高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.3 多面体与棱柱巩固练习

多面体与棱柱

1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点 (　　)

A.四条侧棱、四个顶点

B.八条侧棱、四个顶点

C.四条侧棱、八个顶点

D.六条侧棱、八个顶点

2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是              (　　)

A.0个     B.1个

C.2个     D.3个

3.如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为 (　　)

A.6    B.7    C.8    D.9

4.如图是一个正方体的表面展开图,若图中“努”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是 (　　)

A.定    B.有    C.收    D.获

5.用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是　　　　. 

6.现有两个完全相同的长方体,它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,现将它们组合成一个新的长方体,这个新长方体的体对角线的长是多少?

能力提升

1.如图正方体的棱长为1,在面对角线A1B上存在一点P使得|AP|+|D1P|取得最小值,则最小值为 (　　)

A.2   B.   C.2+   D.

2.设M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,则符合条件的点M              (　　)

A.仅有一个     B.有两个

C.有无限多个    D.不存在

3.如图所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的入口正方形边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为              (　　)

A.54 cm2   B.76 cm2   C.72 cm2   D.84 cm2

4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=,BB1=2,∠ABC=90°,E,F分别为AA1,C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为              (　　)

A.    B.    C.    D.2

5.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是 (　　)

6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面α⊥AC1,则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是              (　　)

A.截面形状可能为正三角形

B.截面形状可能为正方形

C.截面形状可能为正六边形

D.截面面积最大值为3

7.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱.

侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱.

底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.

底面是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.

侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.

底面是矩形的直平行六面体称为长方体.

棱长都相等的长方体称为正方体.

请根据上述定义,回答下面的问题:

(1)直四棱柱　　　　是长方体. 

(2)正四棱柱　　　　是正方体.(填“一定”“不一定”或“一定不”) 

8.正方体的棱长为a,且正方体各面的中心是一个几何体的顶点,这个几何体的棱长为　　　　. 

9.已知正六棱柱的一条最长的体对角线长是13,侧面积为180,求正六棱柱的全面积.

10.直四棱柱的底面是矩形,且底面对角线的夹角为60°,对角面的面积为S,求此直四棱柱的侧面积.

答案

1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点 (　　)

A.四条侧棱、四个顶点

B.八条侧棱、四个顶点

C.四条侧棱、八个顶点

D.六条侧棱、八个顶点

分析：选C.由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱,八个顶点.

2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是              (　　)

A.0个     B.1个

C.2个     D.3个

分析：选D.共有3个:棱柱AA1P-DD1Q,

棱柱ABEP-DCFQ,棱柱BEB1-CFC1.

3.如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为 (　　)

A.6    B.7    C.8    D.9

分析：选B.还原几何体,如图所示.由图观察知,该几何体有7个顶点.

4.如图是一个正方体的表面展开图,若图中“努”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是 (　　)

A.定    B.有    C.收    D.获

分析：选B.这是一个正方体的表面展开图,共有六个面,其中面“努”与面“有”相对,

所以图中“努”在正方体的后面,则这个正方体的前面是“有”.

5.用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是　　　　. 

分析：因为用平面去截正方体时,最多与六个面相交得六边形,即截面的边数最多为6.

答案:6

6.现有两个完全相同的长方体,它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,现将它们组合成一个新的长方体,这个新长方体的体对角线的长是多少?

分析：将两个完全相同的长方体组合成新长方体,其情形有以下几种:将面积为5×3=15(cm2)的面重叠到一起,将面积为5×4=20(cm2)的面重叠到一起,将面积为4×3=12(cm2)的面重叠到一起.

三种情形下的体对角线分别为:l1==

7(cm),l2==(cm),l3==5(cm).

能力提升

1.如图正方体的棱长为1,在面对角线A1B上存在一点P使得|AP|+|D1P|取得最小值,则最小值为 (　　)

A.2   B.   C.2+   D.

分析：选D.如图所示,将平面A1BCD1绕A1B旋转至A1ABB1,连接AD1交A1B于P,

则|AD1|==.

