数学必修12.2指数运算的性质教案设计

指数运算与指数函数

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1、  理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．

2、  掌握指数函数的概念、图像和性质。

一、有理数指数幂及运算性质

1、有理数指数幂的分类

（1）正整数指数幂；  （2）零指数幂；

（3）负整数指数幂

（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。

2、有理数指数幂的性质

（1）   （2） 

（3）

二、根式

1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。 

2、对于根式记号，要注意以下几点：

（1），且； （2）当是奇数，则；当是偶数，则  ；

（3）负数没有偶次方根；     （4）零的任何次方根都是零。

3、规定：

（1）；    （2）

三、对指数函数定义的理解

一般地，函数叫做指数函数。

1、定义域是。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在的前提下，可以是任意实数。

2、规定,且的理由：

（1）若，

（2）若， 如，当、等时，在实数范围内函数值不存在。

（3）若， ，是一个常量，没有研究的必要性。

为了避免上述各种情况，所以规定,且。

3、式上的严格性：

指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1。自变量在指数的位置上。比如等， 都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 ，因为它可以化为，其中，且。

四、指数函数的图象和性质：

特别提醒：

    角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：

在轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变

大。即不论在轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。

五、比较幂值得大小

底数相同：利用函数的单调性进行比较；

 指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函

数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小变大。

指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。

六、指数方程的可解类型，可分为：

形如的方程，化为求解。

形如的方程，可令进行换元，转化成一元二次方程进行求解。

    七、指数不等式的解法：

     当时，与同解，当时，与同解。

类型一 根式与分数指数幂的互化

例1：(1)用根式表示下列各式：a；a；a－；

(2)用分数指数幂表示下列各式：；；.

解析：(1)a＝；a＝；a－＝＝.

(2)＝a；＝a＝a2；＝＝a－.

答案：见解析

练习1：把根式化为分数指数幂的形式：＝__________.

答案：ab

练习2：用根式表示下列各式：x；x－.

答案：x＝.   x－＝.

类型二 根式与分数指数幂的混合运算

例2：计算：1.5－＋80.25×＋(×)4－.

 解析：原式＝()－＋(23)×2＋(6)4－＝()＋2×2＋62－()＝2＋36＝38.   

 答案：38

练习1：化简：1.5×0＋80.25×＋(×)6－；

答案：110

练习2：(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简＋＝(　　)

A．－2π     B．6      C．2π     D．－6

答案：D

类型三 指数函数的定义

例3：下列函数中，哪些是指数函数？

① y＝10x；② y＝10x＋1；③ y＝10x＋1；④ y＝2·10x；

⑤ y＝(－10)x；⑥ y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)；

⑦ y＝x10.

解析：①y＝10x符合定义，是指数函数；

②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；

③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的复合函数；

④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；

⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；

⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数；

⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．

综上可知，①、⑥是指数函数．

答案: ①、⑥

练习1：若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值．

答案:4

练习2：(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)

A．a＝1或a＝2　　　　 B．a＝1

C．a＝2  D．a>0且a≠1

答案：C

类型四 指数函数的图象和性质

例4：函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0   B．a>1，b>0   C．0<a<1，b>0   D．0<a<1，b<0

解析：由图象呈下降趋势可知0<a<1，又由图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知a－b<1，即－b>0，∴b<0.

答案：D

练习1：若函数y＝ax＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则(　　)

A．a>1　　　 　B．a>1，且m<0     C．0<a<1，且m>0  D．0<a<1

答案：B

练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是(　　)

A．关于原点对称    B．关于x轴对称    C．关于y轴对称  D．关于直线y＝x对称

答案:C

类型五 指数函数性质的应用

例5: 比较下列各组数的大小：

(1)1.72.5,1.73；

(2)0.8－0.1,0.8－0.2；

(3)1.70.3,0.93.1；

解析：(1)考察指数函数y＝1.7x，

由于底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．

∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.

(2)考察函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，

所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．

∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.

(3)由指数函数的性质得

1．70.3>1.70＝1，　　　0.93.1<0.90＝1，

∴1.70.3>0.93.1.

答案：<    <    >

练习1: 比较下列各题中两个值的大小．

(1)0.3x与0.3x＋1；

(2)－2与2.

答案：>    >

练习2: (2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1)恒过定点________．

答案：(1,3)

类型六 指数函数性质的综合应用

例6: 函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小．

解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，

∴f(x)＝x2－bx＋c的对称轴为x＝1.

即＝1⇒b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.

∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．

若x≥0，则3x≥2x≥1，而f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上为增函数，

∴f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)，

若x<0，则0<3x<2x<1，而f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，

∴f(3x)>f(2x)，即f(cx)>f(bx)，

综上所述，f(cx)≥f(bx)．

答案：f(cx)≥f(bx)．

练习1: (2015·陕西文，4改编)设f(x)＝，则f[f(－2)]＝________.

答案：

练习2: 设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f()、f()、f()的大小关系为__________．

答案：f()＜f()＜f()

1、把下列各式中的写成分数指数幂的形式

 （1）；（2）；

答案：（1）；（2）

2、计算 （1）；  （2）

答案：（1）；（2）

3、求下列各式的值

  （1）； （2）；

答案：（1）； （2）

4、用分数指数幂的形式表示下列各式：

（1）      （2） 

答案：（1）；    （2）

5、若函数是一个指数函数，求实数的取值范围。

答案：

6、函数恒过定点         。

答案：

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基础巩固

1．(2014～2015学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为(　　)

①＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③＝x＋y；④＝.

A．0  B．1

C．2  D．3

答案：B

2．(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设a>0，将写成分数指数幂，其结果是(　　)

A．a  B．a

C．a  D．a

答案：D

3．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算：2－＋＋－＝____.

答案：2

4．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若a<，则化简的结果是(　　)

A．  B．

C．－  D．－

答案：A

5．(2014～2015学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝(　　)

A．  B．2

C．4  D．

答案:B

能力提升

6．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)若函数f(x)＝，则f(－3)的值为(　　)

A．2  B．8

C．  D．

答案：D

7．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数y＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象必经过定点________．

答案：(－1,2)

8．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则当x<0时，f(x)＝________.

答案：3－2－x

9. (2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数．

(1)求常数k的值；

(2)若a>1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

答案：(1)函数f(x)的定义域为R.

又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，

即k－1＝0，∴k＝1.

(2)当a>1时，函数f(x)是R上的增函数．

由(1)知f(x)＝ax－a－x.

设任意实数x1<x2，

f(x2)－f(x1)＝ax2－a－x2－a x1＋a－x1

＝ax2－a x1＋－

＝a x2－a x1＋

＝(a x2－a x1)

∵x1<x2，a>1，∴a x1<a x2，∴a x2－a x1>0.

又1＋>0，

∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．

故当a>1时，函数f(x)在R上是增函数．

10. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a、b的值；

(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；

(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的范围．

答案：(1)∵f(x)为R上的奇函数，

∴f(0)＝0，b＝1.

又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.

(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝，

∵x1<x2，∴2 x2－2 x1>0，

又(2 x1＋1)(2 x2＋1)>0，f(x1)－f(x2)>0.

∴f(x)为R上的减函数．

(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，

∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)．

∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)<f(k－2t2)，

由于f(x)为减函数，∴t2－2t>k－2t2.

即k<3t2－2t恒成立，

而3t2－2t＝3(t－)2－≥－，

∴k<－.