

由，得.

令，，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

，

所以只需即有零点，

故选B.

7．【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

对于①，易得M＝1，∀k＞1，有21＝k，

即为，＝log2（k+1），

当k＝100时，log2（k+1），

即不存在＜．

对于②，，得m=M＝1，只需检验m=1时，是否符合题意，

∀k＞1，有2＝1+ln＝k，

即为，＝ek﹣1，

即有ek﹣1⇔k＜e2k﹣2，

由x＞1时，x﹣e2x﹣2的导数为1﹣2e2x﹣2＜0，

即有x＜e2x﹣2，则存在＜；∴m=1满足题意

对于③，易得M＝1，∀k＞1，有2＝2k，

即为，，

当k＝4，不存在＜x2．

对于④，由题意

又时，存在，取t=m+,此时，且k>,

有2＝k，

即为，，令g（k）==，k>, ∴，

∴g（k）在（）单调递减，∴g（k）<g（）=,又t=m+, ∴g（）=0，

即g（k）<0，∴<，

故f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有②④

故选：B．

8．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”.下列四个命题：

①函数不是“函数”；

②函数是“函数”，且；

③函数是“函数”；

④函数是“函数”，且.

其中正确的命题的个数为（   ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【解析】

分析命题①：  定义域为，，

，函数在上是单调递增，显然这个区间没有长度，因此函数不是“函数”，故命题①是真命题.

分析命题②：，定义域为，

当时，函数是增函数，

构造两个函数，，图象如下图所示：

通过图象可知当，而，即， ，所以当时，函数是增函数，增区间的长度为，又因为显然有成立，所以函数是“m函数”， 即成立，故命题②是真命题.

分析命题③： 函数 定义域为，

显然时，，此时函数是单调递增函数，增区间为，而区间没有长度，故函数不是“函数”，故命题③是假命题.

分析命题④：函数 定义域，

当时，是增函数，故只需成立，是增函数，

也就是成立，是增函数，构造二个函数， 如下图所示：

通过图象可知：当时，，而，所以.从而有时，时，函数是增函数，显然区间长度为，而

所以函数是“函数”，又，即.故命题④是真命题.

综上所述：正确的命题的个数为3个，故本题选B.

二、填空题

9.【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断】定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______.

【答案】1

【解析】

若为线周期函数

则满足对任意，恒成立

即，

即

则   

本题正确结果：

10.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图所示，有三根和套在一根针上的片且自上而下由小到大的金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根上，每次只能移动一个金属片，且在移动过程中较大的金属片不能放在较小的金属片的上面.则把个金属片从号针全部移到号针,最少要_次．

【答案】31

【解析】

设是把个金属片从柱移到柱过程中移动金属片最少次数
时,;
时,小金属片柱,大金属片柱,小金属片从柱柱,完成,；
时, 小金属片柱,中小金属片柱,小金属片从柱柱,
用种方法把中、小两金属片移到柱,大金属片到柱;再用种方法把中、小两金属片从柱柱,完成，

同样方法，依次可得：

11．【北京延庆区2019届高三一模】已知集合 ，集合 满足①每个集合都恰有5个元素;② ．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为_______.

【答案】96

【解析】

易知，当

的最大值为57.

当

的最小值为39.

故答案为：96

12．【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.

【答案】

【解析】

d（O，C）＝|x|+|y|＝1，

首先证明：，两边平方得到

变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，

故根据不等式的性质得到：．

故答案为：．

13．【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系中,定义两点间的折线距离为,已知点,则的取值范围为___.

【答案】

【解析】

d（O，C）＝|x|+|y|＝1，令 |x|=，|y|= ,则|x|，|y|

故

故答案为：．

14．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为____m2.

【答案】

【解析】

以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，

设边缘线OM上一点，则，

设EF与边缘线OM的切点为,

因为，所以，故EF所在直线方程为，

因此，其中，

从而

因为

当时，，当时，，

即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.

15．【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：

①数列是等比数列；

②数列是递增数列；

③存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有 ；

④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．

其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.

【答案】②④

【解析】

由题意，得图1中线段为，即；

图2中正六边形边长为，则；

图3中的最小正六边形边长为，则；

图4中的最小正六边形边长为，则；

由此类推，，

所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；

因为

，

即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，

即④正确；③错误，

综上可知正确的由②④.

16．【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联考】若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）

①；②；③.

【答案】①②

【解析】

对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.

对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”.

对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.