2.设M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,则符合条件的点M              (　　)

A.仅有一个     B.有两个

C.有无限多个    D.不存在

分析：选A.由点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,

若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,

则符合条件的点M只能为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心.

3.如图所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的入口正方形边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为              (　　)

A.54 cm2   B.76 cm2   C.72 cm2   D.84 cm2

分析：选C.由题意知该几何体的总表面积包含外部表面积与内部表面积.

S外=6×32-6×12=48(cm2),S内=4×6=24(cm2).

所以S总=48+24=72(cm2).

4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=,BB1=2,∠ABC=90°,E,F分别为AA1,C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为              (　　)

A.    B.    C.    D.2

分析：选C.由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形.

①若把平面ABB1A1和平面B1C1CB展开在同一个平面内,则线段EF在直角三角形A1EF中,由勾股定理得EF===.

②若把平面ABB1A1和平面A1B1C1展开在同一个平面内,设BB1的中点为G,在直角三角形EFG中,由勾股定理得EF===.

③若把平面ACC1A1和平面A1B1C1展开在同一个平面内,过F作与CC1平行的直线,过E作与AC平行的直线,所作两线交于点H,则EF在直角三角形EFH中,由勾股定理得EF===.

综上可得从E到F两点的最短路径的长度为.

5.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是 (　　)

分析：选CD.可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现A,B可折成正四面体,C,D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.

6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面α⊥AC1,则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是              (　　)

A.截面形状可能为正三角形

B.截面形状可能为正方形

C.截面形状可能为正六边形

D.截面面积最大值为3

分析：选ACD.如图,显然A,C成立,下面说明D成立,如图设截面为多边形GMEFNH,

设A1G=x,则0≤x≤1,

则GH=ME=NF=x,MG=HN=EF=(2-x),MN=2,

所以多边形GMEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和,

所以S=·(GH+MN)·h1+·(MN+EF)·h2,

因为h1=

=,

h2==,

所以S=(x+2)·+[2+(2-x)]·=-x2+2x+2.

当x=1时,Smax=3,故D成立.

7.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱.

侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱.

底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.

底面是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.

侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.

底面是矩形的直平行六面体称为长方体.

棱长都相等的长方体称为正方体.

请根据上述定义,回答下面的问题:

(1)直四棱柱　　　　是长方体. 

(2)正四棱柱　　　　是正方体.(填“一定”“不一定”或“一定不”) 

分析：由直四棱柱的定义可知,直四棱柱不一定是长方体;长方体一定是直四棱柱;

由正四棱柱的定义可知,正四棱柱不一定是正方体;正方体一定是正四棱柱.

答案:(1)不一定　(2)不一定

8.正方体的棱长为a,且正方体各面的中心是一个几何体的顶点,这个几何体的棱长为　　　　. 

分析：如图所示,取棱中点O,连接OD,OE,由正方体的性质可得OD⊥OE,OD=OE=a,

则DE==a,即几何体的棱长为a.

答案:a

9.已知正六棱柱的一条最长的体对角线长是13,侧面积为180,求正六棱柱的全面积.

分析：如图所示,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF′是正六棱柱的一条最长的体对角线,即CF′=13.

因为CF=2a,FF′=h,

所以CF′===13.①

因为正六棱柱的侧面积为180,

所以S侧=6a·h=180.②

联立①②解得,或.

当a=6,h=5时,2S底=6×a2×2=108.

所以S全=180+108.

当a=,h=12时,2S底=6×a2×2=,

所以S全=180+.

10.直四棱柱的底面是矩形,且底面对角线的夹角为60°,对角面的面积为S,求此直四棱柱的侧面积.

分析：如图所示,设侧棱长为l,底面对角线长为t,则AC=BD=t,

设AC与BD相交于O点,则∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以△AOD是等边三角形.

所以AD=OA=AC=t.

所以△AOB是顶角为120°的等腰三角形,AB=OA=t.又因为对角面的面积为S,S=t·l,

所以t=.所以AD=t=,AB=t=.

所以S侧=2(AD+AB)l=l=(+1)S.