数学必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法练习题

复数的乘法与除法

1.若a为实数,则复数z=在复平面内对应的点在 (　　)

A.实轴上  B.虚轴上  C.第一象限  D.第二象限

2.已知i是虚数单位,则化简的结果为 (　　)

A.i  B.-i  C.-1  D.1

3.已知i是虚数单位,复数z满足z=i,则z的虚部是 (　　)

A.   B.-i   C.i   D.-

4.若方程x2+x+m=0有两个虚根α,β,且|α-β|=3,则实数m的值为 (　　)

A.   B.-   C.2   D.-2

5.设复数z=1+i,则z2-2z=　　　　. 

6.已知i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则z·=　　　　. 

能力提升

1.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 (　　)

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

2.设z=i(2+i),则= (　　)

A.1+2i B.-1+2i

C.1-2i D.-1-2i

3.复数z=的虚部为 (　　)

A.-i   B.-   C.i   D.

4.已知复数z的共轭复数为,且=3+i(i为虚数单位),则= (　　)

A.2 B. C. D.4

5.若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共轭复数为,则 (　　)

A.|z|=

B.z的实部是2

C.z的虚部是1

D.复数在复平面内对应的点在第一象限

6.已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是 (　　)

A.  B.

C.     D.

7.已知1+2i是方程x2-mx+2n=0(m,n∈R)的一个根,则m+n=　　　　. 

8.若=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=　　　　. 

9.已知复数z=1+i,求实数a,b,使az+2b=(a+2z)2.

10.已知a∈R,复数z=.

(1)若z为纯虚数,求a的值;

(2)在复平面内,若对应的点位于第二象限,求a的取值范围.

11.复数z=且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值.

答案

1.若a为实数,则复数z=在复平面内对应的点在 (　　)

A.实轴上  B.虚轴上  C.第一象限  D.第二象限

分析：选B.因为z=a+i+a2i-a=i,且a2+1>0,所以复数z=在复平面内对应的点在虚轴上.

2.已知i是虚数单位,则化简的结果为 (　　)

A.i  B.-i  C.-1  D.1

分析：选C.因为===i,所以=i2 022=i2=-1.

3.已知i是虚数单位,复数z满足z=i,则z的虚部是 (　　)

A.   B.-i   C.i   D.-

分析：选A.因为z=i,所以z====+i,则z的虚部为.

4.若方程x2+x+m=0有两个虚根α,β,且|α-β|=3,则实数m的值为 (　　)

A.   B.-   C.2   D.-2

分析：选A.因为方程x2+x+m=0是实系数一元二次方程,且有两个虚根α,β,所以α,β互为共轭虚数,

所以设α=a+bi,a,b∈R,则β=a-bi,

由|α-β|=3,得b=±.当b=时,α=a+i,

代入方程得+a+i+m=0,

即+i=0,

所以所以

当b=-时,同理

5.设复数z=1+i,则z2-2z=　　　　. 

分析：因为z=1+i,

所以z2-2z=z(z-2)=(1+i)(1+i-2)=(1+i)(-1+i)=-3.

答案:-3

6.已知i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则z·=　　　　. 

分析：由题可知z==i,所以=-i,所以z·=i·(-i)=1.

答案:1

能力提升

1.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 (　　)

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

分析：选C.因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以z=x+yi,所以z-i=x+(y-1)i,

所以|z-i|==1,所以x2+(y-1)2=1.

2.设z=i(2+i),则= (　　)

A.1+2i B.-1+2i

C.1-2i D.-1-2i

分析：选D.因为z=i(2+i)=-1+2i,所以=-1-2i.

3.复数z=的虚部为 (　　)

A.-i   B.-   C.i   D.

分析：选D.因为z===-+i,

所以复数z=的虚部为.

4.已知复数z的共轭复数为,且=3+i(i为虚数单位),则= (　　)

A.2 B. C. D.4

分析：选B.因为=3+i,所以====1+i,

则==.

5.若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共轭复数为,则 (　　)

A.|z|=

B.z的实部是2

C.z的虚部是1

D.复数在复平面内对应的点在第一象限

分析：选ABD.因为(1+i)z=3+i,所以z====2-i,所以==,故选项A正确.z的实部是2,故选项B正确.z的虚部是-1,故选项C错误.复数=2+i在复平面内对应的点为,在第一象限,故选项D正确.

6.已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是 (　　)

A.  B.

C.     D.

分析：选BC.根据题意,M=中n=4k时,in=1;

n=4k+1时,in=i;n=4k+2时,in=-1;n=4k+3时,in=-i,所以M=.

选项A中=2∉M;选项B中==-i∈M;

选项C中==i∈M;

选项D中=-2i∉M.

7.已知1+2i是方程x2-mx+2n=0(m,n∈R)的一个根,则m+n=　　　　. 

分析：由题意,方程另一根为1-2i,

所以

解得

故m+n=2+=.

答案:

8.若=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=　　　　. 

分析：因为a,b∈R,且=1-bi,

则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,

所以所以

所以|a+bi|=|2-i|==.

答案:

9.已知复数z=1+i,求实数a,b,使az+2b=(a+2z)2.

分析：因为z=1+i,所以az+2b=(a+2b)+(a-2b)i,

(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i

=(a2+4a)+4(a+2)i.

因为a,b都是实数,所以由az+2b=(a+2z)2,

得解得a=-2或a=-4,

对应得b=-1或b=2,所以所求实数为a=-2,

b=-1或a=-4,b=2.

10.已知a∈R,复数z=.

(1)若z为纯虚数,求a的值;

(2)在复平面内,若对应的点位于第二象限,求a的取值范围.

分析：(1)z===-i.

因为z为纯虚数,所以=0且-≠0则a=1.

(2)由(1)知=+i,则点位于第二象限,所以得-1<a<1,

所以a的取值范围是.

11.复数z=且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值.

分析：z=(a+bi)

=2i·i(a+bi)=-2a-2bi.由|z|=4得a2+b2=4,①

因为复数0,z,对应的点构成正三角形,

所以|z-|=|z|.

把z=-2a-2bi代入化简得|b|=1.②

又因为z对应的点在第一象限,所以a<0,b<0.

由①②得

故所求值为a=-,b=-1.